СОЦИАЛЬНО - ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ

II.СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ДИНАМИКИ

2.1. Виды и элементы временных рядов

Процесс развития, движения социально-экономических явлений во времени в статистике принято называть динамикой. Для отображения динамики строят ряды динамики (хронологические, временные), которые представляют собой ряды изменяющихся во времени значений статистического показателя, расположенных в хронологическом порядке.

Составными элементами ряда динамики являются показатели уровней ряда и показатели времени (годы, кварталы, месяцы, сутки) или моменты (даты) времени. Если удается выявить определенную тенденцию изменения фактических значений, то ее можно использовать для прогнозирования будущих значений данного показателя. Множество данных, в которых время является независимой переменной, называется временным рядом.

Существуют различные виды рядов динамики. Их можно классифицировать по следующим признакам:

1) В зависимости от способа выражения уровней ряды динамики подразделяются на ряды абсолютных, относительных и средних величин. Примером рядов динамики указанных выше видов являются данные таблицы.2.1:

В таблице 2.1 рядом динамики абсолютных величин являются данные первой строки; рядом средних величин - второй строки; рядом относительных величин - третьей строки.

2) В зависимости от того, выражают уровни ряда состояние явления на определенные моменты времени (на начало месяца, квартала, года и т.п.) или его величину за определенные интервалы времени (например, за сутки, месяц, год и т.п.), различают

Таблица 2.1

Число построенных квартир предприятиями и организациями всех форм собственности и их средний размер

1.Число квартир, тыс.
2.Их средний размер, м2 общей площади	49,9	54,4	60,8	61,3	61,9
3.Удельный вес жилой площади в общей площади квартир, процентов	62,7	60,7	60,0	60,1	60,1

 

соответственно моментные и интервальные ряды динамики. Примером моментного ряда может служить ряд динамики, показывающий число вкладов населения в учреждениях сберегательного банка РФ (на конец года, млн.):

1990 г. 1991 г. 1992 г. 1993 г. 1994 г.

124,9 141,0 203,7 210,9 234,2

Уровни этого ряда - обобщающие итоги статистики вкладов населения по состоянию на определенную дату (конец каждого года). Примером интервального ряда динамики являются данные, приведенные в таблице 2.1.

Из различного характера интервальных и моментных рядов динамики вытекают некоторые особенности уровней соответствующих рядов.

Уровни интервального ряда динамики абсолютных величин характеризуют собой суммарный итог какого-либо явления за определенный отрезок времени. Они зависят от продолжительности этого периода времени и поэтому их можно суммировать, как не содержащие повторного счета.

Отдельные же уровни моментного ряда динамики абсолютных величин содержат элементы повторного счета, так как, например, часть вкладов населения, учтенных в 1990 г., существуют и в настоящее время, являясь единицами совокупности и в 1994 г. Все это делает бессмысленным суммирование уровней моментных рядов динамики.

3) В зависимости от расстояния между уровнями, ряды динамики подразделяются на ряды с равноотстоящими уровнями и неравноотстоящими уровнями во времени. Ряды динамики следующих друг за другом периодов или следующих через определенные промежутки дат называется равноотстоящими (см. пример о числе вкладов в сберегательные банки РФ за 1990-1994 гг.). Если же в рядах даются прерывающиеся периоды или неравномерные промежутки между датами, то ряды называются неравноотстоящими (см. пример в таблице 2.1).

4) В зависимости от наличия основной тенденции изучаемого процесса ряды динамики подразделяются на стационарные и нестационарные.

Если математическое ожидание значения признака и дисперсия (основные характеристики случайного процесса) - постоянны, не зависят от времени, то процесс считается стационарным, и ряды динамики также называются стационарными. Экономические процессы во времени обычно не являются стационарными, т.к. содержат основную тенденцию развития, но их можно преобразовать в стационарные путем исключения тенденций.

 

2.2. Сопоставимость уровней и смыкание рядов динамики

Важнейшим условием правильного построения ряда динамики являются сопоставимость всех входящих в него уровней; данное условие решается либо в процессе сбора и обработки данных, либо путем их пересчета.

Проблема сопоставимости данных особенно остро стоит в рядах динамики, потому что они могут охватывать значительные периоды времени, за которые могли произойти изменения, приводящие к несопоставимости статистических рядов. Рассмотрим основные причины несопоставимости уровней ряда динамики.

Несопоставимость уровней ряда может возникнуть вследствие изменения единиц измерения и единиц счета. Нельзя сравнивать и анализировать цифры о производстве тканей, если за одни годы оно дано в погонных метрах, а за другие - в квадратных метрах.

На сопоставимость уровней ряда динамики непосредственно влияет методология учета или расчета показателей. Например, если в они годы среднюю урожайность считали с засеянной площади, а в другие - с убранной, то такие уровни ряда динамики будут несопоставимы.

Условием сопоставимости уровней ряда динамики является периодизация динамики. В процессе развития во времени прежде всего происходят количественные изменения явлений, а затем на определенных ступенях совершаются качественные скачки, приводящие к изменению закономерностей явления. Поэтому научный подход к изучению рядов динамики заключаются в том, чтобы ряды, охватывающие большие периоды времени, расчленять на такие, которые бы объединяли лишь однородные с точки зрения качественных признаков периоды развития совокупности, характеризующейся одной закономерностью развития.

Процесс выделения однородных этапов развития рядов динамики носит название периодизации динамики. Вопрос о том, какие этапы развития прошло то или иное явление за определенный исторический отрезок времени, решается теорией той науки, к области которой относится изучаемая совокупность явлений.

Важно также, чтобы в ряду динамики интервалы или моменты, по которым определены уровни, имели одинаковый экономический смысл. Скажем, при изучении роста поголовья скота бессмысленно сравнивать цифры поголовья по состоянию на 1 октября с 1 января, так как первая цифра включает не только скот, оставшийся на зимовку, но и предназначенный к убою, а вторая цифра, включает только скот, оставленный на зимовку.

Уровни ряда динамики могут оказаться несопоставимыми по кругу охватываемых объектов вследствие перехода ряда объектов из одного подчинения в другое. Несопоставимость уровней ряда может возникнуть вследствие изменений территориальных границ областей, районов и так далее. Следовательно, прежде чем анализировать динамический ряд, надо, исходя из цели исследования, убедится в сопоставимости уровней ряда и, если последняя отсутствует, добиться ее дополнительными расчетами.

 

Таблица 2.2

Динамика объема продукции

Годы
Объем продукции(млн. руб.) по старой методике	19,1	19,7	20,0	21,2
По новой методике	-	-	-	22,8	23,6	24,5	26,2	28,1
Сомкнутый или сопоставимый ряд абсолютных величин (млн. руб.)	21,0	21,7	22,0	22,8	23,6	24,5	26,2	28,1
Сопостави-мый ряд относительных величин, в % к 1991 г.	90,1	92,9	94,3	100,0	103,5	107,5	114,9	123,2

Для того, чтобы привести уровни ряда динамики к сопоставимому виду, иногда приходится прибегать к приему, который носит название смыкания рядов динамики. Под смыканием понимают объединение в один ряд (более длинный) двух или нескольких рядов динамики, уровни которых исчислены по разной методологии или в разных территориальных границах. Для осуществления смыкания необходимо, чтобы для одного из периодов (переходного) имелись данные, исчисленные по разной методологии (или в разных границах). Предположим, по одному из промышленных объединений имеются следующие данные о произведенной продукции, методика получения которых в течение рассматриваемого периода претерпела некоторые изменения.

Чтобы проанализировать динамику объема продукции за 1988-1995 гг., необходимо сомкнуть (объединить) приведенные выше два ряда в один. А чтобы уровни нового ряда были сопоставимы, необходимо пересчитать данные 1988-1991 гг. по новой методике. Для этого на основе данных об объеме продукции за 1991 г. в новой и старой методике находим соотношение между ними: 22,8: 21,2=1,1. Умножая на полученный коэффициент данные за 1988-1991 гг. приводим их таким образом в сопоставимый вид с последующими уровнями. Сомкнутый (сопоставимый) ряд динамики показан в предпоследней строке таблицы.

