Типы задач по линейной алгебре для экзамена




Матрицы и определители ([1], гл. 1).

1. Вычислить определитель матрицы второго-четвертого порядков.

2. Определить ранг матрицы 4×5.

3. Определить максимальное количество линейно независимых векторов-строк или векторов-столбцов из заданной системы векторов в пространстве .

Системы линейных алгебраических уравнений ([1], гл. 2).

4. Решить алгебраическую систему третьего порядка

а) методом Крамера;

б) методом обратной матрицы.

5. Решить алгебраическую систему четвертого порядка методом Гаусса.

6. Методом Гаусса найти все решения алгебраической системы уравнений с неквадратной матрицей 4×5.

7. Найти фундаментальную систему решений системы линейных однородных алгебраических уравнений порядка 4×5 или 5×5. Записать общее решение совместной неоднородной системы с той же матрицей.

Аналитическая геометрия на плоскости ([3], гл. 3, §1-4, §6-7).

8. Разделить отрезок на плоскости в заданном отношении.

9. Построить уравнение прямой на плоскости

а) по двум точкам;

б) по точке и направляющему вектору;

в) по точке и вектору, перпендикулярному искомой прямой;

г) по угловому коэффициенту и точке.

10. Определить угол между двумя прямыми на плоскости.

11. Определить расстояние от заданной точки до прямой на плоскости.

12. Определить расстояние между параллельными прямыми.

Комплексные числа ([3], гл. 9, [1], гл. 16).

13. Найти корни квадратного уравнения с действительными коэффициентами и с отрицательным дискриминантом.

14. Для пары комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, вычислить сумму, разность, произведение и частное.

15. Комплексное число, записанное в алгебраической форме, представить в тригонометрической форме.

16. Возвести в натуральную степень заданное комплексное число, результат представить в алгебраической форме..

Аналитическая геометрия в пространстве ([3], гл. 10, §1-9).

17. Для пары векторов в трехмерном пространстве проверить ортогональность либо коллинеарность.

18. Для трех векторов в трехмерном пространстве проверить компланарность.

19. Выписать каноническое уравнение прямой, заданной в трехмерном пространстве пересечением пары плоскостей.

20. Определить угол между двумя прямыми в трехмерном пространстве.

21. Построить уравнение прямой в трехмерном пространстве

а) по двум точкам;

б) по точке и направляющему вектору;

в) по точке и параллельной прямой.

22. Определить угол между прямой и плоскостью.

23. Определить угол между двумя плоскостями.

24. Определить расстояние от заданной точки до плоскости в трехмерном пространстве.

25. Определить расстояние между параллельными плоскостями.

26. Построить уравнение плоскости по

а) трем заданным точкам;

б) двум заданным точкам и вектору, параллельному искомой плоскости;

в) одной заданной точке и двум векторам, параллельным искомой плоскости;

г) одной заданной точке и прямой, перпендикулярной искомой плоскости.

д) прямой, принадлежащей искомой плоскости, и одной заданной точке вне этой прямой;

е) двум параллельным прямым.

27. Проверить параллельность прямой и плоскости. Определить расстояние между ними.

Линейные пространства ([1], гл. 3).

28. В заданной системе векторов найти максимальную линейно независимую подсистему.

29. В арифметическом пространстве , даны векторов . Показать их линейную независимость. Для данного вектора найти представление в базисе .

30. Найти базис и размерность пространства решений однородной системы m линейных уравнений с неизвестными. Выписать общее решение системы.

Теоретические вопросы к экзамену по линейной алгебре

1. Определители квадратных матриц произвольного порядка.

2. Теорема Лапласа и вытекающие из нее свойства определителей.

3. Определение обратной матрицы. Доказательство единственности.

4. Понятие ранга матрицы, основанное на ненулевых минорах.

5. Элементарные преобразования, сохраняющие ранг матрицы.

6. Теорема о ранге матрицы по строкам и по столбцам.

7. Теорема Кронекера–Капели о совместности системы линейных алгебраических уравнений.

8. Размерность пространства решений системы линейных однородных алгебраических уравнений.

9. Фундаментальная система решений системы линейных однородных алгебраических уравнений. Общее решение системы неоднородных линейных алгебраических уравнений.

10. Общее уравнение прямой на плоскости и уравнение прямой с угловым коэффициентом.

11. Комплексные числа как элементы плоскости. Алгебраическая форма представления комплексных чисел.

12. Понятия модуля и аргумента комплексного числа, тригонометрическая форма представления комплексных чисел.

13. Понятие вектора как направленного отрезка. Понятие вектора как элемента линейного пространства.

14. Скалярное произведение, векторное произведение, смешанное произведение векторов в трехмерном пространстве.

15. Понятия ортогональности, коллинеарности и компланарности векторов.

16. Трехмерное пространство точек и связанное с ним множество свободных векторов, проекции вектора на оси координат.

17. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей в трехмерном пространстве.

18. Способы задания прямой в трехмерном пространстве.

19. Арифметическое пространство . Операции над его элементами.

20. Общее понятие линейного пространства. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.

21. Размерность и базис конечномерного линейного пространства. Переход к новому базису, преобразование координат вектора.

Основная литература

1. Н.Ш. Кремер и другие, Высшая математика для экономистов. Москва, издательское объединение «ЮНИТИ», любое издание.

2. В.С. Шипачев, Высшая математика. Москва, «Высшая школа», любое издание.

3. В.С. Шипачев, Задачник по высшей математике. Москва, «Высшая школа», любое издание.

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2018-01-08 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: