Закон Косвенного Доказательства

Закон Дистрибутивности

- (от англ. distribution - распреде­ление, размещение) - общее название группы логических закон ов сходной структуры. Эти законы позволяют распределить одну ло­гическую связь относительно другой. Полный 3. д. конъюнкции относительно дизъюнкции с использо­ванием символики логической формулируется так (р, q, r — некото­рые высказывания; & - конъюнкция, «и»; v - дизъюнкция, «или»; = — эквивалентность, «если и только если»): p&(qvr) = (p&q)v(p&r), первое и (второе или третье), если и только если (первое и вто­рое) или (первое и третье). Напр.: «Сегодня идет дождь и завтра ясно или после завтра ясно в том и только в том случае, когда сегодня идет дождь и завтра ясно или сегодня идет дождь и после­завтра ясно». Полный 3. д. дизъюнкции относительно конъюнкции: pv(q&r) = (pvq)&(pvr), первое или (второе и третье), если и только если (первое или вто­рое) и (первое или третье). Напр.: «Завтра будет солнечно или послезавтра будет мороз и снег тогда и только тогда, когда завтра будет солнечно или послезавтра будет мороз и завтра будет сол­нечно или послезавтра будет снег». Закон самодистрибутивности импликации (->, «если, то») дает возможность распределять импликацию по импликации: (p->(q->r))->((p->q)->(p->r)), если (если первое, то (если второе, то третье)), то (если (если первое, то второе), то (если первое, то третье)). Этот закон верен для импликации материальной, но не имеет места для целого ряда иных импликаций, вводимых в современной логике.

Закон Дунса Скота

- - закон логики классической, характери­зующий логическое против оречие и импликацию материальную. За­кон можно передать так: ложное высказывание влечет (имплици­рует) любое высказывание. Напр.: «Если дважды два не равно четыре м, то, если дважды два четыре, вся математика ничего не значит». Первое упоминание закона принадлежит средневековому фило­софу и логику Дунсу Скоту, прозванному «тонким доктором» схо­ластики. Амер. философ и логик К. И. Льюис (1883-1964), поло ­живший начало исследованию модальной логики, отнес данный закон к пара доксальным положениям классической логики. В пред ­ложенной самим К. И. Льюисом новой теории логического следо­вания — т. наз. теории строгой импликации — 3. Д. С. не­доказуем. Но в этой теории есть собственный аналогичный парадокс, говорящий уже о логической невозможности: логически невоз- можное высказывание влечет любое высказывание. Напр.: «Если снег бел и вместе с тем не бел, трава бывает только черной». С использованием символики логической (р, q — некоторые выска­зывания; ~ - отрицание, «неверно, что»; —> импликация, «если, то») 3. Д. С. выражается формулой: ~p->(p->q), если неверно, что p, то если р, то q; или эквивалентной ей в класси­ческой логике формулой: (p&~p)->q, если р и не-р, то q. Если принимаются высказывание и его отрицание, то, исполь­зуя данные формулы в качестве схем вывода, можно получить лю­бое высказывание. В подобного рода переходах есть элемент пара­доксальности. Особенно заметным он становится, когда в качестве следствия берется явно ложное и совершенно не связанное с по-сылками высказывание. Напр.: «Если Солнце и звезда, и не звезда, то Луна сделана из зеленого сыра». 3. Д. С. есть своего рода предостережение против принятия лож­ного высказывания: введение в научную теорию такого высказыва­ния ведет к тому, что в ней становится доказуемым все что угодно и она перестает выполнять свои функции. Однако предостережение не настолько очевидно, чтобы стать одним из правил логического следования. Не все современные описания следования принимают 3. Д. С. в качестве правомерного способа рассуждения. Уже построены теории логических связей, в которых этот и подобные ему способы рассуждения считаются недопустимыми. Если 3. Д. С. не принимается, то появление противоречия в сис­теме утверждений становится допустимым. Такое более «терпи­мое» отношение к противоречию лежит в основе логических тео­рий, получивших название паранепротиворечивой логики.

Закон Исключенного Третьего

логический закон, со­гласно которому истинно или само высказывание, или его отри­цание. Закон устанавливает связь между противоречащими друг другу высказываниями: одно из таких высказываний истинно. Напр.: «Аристотель умер в 322 г. до н. э. или он не умер в этом году». «Завтра будет морское сражение или завтра не будет морского сражения» и т. п. Само название закона выражает его смысл: дело обстоит так, как описывается в рассматриваемом высказывании, или так, как говорит его отрицание; третьего варианта нет («третьего не дано»). Символически Закон Исключенного Третьего представляется формулой (р — некоторое высказывание; v — дизъюнкция, «или»; ~ - отрицание, «неверно, что»): pv~p, р или не-р.

Закон Исключенного Третьего был известен еще до Аристотеля. Однако он первым сфор­мулировал этот закон, подчеркнув его важность для понимания мышления: «Не может быть ни чего промежуточного между двумя членами противоречия, а относительно чего-то одного необходи­мо что бы то ни было одно либо утверждать, либо отрицать ». От Аристотеля идет традиция давать Закон Исключенного Третьего разные интерпрета­ции.

1. Закон Исключенного Третьего истолковывается как принцип логики, говорящий о выс­казываниях и их истинности: или высказывание, или его отрица­ние должно быть истинным.

2. Закон понимается как утверждение об устройстве самого мира: всякий объект или реально существует, или не существует.

3. Закон звучит как принцип методологии научного познания: исследование каждого объекта должно вестись до тех пор и быть настолько полным, чтобы относительно каждого утверждения об этом объекте можно было решить, истинно оно или нет.

Нередко полагают, что эти три истолкования - логическое, онтологическое и методологическое — различаются между собой только словесно. На самом деле это не так. Устройство мира, зани­мающее онтологию, и своеобразие научного исследования, интере­сующее методологию, - темы эмпирического, опытного изучения. Получаемые с его помощью положения являются эмпирическими истинами. Принципы же логики не вытекают из онтологических соображений и представляют собой не эмпирические, а логически необходимые истины. Аристотель сомневался в приложимости Закон Исключенного Третьего к высказыва­ниям о будущих событиях: в настоящий момент наступление не­которых из них еще не предопределено. Нет причины ни для того, чтобы они произошли, ни для того, чтобы они не случились. «Че­рез пять лет в этот же день будет идти дождь » — это высказыва­ние в настоящий момент ни истинно, ни ложно. Таким же явля­ется его отрицание. Сейчас нет причины ни для того, чтобы через пять лет пошел дождь, ни для того, чтобы его не было. Но Закон Исключенного Третьего утверждает, что или само высказывание, или его отрицание ис­тинно. Значит, заключал Аристотель, закон следует ограничить высказываниями о прошлом и настоящем и не прилагать его к высказываниям о будущем. В XX в. размышления Аристотеля над Закон Исключенного Третьего натолкнули на мысль о возможности принципиально нового направления в логике. Была создана многозначная логика. Последовательная критика Закон Исключенного Третьего берет начало от голландского математика и логика Л. Брауэра. Критика Брауэра положила нача­ло новому направлению в формальной логике - интуиционист­ской логике. Одной из предпосылок особого внимания к

Закон Исключенного Третьего является его широкая применимость в самых разных областях рассуждений. Че­ловек говорит прозой или не говорит прозой, кто-то рыдает или не рыдает, дождь идет или не идет и т. п. - других вариантов не существует. Это известно каждому, что показывает, насколько уко­ренен Закон Исключенного Третьего в нашем мышлении и с каким автоматизмом осуще­ствляется его применение в рассуждениях.