Другой способ смыкания рядов динамики заключается в том, что уровни года, в котором произошли изменения (в нашем примере - уровни 1991 г.), как до изменений, так и после изменений (для нашего примера в старой и новой методике, т.е. 21,2 и 22,8) принимаются за 100%, а остальные пересчитываются в процентах по отношению к этим уровням соответственно (в нашем примере в старых ценах - по отношению к 21,2, в новых ценах - к 22,8). В результате получаем сомкнутый ряд динамики, который показан в последней строке таблицы 2.2.

Та же проблема приведения к сопоставимому виду возникает и при параллельном анализе развития во времени экономических показателей отдельных стран, административных и территориальных районов. Это, во-первых, вопрос о сопоставимости цен сравниваемых стран, во-вторых, вопрос о сопоставимости методики расчета сравниваемых показателей. В таких случаях ряды динамики приводятся к одному основанию, то есть к одному и тому же периоду или моменту времени, уровень которого принимается за базу сравнения, а все остальные уровни выражаются в виде коэффициентов или в процентах по отношению к нему.

 

Таблица 2.3

Производство цемента в двух условных странах, млн.т.

Год
Страна А	45,5	72,4	95,2	122,0	128,0
Страна Б	56,1	65,1	66,5	65,0	67,0

 

Например, имеются данные таблицы 2.3. Различные значения абсолютных уровней приведенных рядов динамики затрудняют выявление особенностей производства цемента в странах А и Б. Поэтому приведем абсолютные уровни рядов динамики к общему основанию, приняв за постоянную базу сравнения уровни 1991 г., получим следующие данные (табл. 2.4.):

Таблица 2.4

Темпы роста производства цемента в двух условных странах, в % к 1991г.

Год
Страна А	100,0	159,1	209,2	268,1	281,3
Страна Б	100,0	116,0	118,5	115,9	119,4

В относительных величинах, выраженных в базисных темпах роста по каждой стране, несопоставимость уровней рядов динамики нивелируется. Различный характер развития выступает более наглядно.

 

2.3. Основные числовые характеристики рядов динамики

Каждый динамический ряд состоит из n изменяющихся во времени значений экономического или иного показателя. В отличие от обычных вариационных рядов уровни рядов динамики местами менять нельзя, их положение фиксировано. Обычно первый член ряда называют начальным уровнем y₀ или y₁, а последний - конечным уровнем y_n.

В качестве обобщенной числовой характеристики уровней ряда, изменяющихся во времени, служит средний уровень ряда , называемый хронологической средней.

Так в интервальном ряду абсолютных величин с равными периодами (интервалами) времени средний уровень рассчитывается как простая средняя арифметическая:

= (y₁ +y₂ +... +y_n )/ n, (2.1)

где n - общее число уровней.

Аналогично рассчитывается средний уровень и в рядах средних величин, рассчитанных на основе интервальных рядов. Расчет среднего уровня для моментного ряда с n равноотстоящими во времени уровнями выполняют по формуле:

= [(y₁ + y_n )/2 + y₂ +y₃ +... +y_n-1 ]/ (n-1). (2.2)

В случае неравных интервалов при осреднении каждому уровню ряда y_i нужно придать вес, равный отношению соответствующего ему интервала времени t_i к общему промежутку времени между конечным и начальным уровнями T = t₁ +t₂ +...+ t_n:

= (y₁×t₁ + y₂×t₂ +... + y_n×t_n )/ T. (2.3)

Каждый уровень ряда отличается от среднего уровня или, иначе, варьирует в соответствии с закономерностями, присущими изучаемому экономическому показателю. Естественно поэтому во временных рядах определять вариацию уровней ряда при помощи таких известных статистических характеристик, как среднее квадратическое отклонение:

s_х = (2.4)

или коэффициент вариации:

V_х = (s_х/ )×100%. (2.5)

Коэффициент вариации V_х можно использовать как относительный показатель, главным образом, для сопоставления колеблемости в нескольких рядах динамики, существенно различающимися масштабами средних величин своих уровней.

Наряду с этими обобщающими показателями, при изучении рядов динамики важно следить за направлением и размером изменений уровней во времени. С этой целью для временных рядов рассчитывают такие показатели, детализирующие процесс развития основной тенденции, как 1) темпы роста, 2 ) абсолютные приросты и 3) темпы прироста.

Темпы роста (Тр) - относительный показатель, являющийся результатом деления двух уровней одного ряда. В зависимости от выбора делителя y_БАЗ, называемого базой сравнения, темпы роста могут рассчитываться как цепные, если каждый уровень соотносится с уровнем предыдущего периода:

Тр_i = y_i/ y_i-1. (2.6)

Когда все уровни ряда соотносятся с уровнем одного какого-то периода, принятого за базу сравнения, то темпы роста рассчитываются как базисные. Если базой служит начальный уровень, то

Тр_i = y_i/ y₀, (2.7)

но следует отметить, что базой сравнения может быть и любой другой уровень ряда динамики.

Цепные темпы роста характеризуют интенсивность развития изучаемого явления в каждом отдельном периоде, базисные - за любой промежуток времени между расчетным и базисным уровнями.

Как любые относительные величины, темпы роста могут выражаться в виде коэффициентов, простого отношения предыдущего уровня к последующему, если база сравнения принята за единицу, и в процентах, если база сравнения принята за 100%.

Между цепными и базисными темпами роста существует непосредственная связь, позволяющая, при необходимости, переходить от одних показателей к другим, и наоборот:

а) произведение последовательности n цепных темпов роста равно базисному темпу роста последнего уровня: Тр_n = y_n/ y₀;

б) результат деления двух соседних базисных темпов роста равен цепному (промежуточному) темпу роста.

В дополнение к темпам роста при анализе динамики экономических показателей рассчитываются абсолютные приросты и темпы прироста.

Абсолютный прирост (Dy) рассчитывают как разность между двумя уровнями ряда. Он показывает в единицах измерения уровней ряда на сколько единиц уровень одного периода с номером i больше или меньше уровня предшествующего периода и, следовательно, имеет знак плюс или минус.

Если вычитать из каждого i - го уровня предыдущий, то рассчитываются абсолютные приросты за отдельные периоды ряда: Dy_i = y_i -y_i-1. (2.8)

Если из каждого уровня вычитать начальный, то в этом случае получаем накопленные итоги прироста показателя Dy с начала изучаемого периода.

Для относительной оценки значений абсолютных приростов рассчитываются показатели темпов прироста.

Темп прироста (Тпр) - это относительный показатель, показывающий на сколько процентов один уровень с номером i больше (или меньше) другого, принимаемого за базу сравнения. Этот показатель можно рассчитать как процентное отношение абсолютного прироста к тому же базисному уровню, по сравнению с которым абсолютный прирост рассчитан:

Тпр_i = (Dy_i / y_БАЗ)×100%. (2.9)

Другой способ определения темпа прироста связан с использованием величины не абсолютного прироста, а темпов роста из следующих соображений:

Тпр_i = (y_i -y_i-1)/ y_i-1 = y_i/ y_i-1 -1 = Тр_i -1. (2.10)

Если темп роста рассчитан в процентах, то темп прироста получают вычитанием из темпа роста ста процентов.

Аналогично темпам роста темпы прироста могут рассчитываться как цепные при y_БАЗ = у_i-1 или как базисные при y_БАЗ = y₀.

Абсолютное значение 1% прироста (a) - это результат деления абсолютного прироста на темп прироста в процентах за

отдельный период с номером i:

a_i = Dy_i/ Тпр_i. (2.11)

Абсолютное значение 1% прироста численно равняется одной сотой предыдущего уровня ряда:

a_i = Dy_i/ Тпр_i = Dy_i/ Тпр_i = Dy_i/((Dy_i/ y_i-1)100%) = y_i-1/100%.

Нетрудно видеть, что для базисных приростов и темпов прироста расчет этого показателя не имеет смысла.

Показатели прироста D_y и Тпр рассчитывают для каждого уровня ряда, начиная со второго, и они образуют новые, производные ряды динамики. Поэтому для них, в свою очередь, рассчитывают обобщающие показатели в виде средних величин:

- средний годовой абсолютный прирост () - это средняя арифметическая простая цепных абсолютных приростов:

= (Dy₁ +Dy₂ +... + Dy_n)/ n. (2.12)

Другой способ определения можно получить на основе накопленного абсолютного прироста за n лет:

= (y_n - y₁)/ (n -1), (2.13)

где (n -1) - длина периода, для которого рассчитывается средний абсолютный прирост.

- средний темп роста () - это средняя геометрическая индивидуальных цепных темпов роста, которые рассчитаны по отношению к предыдущему периоду:

. (2.14)

Другой способ осреднения связан со свойствами цепных темпов

роста, для которых имеет место соотношение:

Тр₁×Тр₂ ××× Тр_n = (y₁/y₀)×(y₂/y₁) ×××(y_n-1/y_n-2)×(y_n/y_n-1) = y_n/y₀.

Если заменить все индивидуальные темпы роста на одну общую

среднюю величину , то окажется, что = y_n/y₀. Следовательно

. (2.15)

Первый способ осреднения является более трудоемким для расчета и используется обычно в тех случаях, когда уже рассчитаны индивидуальные темпы роста. В тех случаях, когда имеются данные только об общем росте за расчетный период, то удобнее использовать второй способ.

Поскольку относительную величину y_n/y₀ = Тр₁×Тр₂ ××× Тр_n

можно рассматривать как базисный темп роста, рассчитанный по отношению к начальному периоду, то формула (15) применима не только для уровней ряда, но для темпов роста этих уровней, рассчитанных по отношению к одной и той же базе. Величина при этом зависит только от граничных значений уровней ряда. Поэтому, прежде чем рассматривать средний темп роста для изучаемого экономического явления за какой-либо период, нужно тщательно проанализировать его с точки зрения возможности замены им индивидуальных темпов роста. При наличии длительных и неодинаковых по характеру изменения периодов времени ряд динамики следует разбить на такие части, чтобы расчет отражал эти тенденции.

- средний темп прироста ( пр) рассчитывают на основе осреднения индивидуальных темпов прироста:

пр = (Тпр₁ + Тпр₂ +...+ Тпр_n)/ n. (2.16)

Аналогично определению индивидуальных темпов прироста с использованием величины темпов роста, таким же образом можно связать и их осредненные величины:

пр = - 1. (2.17)

Если средний темп роста рассчитан в процентах, то средний темп прироста также получают вычитанием из среднего темпа роста ста процентов.

В таблице 2.5 приведен пример конкретного расчета числовых характеристик ряда динамики, отражающего объемы добычи нефти за 1975 - 80 г.г.

Таблица 2.5

Показатели
Добыча нефти (включая газовый кондесат), млн.т	490,8	519,7	545,8	571,5	586,0	603,2
Темпы роста базисные:
коэффициенты	1,0	1,059	1,112	1,164	1,194	1,230
проценты	100,0	105,9	111,2	116,4	119,4	123,0
Темпы роста цепные:
коэффициенты	-	1,059	1,050	1,047	1,025	1,029
проценты	-	105,9	105,0	104,7	102,5	102,9
Абсолютные приросты:
по годам	-	28,9	26,1	25,7	14,5	17,2
млн.т к 1975 г	-	28,9	55,0	80,7	95,2	112,4
Темпы прироста:
% по годам	-	5,9	5,0	4,7	2,5	2,9
к 1975 г.	-	5,9	11,2	16,4	19,4	33,0
Абсолютное значение 1%
прироста, млн. т	-	4,9	5,2	5,5	5,7	5,9

= 22,48; = 1,042; пр = 4,2.

2.4 Методы анализа основной тенденции (тренда) в рядах

динамики

Важной задачей статистики при анализе рядов динамики является определение основной тенденции развития, присущей тому или иному ряду динамики. Например, за колебаниями урожайности какой-либо сельскохозяйственной культуры в отдельные годы тенденция роста (уменьшения) урожайности может не просматриваться непосредственно, и поэтому должна быть выявлена статистическими методами.

Методы анализа основной тенденции в рядах динамики разделяются на две основные группы:

1) сглаживание или механическое выравнивание отдельных членов ряда динамики с использованием фактических значений соседних уровней;

2) выравнивание с применением кривой, проведенной между конкретными уровнями таким образом, чтобы она отображала тенденцию, присущую ряду и одновременно освободила его от незначительных колебаний.

Рассмотрим методы каждой группы.

