Бинарные отношения и разбиения.

Отношение, связывающее между собой два любых элемента, называется бинарным.

Бинарное отношение P на множестве A называется рефлексивным, если .

Отношение P называется иррефлексивным, если .

Отношение P называется симметричным, если .

Отношение P называется антисимметричным, если .

Отношение P называется транзитивным, если

.

Отношение, являющееся рефлексивным, симметричным и транзитивным, называется эквивалентным.

Слова x_i любой фразы A можно различным образом разбить на непересекающиеся классы с помощью некоторого разбиения B. Например, слова могут разбиваться на классы по частям речи: класс существительных (S), класс прилагательных (A), класс предлогов (Pr), класс глаголов (V) и класс остальных слов (Z) (назовём это неполное разбиение “пятичленным”). Тогда каждой фразе A = x₁ x₂ … x_n может быть сопоставлена цепочка классов данного разбиения B (x₁) B (x₂) … B (x_n), называемая B - структурой фразы, обозначаемой B (A).

Слова x_i принадлежат одному классу эквивалентности при условии полного совпадения их грамматических категорий. Множество слов можно разбить на ряд непересекающихся классов эквивалентности, называемых семействами (S). Каждому слово соответствует одно такое семейство, а каждой фразе – последовательность таких семейств S (x₁) S (x₂) … S (x_n), называемая S-структурой фразы, обозначаемой S (A).

Фраза, потенциально возможная для данного языка, называется отмеченной фразой данного языка. B- структура фразы называется отмеченной, если хотя бы одна фраза, ей соответствующая, является отмеченной.

Пример 1. Исследовать свойства бинарного отношения “антонимия”.

Не все слова являются антонимами самих себя – значит, отношение не рефлексивно. Более того, таких слов и вовсе нет – значит, отношение иррефлексивно. Если слово A антонимично слову B, то и слово B антонимично слову A, поэтому отношение симметрично. Но из этой антонимии не следует, что слова A и B совпадают, поэтому отношение не является антисимметричным. Если A антонимично B, а B антонимично C, то A не антонимично C, поэтому отношение не транзитивно.

Пример 2. Исследовать бинарное отношение сочетаемости букв румынского языка t, ş, u.

В исконных румынских словах согласные и гласные не удваиваются. Значит, бинарное отношение не является рефлексивным и является иррефлексивным. Отношение не является симметричным, так как сочетание şt встречается, а tş – нет. Отношение не является антисимметричным, так как из наличия сочетаний şu, uş не следует тождество букв ş и u. Отношение не является транзитивным, так как сочетания tu и uş не обеспечивают наличие сочетания tş.

Пример 3. Пусть разбиение слова на классы происходит по числу его слогов, B (x_i)= s (x_i), s – количество слогов. Тогда B- структура фразы “Она стоит на далёком берегу”: 22133.

Пример 4. B- структура “пятичленного разбиения” фразы “Любуюсь прекрасным цветком в саду”: V A S Pr S.

Пример 5. Придумать примеры из S -структуры фразы: “Утром Миша ест творог”.

При замене слов нужно помнить о полном сохранении их грамматической формы. Слово утром можно заменить на слово днём, вечером, ночью и т.д. Миша – на Никита, любовник, маляр и т.д. Ест можно заменить на пьёт, курит, но не на танцевал, кричат, так как тогда меняется число или время глагола. Творог можно заменить на сыр или виноград, но не на вино или хурму, так как тогда меняется род существительного. Поэтому можно привести следующие примеры S-структуры: “Вечером Ахмед пьёт айран”, “Летом сантехник чинит кран”, “Зимой жених приносит букет”.