Закон Клавия

— логический закон, характеризующий связь импликации («если, то») и отрицания. Его можно передать так: если из отрицания некоторого высказывания вытекает само это высказывание, то оно является истинным. Или короче: высказы­вание, вытекающее из своего собственного отрицания, истинно. Иначе говоря: если необходимым условием ложности некоторого высказывания является его истинность, то это высказывание ис­тинно. Напр., если условием того, чтобы машина не работала, является ее работа, то машина работает. Закон назван именем Клавия — ученого иезуита, жившего в XVI в., одного из создателей григорианского календаря. Клавий обратил внимание на этот закон в своем комментарии к «Нача­лам» Евклида. Одну из своих теорем Евклид доказал из допуще­ния, что она является ложной. С использованием символики логической (р — некоторое выска­зывание; -> - условная связь, «если, то»; ~ - отрицание, «невер­но, что») Закон Клавия представляется формулой: (~р->р)->р, если не-р имплицирует р, то верно р. Закон Клавия лежит в основе рекомендации, касающейся доказательства: если хочешь доказать А, выводи A из допущения, что верным яв­ляется не-А. Напр., нужно доказать утверждение «Трапеция имеет четыре стороны». Отрицание этого утверждения: «Неверно, что трапеция имеет четыре стороны». Если из этого отрицания удает­ся вывести утверждение, то последнее будет истинно. Эту схему рассуждения использовал однажды древнегреческий философ Демокрит в споре с софистом Протагором, который ут- верждал: «Истинно все то, что к.-л. приходит в голову». На это Демокрит ответил, что из положения «Каждое высказывание ис­тинно» вытекает истинность и его отрицания: «Не все высказыва­ния истинны». И, значит, это отрицание, а не положение Протагора на самом деле истинно. Закон Клавия является одним из случаев общей схемы косвенного доказа­тельства: из отрицания утверждения выводится само это утвер­ждение, вместе с отрицанием оно составляет логическое проти­воречие; это означает, что отрицание ложно, а верным является само утверждение. К Закон Клавия близок по своей структуре другой логический закон, от­вечающий этой же общей схеме: если из утверждения вытекает его отрицание, то последнее истинно. Напр., если условием того, что поезд прибудет вовремя, будет его опоздание, то поезд опоздает. Иначе говоря: если необходимым условием истинности некоторого утвер­ждения является его ложность, то утверждение ложно. Символически: (p->~p)->~p, если р имплицирует не-р, то верно не-р. Данный закон представ­ляет собой схему рассуждения, идущего от некоторого утвержде­ния к его отрицанию. Можно сказать, что он в некотором смысле слабее, чем Закон Клавия, представляющий рассуждение, идущее от отри­цания утверждения к самому утверждению. В частности, оба эти закона имеют место в логике классической, но Закон Клавия не принимается в интуиционистской логике.

Закон Коммутативности

- (от лат. commutatio - изменение, перемена) — общее название логических законов, позволяющих менять местами высказывания, связанные конъюнкцией («и»), дизъ­юнкцией («или»), эквивалентностью («если и только если») и др. Эти законы аналогичны алгебраическим законам коммутативно­сти для умножения, сложения и др., по которым результат умно­жения не зависит от порядка множителей, сложения - от поряд­ка слагаемых и т. д. Символически Закон Коммутативности для конъюнкции и дизъюнкции записываются так (р, q — некоторые высказывания, & — конъюнкция, v — дизъ­юнкция, = — эквивалентность): (p&q) = (q&p), р и q тогда и только тогда, когда q и р; (pvq) = (qvp), р или q, если и только если q или р. Данные эквивалентности можно проиллюстрировать примера­ми: «Волга — самая длинная река в Европе и Волга впадает в Кас­пийское море в том и только том случае, если Волга впадает в Каспийское море и Волга является самой длинной рекой в Евро­пе»; «Завтра будет дождь или будет снег, если и только если завтра будет снег или завтра будет дождь». Существуют важные различия между употреблением слов «и» и «или» в повседневном языке и в логике. В обычном языке этими словами соединяются два высказывания, связанные по своему со­держанию. Нередко обычное «и» употребляется при перечислении, а обычное «или» предполагает, что мы не знаем, какое именно из соединяемых им двух высказываний истинно. В логике значение «и» и «или» упрощается и делается более независимым от времен­ной последовательности, от психологических факторов и т. п. «И» и «или» в логике коммутативны. Но «и» обычного языка, как прави­ло, коммутативным не является. Скажем, «Он сломал ногу и попал в больницу» очевидно не равносильно «Он попал в больницу и сломал ногу».

Закон Коммутации

- (от лат. commutatio - изменение, переме­на) — логический закон, говорящий о возможности перестановки двух последовательных оснований некоторого условного высказы­вания. Словами: первое влечет, что если второе, то третье, в том и только том случае, когда второе влечет, что если первое, то третье. Напр., утверждение «Если население Земли будет расти нынеш­ними темпами, то, если не будет значительно поднят уровень сельскохозяйственного производства, наступит кризис» равносильно утверждению «Если уровень сельскохозяйственного производства не будет значительно поднят, то в случае роста населения Земли нынешними темпами наступит кризис». С применением символики логической Закон Коммутации записывается таким образом (р, q, r - некоторые высказывания; -> - импликация, «если, то»; = - эквивалентность, «если и только если»): (p -> (q ->r)) = (q -> (p -> r)), р имплицирует, что q имплицирует r, если и только если q имп­лицирует, что р имплицирует r.