Метод укрупнения интервалов. Если рассматривать уровни экономических показателей за короткие промежутки времени, то в силу влияния различных факторов, действующих в разных направлениях, в рядах динамики наблюдается снижение и повышение этих уровней. Это мешает видеть основную тенденцию развития изучаемого явления. В этом случае для наглядного представления тренда применяется метод укрупнения интервалов, который основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда. Например, ряд ежесуточного выпуска продукции заменяется рядом месячного выпуска продукции и т.д.

Метод простой скользящей средней. Сглаживание ряда динамики с помощью скользящей средней заключается в том, что вычисляется средний уровень из определенного числа первых по порядку уровней ряда, затем средний уровень из такого же числа уровней, начиная со второго, далее - начиная с третьего и т.д. Таким образом, при расчетах среднего уровня как бы ²скользят² по ряду динамики от его начала к концу, каждый раз отбрасывая один и уровень вначале и добавляя один следующий. Отсюда название - скользящая средняя.

Каждое звено скользящей средней - это средней уровень за соответствующий период, который относится к середине выбранного периода, если число уровней ряда динамики нечетное. Нахождение скользящей средней по четному числу членов рядов динамики несколько сложнее, так как средняя может быть отнесена только к середине между двумя датами, находящимися в середине интервала сглаживания. Например, средняя, найденная для четырех членов, относится к середине между вторым и третьим, третьим и четвертым уровнями и так далее. Чтобы ликвидировать такой сдвиг, применяют так называемый способ центрирования. Центрирование заключается в нахождении средней из двух смежных скользящих средних для отнесения полученного уровня к определенной дате. При центрировании необходимо находить скользящие суммы, скользящие средние нецентрированные по этим суммам и средние из двух смежных нецентрированных скользящих средних.

Рассмотрим расчет 5-летней и 4-летней скользящей средней на примере данных таб. 2.6:

Таблица 2.6

Сглаживание урожайности зерновых культур в хозяйстве за 1980-1995 гг. методом скользящей средней

Годы	Цент- неров с га	Сколь-зящие пяти летние суммы	Пяти-летние сколь- зящие сред-ние	Сколь-зящие четырех-летние суммы	Четырех-летние скользящие средние (нецент-рированные)	Четырех-летние скользящие средние (центриро-ванные)
А
	9,5	-	-	-	-	-
	13,7	-	-	-	-	-
					12,3
	12,1	-	12,5	-		12,8
					13,2
	14,0	-	13,7	49,3		13,5
					13,7
	13,2	63,5	14,1	53,0		14,1
					14,6
	15,6	68,6	14,4	54,9		14,6
					14,6
	15,4	70,3	15,2	58,2		15,1
					15,7
	14,0	72,2	15,6	58,2		15,6
					15,6
	17,6	75,8	14,7	62,6		15,0
					14,5
	15,4	78,0	15,1	62,4		14,9
					15,3
	10,9	73,5	15,3	57,9		15,0
					14,7
	17,5	75,4	15,5	61,4		15,1
					15,5
	15,0	76,4	15,2	58,8		15,8
					16,3
	18,5	77,3	16,0	61,9		15,97
					15,65
	14,2	76,1	-	65,2		-
	14,9	80,1	-	62,6		-

Недостаток метода простой скользящей средней состоит в том, что сглаженный ряд динамики сокращается ввиду невозможности получить сглаженные уровни для начала и конца ряда. Этот недостаток устраняется применением метода аналитического выравнивания для анализа основной тенденции.

Аналитическое выравнивание предполагает представление уровней данного ряда динамики в виде заданной функции времени = f (t) с неизвестными коэффициентами (параметрами). Для отображения основной тенденции развития явлений во времени применяются различные функции: полиномы, степени, экспоненты, логистические кривые и другие виды.

 

2.5. Методы выделения сезонной компоненты

При рассмотрении квартальных или месячных данных многих социально-экономических явлений часто обнаруживаются определенные, постоянно повторяющиеся колебания, которые существенно не изменяются за длительный период времени. Они являются результатом влияния природно-климатических условий, общих экономических факторов, а также ряда многочисленных разнообразных факторов, которые частично являются регулируемыми. В статистике периодические колебания, которые имеют определенный и постоянный период, равный годовому промежутку, носят название "сезонных колебаний" или "сезонных волн".

Если эти колебания повторяются в течение небольшого промежутка времени, то они называются сезонной вариацией. Колебания, повторяющиеся в течение более длительного промежутка времени, называются циклической вариацией. Этот фактор можно выделить только по данным за длительные промежутки времени порядка десятков лет, которые здесь не рассматриваются.

Сезонные колебания характеризуются специальным показателями, которые называются индексами сезонности (I_S). Совокупность этих показателей отражает сезонную волну. Индексами сезонности являются процентные отношения фактических внутригодовых уровней к постоянной или переменной средней.

Для выявления сезонных колебаний обычно берут данные за несколько лет, распределенные по месяцам. Данные за несколько лет (обычно не менее трех) берутся для того, чтобы выявить устойчивую сезонную волну, на которой не отражались бы случайные условия одного года.

Если ряд динамики не содержит ярко выраженной тенденции в развитии, то индексы сезонности вычисляются непосредственно по эмпирическим данным без их предварительного выравнивания. Для каждого месяца рассчитывается средняя величина уровня, например, за три года , затем из них рассчитывается среднемесячный уровень для всего ряда и в заключение определяется процентное отношение средних для каждого месяца к общему среднемесячному уровню ряда, то есть:

I_S = (: )100% (2.18)

Если же ряд динамики содержит определенную тенденцию в развитии, то прежде чем вычислить сезонную волну, фактические данные должны быть обработаны так, чтобы была выявлена общая тенденция. Обычно для этого прибегают к аналитическому выравниванию ряда динамики.

При использовании способа аналитического выравнивания ход вычислений индексов сезонности следующий:

- по соответствующей функции времени вычисляются для каждого месяца (квартала) выровненные уровни ;

- вычисляются отношения фактических месячных (квартальных) данных Y_i к соответствующим выровненным данным в процентах

I = (Y_i: ) 100;

- находятся средние арифметические из процентных соотношений, рассчитанных по одноименным периодам в процентах I _i = (I ₁ + I ₂ + I ₃ +...+ I _n):n, где n - число одноименных периодов.

В общем виде формулу расчета индекса сезонности данным способом можно записать так:

I_S = . (2.19)

Расчет заканчивается проверкой правильности вычислений индексов, так как средний индекс сезонности для всех месяцев (кварталов) должен быть 100 процентов, то сумма полученных индексов по месячным данным равна 1200, а сумма по четырем кварталам - 400.

Пример. Представленные ниже данные - это количество продукции, проданной магазином в течение последних 13 кварталов. Необходимо проанализировать указанное множество данных и установить, можно ли обнаружить тенденцию. Если устойчивая тенденция действительно существует, данная модель будет использоваться нами для прогнозирования количества проданной продукции в следующие кварталы.

Решение. На рисунке нанесены соответствующие значения. При построении диаграммы временного ряда полезно последовательно соединить точки отрезками, чтобы более четко увидеть любую тенденцию.

Таблица 2.7

Количество продукции, проданной в течение последних

13 кварталов

Дата	Количество проданной продукции,
	тыс. шт.
Январь-март 1996
Апрель-июнь
Июль-сентябрь
Октябрь-декабрь
Январь-март 1997
Апрель-июнь
Июль-сентябрь
Октябрь-декабрь
Январь-март 1998
Апрель-июнь
Июль-сентябрь
Октябрь-декабрь
Январь-март 1999

 

Как следует из диаграммы, возможен возрастающий тренд, содержащий сезонные колебания. Объемы продаж в зимний период (1 и 4) значительно выше, чем в летний (2 и 3). Сезонная компонента практически не изменится в течение трех лет. Тренд показывает, что а целом объем продаж возрос примерно с 230 тыс. шт. в 1996 г. до 390 тыс. шт. в 1998 г., однако увеличения сезонных колебаний не произошло. Этот факт свидетельствует в пользу модели с аддитивной компонентой.

 

АНАЛИЗ МОДЕЛИ С АДДИТИВНОЙ КОМПОНЕНТОЙ: Y=Т+S+Е

Моделью с аддитивной компонентой называется такая