Многие временные ряды, возникающие в экономике, постоянного среднего не имеют и, кроме того, во многих рядах фазы спокойствия, невысокой изменчивости чередуются с периодами большой изменчивости, колеблемости.
Исследование динамики валового национального продукта, денежной массы, обменных курсов валют, процентных ставок, рядов урожайностей и уровней инфляции, дают основание предполагать, что эти ряды не имеют постоянную среднюю и дисперсию.
Стохастическая переменная с постоянной дисперсией называется гомоскедастической.
Случайная переменная с переменной дисперсией называется гетероскедастической.
Для рядов с изменчивостью безусловная дисперсия может в итоге быть постоянной величиной, хотя в некоторые достаточно продолжительные периоды она может сильно изменяться. Такие временные ряды будут условно гетероскедастические. В этой главе мы применим технику авторегрессии и скользящего среднего к таким временным рядам.
Кроме того, будут изучены модели для рядов со средним, зависящим от времени. Такие переменные, как ВНП (валовой национальный продукт), индексы цен, денежная масса, урожайность имеют тенденцию к увеличению с течением времени.
Эта тенденция (тренд) может содержать как детерминистические, так и случайные, стохастические компоненты. Важно различать природу тренда в каждом конкретном случае, так как оценивание и прогноз для трендов различной природы проводится различным способом.
11.1 Авторегрессионые условно- гетероскедастические модели (АРУГ – модели или в сокращении с английской аббревиатурой ARCH-модели) В эконометрических моделях предполагается, что дисперсия ошибок наблюдений постоянная. Однако такое предположение часто не отвечает характеру временного ряда и задачам прогноза. Например, краткосрочный инвестор-держатель ценных бумаг интересуется прогнозом уровней доходности и их дисперсиями на период владения бумагами. Безусловная дисперсия (то есть долговременная дисперсия) не интересна держателю ценных бумаг, если он покупает их сегодня и планирует продажу в краткосрочном периоде, например, в течение недели-месяца.
Один из подходов для прогнозирования дисперсии - введение независимой переменной помогающей прогнозировать дисперсию.
Рассмотрим простейший случай:
yt+1 = а0*et+1*(xt)а1, (11.1)
где yt+1 - переменная уровня доходности;
et+1 - белый шум с дисперсией s2;
xt - независимая инструментальная переменная, которая может быть наблюдаема в момент t, а0, a1 – постоянные.
Если
xt = xt-1 =... = const,
тогда yt - последовательность типа белого шума с постоянной дисперсией. Однако, когда реализации xt не равны друг другу, то дисперсия yt+1 зависит от наблюдаемого значения xt, то есть
D(yt+1/xt) = а02xt2 а1s2. (11.2)
Если последовательные значения xt положительно коррелированы (то есть большие значения хt+1 в основном следуют за большими значениями хt и, соответственно, малые значения хt+1 следуют за малыми значениями хt), то последовательность условных дисперсий будут также положительно последовательно (сериально) коррелированна. Для того, чтобы использовать метод наименьших квадратов (МНК), модель (11.1) линеаризуем логарифмированием:
ln(yt) = a0 +a1ln(xt-1) + et, (11.3)
где еt = ln et - слагаемое ошибок. Часто сложно выбрать кандидата на предсказывающую переменную хt; например, трудно сказать, что повлияло на изменчивость индекса российских акций в 2004-2005 годах:
а) скачёк цен на нефть;
б) изменения во внутренней политике по отношению к налогообложению крупных нефтяных компаний;
в) американо-иракская война и изменения во внешней политике стран СНГ.
Кроме этого, есть технические ограничения на преобразование данных. Например, в (11.3) предполагается, что последовательность уt имеет постоянную дисперсию. Если это предположение не выполнено, то необходимы другие преобразования данных.
Вместо использования переменной хt или других преобразователей данных, Энгл (1982) показал, что возможна модель, одновременно оценивающая среднее и дисперсию ряда.
Чтобы понять методологию, предположим, что оценивается АР(1) - модель вида
yt = a0 + a1yt-1+et, a1<1. (11.4)
Условный прогноз yt+1 даёт
Mt(yt+1/yt) = a0 + a1yt . (11.5)
Если мы используем условное среднее (11.5) для прогноза yt+1, то дисперсия ошибки составит
Mt [(yt+1 - a0 - a1yt)2] = Mtet2 = s2 . (11.6)
Теперь попробуем использовать безусловный прогноз, то есть долгосрочное среднее {yt}- последовательности равное a0/ (1 - а1). Тогда дисперсия ошибки этого прогноза составит
M{[yt+1 - a0/(1 - a1)]2} = (11.7)
= M[(et+1 + a1et + a12et-1 + a13et-2 +...)2] = s2/(1 - а12)
Так как 1/(1 - а12) > 1, и безусловный прогноз больше условного, то предпочтительнее давать условный прогноз. Итак, рассмотрим модель (11.4) и условную дисперсию
D(yt+1/yt) = Mt[(y t+1- a0 - a1yt)2] = Mtet+12 . (11.8)
До сих пор мы полагали, что Mtet+12 = s2. Теперь предположим, что условная дисперсия не постоянна.