Закон Композиции

- (от лат. compositio — сочинение, составление) - общее название ряда логических законов, позволяющих объединять следствия определенных условных высказываний или разделять их основание. Один из этих законов можно выразить так: если верно, что если первое, то второе, и если первое, то третье, то верно, что если первое, то второе и третье. Напр.: «Если верно, что стороны квадрата рав- ны, и верно, что его диагонали равны, то у квадрата равны как его стороны, так и его диагонали». Символически (р, q, r - некоторые высказывания; & — конъ­юнкция, «и»; -> - импликация, «если, то»): ((p->q)&(p->r))->(р->(q&r)), если (если р, то q) и (если р, то r), то (если р, то q и r). Иногда этот закон называют также законом гипотетического силлогизма. Другой Закон Композиции: если дизъюнкция двух высказываний влечет третье высказывание, то каждый из членов этой дизъюнкции влечет это высказывание. Напр.: «Если верно, что рукопись, брошенная в огонь или брошенная в воду, погибнет, то верно, что рукопись, брошен­ная в огонь, погибнет». Символически (v — дизъюнкция, «или»): ((pvq)->r)->(p->r), если (если р или q, то r), то (если р, то r); ((pvg)->r)->(q->r), если (если р или q, то r), то (если q, то r).

Закон Косвенного Доказательства

- логический закон, позволяющий делать заключения об истинности какого-то выска­зывания на основании того, что отрицание этого высказывания влечет противоречие. Напр.: «Если из того, что 11 не является простым числом, вытекает то, что оно делится на число, отлич­ное от самого себя и единицы, и то, что оно не делится на такое число, то 11 есть простое число». С использованием символики логической (p, q — некоторые выска­зывания; -> — импликация, «если, то»; & — конъюнкция, «и»; ~ — отрицание, «неверно, что») закон записывается так: (~ p->q)&(~p->~q)->p, если (если не-р, то q) и (если не-р, то не-q), то р. 3. к. д. обычно называется также формула: (~p->q&~q)->p, если (если не-р, то q и не-q), то р. Напр.: «Если из-того, что 10 не является четным числом, вытекает то, что оно делится и не делится на 2, то 10 - четное число».

Закон Мышления

- термин традиционной логики, обозна­чавший требование к логически совершенному мышлению, имеющее формальный характер, т. е. не зависящее от конкретного со­держания мыслей. Закон Мышления назывались также закон ами логики или (формально-) логическими законами. Из множества Закон Мышления

выделя­лись т. наз. основные Закон Мышления (логики), связанные, как считалось, с наиболее существенными свойствами мышления - такими, как определенность, непротиворечивость, последовательность, обо­снованность. Основные Закон Мышления рассматривались как наиболее оче­видные из всех утверждений логики, являющиеся чем-то вроде аксиом этой науки. Под неясное понятие основного Закон Мышления подводи­лись чаще всего непротиворечия закон, тождества закон, закон ис­ключенного третьего. Нередко к ним добавляли достаточного ос­нования принцип и принцип «обо всех и ни об одном» («сказанное обо всех предметах какого-то рода верно и о некоторых из них, и о каждом в отдельности; неприложимое ко всем предметам не­верно также в отношении некоторых и отдельных из них»). В концепции основных 3. Закон Мышления собственно логическое содержание смешивалось с теоретико-познавательным и с расплывчатыми методологическими рекомендациями (требованиями обосновывать каждое выдвигаемое утверждение, доводить исследование любого вопроса до полной определенности, выделять обсуждаемые объек­ты по достаточно устойчивым признакам и т. п.). Логика современная (математическая, символическая) показала, что логических законов бесконечно много и нет оснований делить их на основные и второстепенные. Построены логические системы, в которых не являются законами закон исключенного третьего (ин­туиционистская логика, некоторые системы многозначной логики), непротиворечия закон (паранепротиворечивая логика). Термин «Закон Мышления» в логике современной не употребляется.