Характеристики замкнутых сетей




Определение общих характеристик сети

Общие характеристики сетевой модели в соответствии с теоремой Джексона могут быть определены по формулам:

- вероятности состояния сети в соответствии с теоремой Джексона

(3.13)

- маргинальные вероятности (пуассоновский входной шток, экспоненциальное распределение времени обслуживания, mi параллельно работающих агрегатов)

(5.1)

- интенсивность входного (выходного) потока i -го узла

(5.2)

- среднее количество заявок в очереди в i -ом узле

(5.3)

- среднее количество заявок в i -м узле

(5.4)

- среднее время пребывания заявки в очереди в i -ом yзле

(5.5)

- среднее время пребывания заявки в i -ом узле

(5.6)

- среднее количество заявок в системе

(5.7)

- среднее количество заявок в очередях

(5.8)

- среднее время пребывания заявкисистеме

(5.9)

где I - множество узлов сети, через которые проходит заявка;

- среднее время пребывания заявки в очередях

(5.10)

Пример 20. Определение характеристик функционирования ГПС МКДГ.

Параметры сети и характеристики потоков были получены в примере 1 (см. раздел 2.1): g1 = 0,173; b1 = 0,382; m1 = 0,278; m2 = 0,0372; m3 = 1,180;
m4 = 0,372; m 1 = 2; m 2 = 8; m 3 = 1; m 4 = 1; p 12 = 0,618; p 23 = 1; p 34 = 1; p 41 = 1;
l1 = 0,45; l2 = l3 = l4 = 0,28. Коэффициенты занятости агрегатов равны:
r1 = 0,815; r2 = 0,934; r3 = 0,237; r4 = 0,752.

Условия существования стационарного режима выполняются, т. к.
r i <1. Характеристики сети согласно формулам (5.3...5.6) имеют следующие значения:

- средние количества заявок в очередях:

- средние количества заявок в узлах:

- средние времена пребывания заявок в очередях в узлах:

- средние времена пребывания заявок в узлах:

- среднее количество заявок в сети (средний объем незавершенного производства)

- среднее количество заявок в очередях

- среднее время пребывания заявки в сети (средняя длительность производственного цикла) = 95,7 мин;

- среднее время пребывания заявки в очереди = 61,7 мин;

- вероятности состояния сети

Характеристики замкнутых сетей

Замкнутые сети характеризуются отсутствием внешних входных и выходных потоков. При этом в сети циркулирует конечное число заявок R = S ki = const, где ki количество заявок в i-ом узле сети. В разделе 1.4 в качестве примера такой сети была приведена модель для расчета спутников в ГПС МКДГ.

Как и в разомкнутых сетях, для определения основных характеристик находят вероятности состояний сети P (k 1,..., kn). Отличие состоит в том, что число возможных состояний конечно, т. к. ограничены значения ki £ Ri. Значения P (k 1,..., kn) ищутся в виде:

(5.11)

Таким образом, искомая вероятность выражается через вероятности состояние отдельных узлов сети. Значения xi, с точностью до константы находятся из решения системы уравнений

Приняв, например, e n = 1, легко определить остальные e i, i = 1,…,n−1.

Нормализующая константа С определяется из условия

причем ее вычисление представляет серьезную проблему, так как замкнутая цепь допускает (число сочетания из R+n −1 по R) различных состояний и операция прямого суммирования является весьма трудоемкой. В связи с этим разработаны специальные методы вычисления нормализующей константы.

В частном случае, когда все узлы одноканальные, т. е. mi = 1 и xi ¹ xj
(i, j = 1,…, n; i ¹ j) для С справедлива формула

Маргинальные вероятности Pr (kr) пребывания в r-ом узле kr заявок определяются выражением

(5.12)

Пример 21. Расчет параметров функционирования КИП.

Параметры деталей контролируются в два этапа в специальных приспособлениях для измерения. В зависимости от полученных на первом этапе данных часть деталей подвергается повторной проверке, либо уходит на другие контрольные операции (рис. 5.1), после чего приспособление освобождается для установки других деталей, ожидающих контроля.

Рис. 5.1. Замкнутая сетевая модель позиции контроля

В роли заявок, таким образом, выступают требования на контрольные приспособления, которых всего три.

Параметры сети имеют следующие значения:

m 1 = m 2 = m 3 = 1; m1 = 5; m2 = 3; m3 = 4; p 11 = 0,1; p 12 = 0,4; p 13 = 0,5; p 21 = 1;; p 31 = 1; R = 3.

Система уравнений для определения e i имеет вид:

Приняв e3 = 1, получим e1 = 2, e2 = 0,8. Следовательно, x 1 = e1/m1 = 0,4;
x 2 = e2/m2 = 0,266; x 3 = e3/m3 = 0,25. Нормализующая константа С = 3,44. Теперь легко определяются любые характеристики. Например, вероятности состояний сети

В частности, вероятность того, что все приспособления окажутся на первой позиции P (3, 0, 0) = 0,22; вероятность, что на каждой позиции будет по одному приспособлению P (1, 1, 1) = 0,091.

Приведем также маргинальные вероятности для первой позиции:

· вероятность того, что на первой позиции не будет ни одного приспособления P 1(0) = 0,234;

· вероятность того, что на первой позиции будет одно приспособление P 1(1) = 0,273;

· вероятность того, что на первой позиции будет два приспособления P 1(2) = 0,283;

· вероятность того, что на первой позиции будет три приспособления P 1(3) = 0,210.

 

1. Определить вероятность Р(2,2,1) состояния экспоненциальной сети массового обслуживания при следующих исходных данных: g = 10 1/час,
m1 = 3, t1 = 2 мин, m2 = 2, t2 = 2 мин, m3 = 3, t3 = 1 мин.

 

2. Определить общие характеристики экспоненциальной СМО при следующих исходных данных: g = 120 1/час, m1 = 2, t1 = 0,5 мин, m2 = 2,
t2 = 0,6 мин, m3 = 3, t3 = 0,4 мин.

 

3. Определить средние времена пребывания требований в очереди в узлах экспоненциальной сети, если g1 = 1 дет/мин, g2 = 2 дет/мин, m1 = 2, t1 = 0,5 мин, m2 = 5, t2 = 1 мин, m3 = 3, t3 = 0,03 мин.

4. Определить характеристики сети () при
g1 = 60 дет/час, m1 = 3, t1 = 1,5 мин, m2 = 3, t2 = 2 мин,
m3 = 2, t3 = 1 мин.

 

5. Определить вероятность того, что в каждом узле экспоненциальной сети будет по одному требованию, (g1 = 50 1/час, m1 = 2, t1 = 1,5 мин, m2 = 3, t2 = 2,5 мин, m3 = 3, t3 = 3 мин).

6. Определить интенсивность общего выходного потока из сети
(g1 = 10, g3 = 20).

7. Требование на выпуск готовой продукции составляет 10 дет/час. Определить необходимую интенсивность поставки заготовок.

 

8. Определить наименее загруженный узел сети
(g2 = 100 1/час, g4 = 50 1/час, m1 = 4, t1 = 1,0 мин, m2 = 10,
t2 = 1,5 мин, m3 = 6, t3 = 1 мин, m4 = 1, t4 = 0,5 мин).

 

9. Какова производительность системы, описываемой сетевой моделью (см. схему) при ограничениях: u2 £ 2, u £ 3?



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-06-12 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: