Рассмотрим задачи, связанные с шахматными фигурами.
Задача 8. Требуется обойти ходом коня все клетки шахматной доски, побывав на каждой из них только один раз.
Ею занимались многие крупные математики, в том числе Леонард Эйлер, посвятивший ей большой труд. Хотя задача была известна и до Эйлера, лишь он впервые обратил внимание на её математическую сущность. Значительно труднее проблема, состоящая не в отыскании определенного маршрута коня по доске, а в нахождении всех маршрутов и подсчете их числа. Увы, эта задача не решена до сих пор, и шансов на успех немного. Известно, правда, что число решений не превосходит число сочетаний из 168 элементов по 63 (оно состоит из ста цифр), но больше 30 миллионов. [4] Обычно при решении задачи об обходе конём клеток шахматной доски ограничиваются рассмотрением маршрутов, обладающих необычной симметрией или (если клетки доски перенумерованы в порядке обхода) порождающих матрицу с замечательными арифметическими свойствами. Известно много методов для нахождения маршрутов коня, которые носят имя первооткрывателей. Например, замкнутый маршрут на рис. 9 – одно из многочисленных решений задачи, найденных в 1759 г. Эйлером, - сначала пролегает по верхней половине доски и лишь, затем
переходит на её нижнюю половину. Решение Эйлера обладает ещё одной особенностью: разность между любыми двумя числами, расположенными симметрично относительно центра доски (на прямой, проходящей через него), всегда равна 32. На рис. 10 изображен открытый маршрут, следуя которым конь также обходит все клетки шахматной доски. Это решение задачи было опубликовано в 1848 г. Вильямом Беверли. Маршрут Беверли был первым из «полумагических» маршрутов: сумма чисел, стоящих в любой «строке» и в любом «столбце», равна 260. Стать «магическим» ему мешает то обстоятельство, что сумма чисел, стоящих на главных диагоналях, отлична от 260. Если шахматную доску с маршрутом Беверли разрезать на четыре доски 4x4 (вдоль жирных линий, показанных на рис. 10), то каждая из «четвертушек» вновь будет полумагическим квадратом (с константой, одинаковой для всех четырех квадратов и равной 130). Если каждый из квадратов 4x4 в свою очередь «четвертовать», то сумма чисел, стоящих в клетках любого из квадратов 2x2, также будет равна 130.
Существует ли магический маршрут, следуя которым, конь может обойти все клетки шахматной доски, побывав на каждой лишь один раз? Это самый трудный из вопросов теории, остающихся пока без ответа. Доказано, что магические маршруты возможны лишь на досках, порядки которых кратны 4. Поскольку на доске 4-го порядка магический маршрут не существует, обычная шахматная доска 8x8 является квадратной доской наименьших размеров, для которой вопрос остается открытым. Не известен ни один магический маршрут, позволяющий обойти ходом коня все клетки доски 12x12, однако для досок 16, 20, 24, 32, 40, 48 и 64-го порядков магические маршруты построены. [3]
Задачи, связанные с шахматами, часто встречаются на олимпиадах. Например, на III этапе XXXIV Всероссийской математической олимпиады школьников за 2007-2008 учебный год в 8 и 9 классах была предложена такая задача.
Задача 9. Какое наименьшее количество ладей можно поставить на шахматной доске так, чтобы каждая не занятая ладьёй клетка находилась под боем хотя бы трёх из них?
Нетрудно проверить, что расстановка на рис. 11 удовлетворяет условию. Допустим, существует такая расстановка, когда ладей меньше, чем 16. Если на какой-либо горизонтали нет ни одной ладьи, то каждая из её клеток может находиться под боем не более двух ладей. Следовательно, на одной из горизонталей (назовём её H) должна стоять ровно одна ладья (назовём её r). Рассмотрим любую из семи свободных клеток на H. Сверху и снизу от неё должно находиться по ладье, поэтому ладей хотя бы 1+2*7=15. Значит, их ровно 15, причём семь из них стоят выше H, а другие семь – ниже.
На вертикали, где стоит r (назовём её V), больше ладей нет. Поэтому, из аналогичных соображений, на любой горизонтали, кроме H, стоят ровно две ладьи: одна левее V, другая – правее (если их больше двух, то всего ладей уже 16). Значит, сверху от H стоит чётное число ладей; но мы знаем, что их 7. Противоречие.
Таким образом, успех решения шахматных задач непосредственно связан с умением решать математические задачи и, наоборот.
Заключение
Шахматная математика — один из самых популярных жанров занимательной математики, логических игр и развлечений. Почти в каждом сборнике олимпиадных математических задач или книге головоломок и математических досугов можно найти красивые и остроумные задачи с участием шахматной доски и фигур. Многие из них имеют интересную историю, привлекали к себе внимание известных ученых.
В работу вошли лишь некоторые задачи. Но их достаточно для того, чтобы показать, что шахматная математика привлекательна. Многие шахматные задачи до сих пор не решены и заслуживают пристального внимания и приложения интеллектуальных сил.
В ходе выполнения работы выявлены следующие математические методы, используемые при решении задач на шахматную тему: метод раскраски, метод разрезания фигур.
Проведенный анализ литературных источников по теме проекта показал, что почти в каждом сборнике олимпиадных задач, в многочисленных книгах, посвященных математическим головоломкам, содержатся красивые и остроумные задачи с участием шахматной доски и фигур. После тщательного изучения подобных задач, их решение не будет вызывать у многих школьников особых затруднений. Собственный опыт позволяет мне при игре в шахматы использовать некоторое математическое видение ситуации, которое помогает не только просчитывать будущие шахматные ходы, но и пытаться понять принцип выигрыша.
Список литературы
1. Береславский Л.Я., Береславский М.Л. Шахматы. – М.: Астрель: АСТ, 2001. – 240с.
2. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. – М.: Мир, 1971. – 511 с.
3. Гарднер М. Математические новеллы. – М.: Мир, 1974. – 456 с.
4. Гик Е.Я. Шахматы и математика. – М.: Наука, 1983. – 176 с.
5. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра. 9 класс. – М.: Просвещение, 2009. – 271 с.
6. https://ru.wikipedia.org/wiki/ - Задача о ходе коня.
Приложение 1
Леонард Эйлер (1707 – 1783).
Портрет 1756 года, выполненный Эмануэлем Хандманном
Приложение 2
Карл Фридрих Гаусс (1777 – 1855)
Приложение 3
«Меланхолия» - гравюра Альбрехта Дюрера
Приложение 4
Фрагмент гравюры Дюрера «Меланхолия»