Представим условную дисперсию в виде АР (q) - процесса, использующего квадраты оцениваемых остатков et:
et2 = a0 + a1et-12 + a2et-22 +... + aqet-q2 + ht, (11.9)
где ht - белый шум.
Если a1,a2,...,aq= 0, то оценка дисперсии постоянная и равна a0. В противном случае условная дисперсия yt подчинена авторегрессионому процессу (11.9). Следовательно, прогноз условной дисперсии в момент времени t+1 имеет вид
Mtet+1= a0 + a1et2 + a2e22 +... + aqe2t+1-q. (11.10)
Модель использующая (11.9) называется авторегрессионой условной гетероскедастической моделью (АРУГ -модель). Существует много возможных вариаций АРУГ - моделей, так как остатки в (11.9) можно получать из АР - моделей, АРСС - моделей или из стандартных регрессионных моделей. На самом деле, линейное представление модели в виде (11.9) не обязательно. Например, в модели предложенной Энглом (1982), использовано следующее представление:
, (11.11)
где nt- белый шум, sn2 =1, nt и et-1 независимы, a0 > 0, 0<a1<1.
Рассмотрим свойства et - последовательности, так как nt- белый шум и не зависит от et-1, то легко видеть, что элементы et последовательности имеют нулевое среднее и не коррелированы. В самом деле, так как Мnt = 0, то
Met = М[nt (a0 + a1et-12)1/2] = Мnt. M[(a0 + a1et-12)1/2] = 0.
Так как M ntnt-1= 0, то Metet-i=0, i¹0. Найдём безусловную дисперсию et.
Met2 = M[nt2 (a0 + a1et-12)] = Mnt2M (a0 + a1et-12).
Так как sn2 =1 и Met2 = M(a0 + a1et-12)= a0 + a1 M(et-12)= a0 + a1 M(a0 + a1et-22)=…, то имеем
Met2 = a0/(1 - a1). (11.12)
Покажем, что условное среднее et равно нулю.
M(et/et-1, et-2,...) = Мnt. M[(a0 + a1et-12)1/2] = 0. (11.13)
Можно было бы предположить, что свойства et - последовательности не зависят от формулы (11.11), так как среднее равно нулю, дисперсия постоянная и все автоковариации нулевые. Однако, влияние (11.11) сказывается на условной дисперсии
M(et2/et-1, et-2,...) = a0 + a1et-12, (11.14)
так как sn2 =1.
В (11.14) получилось, что условная дисперсия подчинена авторегрессии первого порядка, то есть мы имеем дело с АР (1) - моделью. По сравнению с обычной авторегрессией в (11.14) существуют ограничения на коэффициенты a0 и a1, которые обязательно должны быть положительными (для положительности условной дисперсии). И, кроме того, для устойчивости авторегрессионого процесса приходится предполагать, что 0 < a1 < 1.
Уравнения (11.11) - (11.14) демонстрируют существенные черты любого АРУГ - процесса. Для любого АРУГ - процесса структура ошибок такова, что условные и безусловная средние равны нулю. Более того, {et} - последовательность сериально некоррелированная, то есть для всех s ¹ 0, Мetet-s = 0.
Ключевым моментом является утверждение, что ошибки зависимые, так как связаны между собой через второй момент (вспомним, что корреляция учитывает только линейную связь). Условная дисперсия представляет авторегрессию условных гетероскедастических ошибок. Если реализуется большая ошибка et-1, тогда a1(et-12) - будет велико, и дисперсия et будет иметь тенденцию к увеличению. Это, в свою очередь, отразится на изменчивости исходного процесса {yt}. Итак, АРУГ - модели способны улавливать периоды покоя и изменчивости в рядах {yt}.
Имеем
Mt-1yt = a0 + a1yt-1
и
D(yt/yt-1, yt-2,...,) = Mt-1(yt - a0 - a1yt-1)2 =Mt-1(et)2 == a0 + a1et-12.
Так как a1 и et-1 неотрицательные, то минимальное значение для условной дисперсии yt равно a0. Для ненулевой реализации et-1 условная дисперсия yt положительно связана с a1. Если процесс продолжается достаточно долго (так что произвольная постоянная a0 может быть проигнорирована) решение для yt даётся формулой
(11.15)
Отсюда
,
Tак как D(et-j) = a0/(1 - a1) = const, то D(yt) =a0/(1 - a1)(1 - a12) = const.
Дисперсия yt тем больше, чем больше a0 и чем больше a1 по абсолютной величине.
АРУГ - процессы могут быть обобщены по нескольким направлениям. Энгл в первоначальной работе 1982 года рассмотрел целый класс АРУГ(q) процессов вида:
(11.16)
В (11.16) все изменения в et-1,...,et-q приводят к прямому эффекту действия на et, поэтому модель условной дисперсии становится подобна модели авторегрессии порядка q.