ОПИСАНИЕ ЛАБОРАТОРНОЙ УСТАНОВКИ

ИСЛЕДОВАНИЕ ТЕОРЕМЫКОТЕЛЬНИКОВА

Цель работы: Изучение принципов построения и работы малогабаритных телевизионных камер на ПЗС.

Вводная часть

Дискретный сигнал легко получить из аналогового, взяв его отсчеты в определенные моменты времени. Сигнал – это физический процесс (например, изменяющиеся во времени токи и напряжения), содержащий в себе некоторую информацию. Любой сигнал можно описать математической функцией. Существуют аналоговые, дискретные и цифровые сигналы. Аналоговые сигналы описываются непрерывной во времени функцией u(t), которая может принимать любые значения в определенном интервале; дискретные сигналы u( kΔt) представляют собой последовательности или отсчеты функции u(t), взятые в определенные дискретные моменты времениΔt; цифровыми являются сигналы, которые в дискретные моменты времени kΔt принимают конечные дискретные значения – уровни квантования, которые затем кодируются двоичными числами.Для того, чтобы восстановить исходный непрерывный сигнал из дискретизированного с малыми искажениями (погрешностями), необходимо рационально выбрать шаг дискретизации. Поэтому при преобразовании ана­логового сигнала в дискретный обязательно возникает вопрос о величине шага дискретизацииΔt. Интуитивно нетрудно понять следующую идею. Ес­ли аналоговый сигнал обладает низкочастотным спектром, ограниченным некоторой верхней частотой Fв, (т.е. функция u(t) имеет вид плавно изме­няющейся кривой, без резких изменений амплитуды), то вряд ли на некото­ром небольшом временном интервале дискретизации Δt эта функция может существенно изменяться по амплитуде.
Совершенно очевидно, что точность восстановления аналогового сиг­нала по последовательности его отсчетов зависит от величины интервала дискретизации Δt. Чем он короче, тем меньше будет отличаться функция u(t) от плавной кривой, проходящей через точки отсчетов. Однако с уменьшени­ем интервала дискретизации Δtсущественно возрастает сложность и объем обрабатывающей аппаратуры. При достаточно большом интервале дискре­тизации Δt возрастает вероятность искажения или потери информации при восстановлении аналогового сигнала.
Оптимальная величина интервала дискретизации устанавливается тео­ремой Котельникова (другие названия — теорема отсчетов, теорема К. Шеннона, теорема X. Найквиста: впервые теорема была открыта в мате­матике О. Коши, а затем описана повторно Д. Карсоном и Р. Хартли), дока­занной им в 1933 г. Теорема В. А. Котельникова имеет важное теоретическое и практическое значение: дает возмож­ность правильно осуществить дискре­тизацию аналогового сигнала и опреде­ляет оптимальный способ его восста­новления на приемном конце по отсчетным значениям.

Рис.1. Представление спектральной плотности

Согласно одной из наиболее из­вестных и простых интерпретаций тео­ремы Котельникова, произвольный сиг­нал u(t), спектр которого ограничен некоторой частотой F_e может - быть полностью восстановлен по последо­вательности своих отсчетных значений, следующих с интервалом времени

(1)
Интервал дискретизации Δt и частоту F_e (1) в радиотехнике часто называют соответственно интервалом и частотой Найквиста. Аналитически теорема Котельникова представляется рядом

(2)

где k — номер отсчета; u( kΔt) - значение сигнала в точках отсчета; ω_в=2πF_в=πΔt≤- верхняя частота спектра сигнала.
Для доказательства теоремы Котельникова рассмотрим произвольный непрерывный сигнал и(t), спектральная плотность 2ω_в которого сосредото­чена в полосе частот -ω_в≤ω_≤ω_в (сплошная линия на рис.1).
Мысленно дополним график спектральной плотностиS(ω) симметрично значениям, повторяющимся с периодом 2 ω_в, (штриховые линии на рис.1). Полученную таким образом периодическую функцию разложим в ряд Фу­рье, заменив в формуле

аргумент t на ω, частоту ω₁=ω_в на Δt и (фор­мально) п на k. Тогда

(3)

Полагая, что в соотношении период — это 2ω_в, а интервал дис-­

кретизации Δt=π/ω_в запишем (4)

Воспользуемся формулой обратного преобразования Фурье и представим исходный непрерывный сигнал в следующем виде:

(5)

Таким же образом запишем значение дискретизированного сигнала для некоторого k-то отсчета времени. Поскольку времяt=kΔt=kπ/ ω_в, то

(6)
Сравнив это выражение с формулой для C_k, замечаем, чтоC_k=Δtu(-kΔt). С учетом этого соотношения спектральная функция (3), после несложных преобра­зований, примет вид:

(7)

Затем проделаем следующее: подставим выражениеS(ω) в соотношение u(t)ω, изменим порядок интегрирования и суммирования, представим отно­шение как π/Δt=ω_в, и вычислим интеграл.
В результате получим такую фор­мулу:

Из этого соотношения следует, что непрерывная функция u(t) дейст­вительно определяется совокупностью ее дискретных значений амплиту­ды в отсчетные моменты времени t=kΔt, что и доказывает теорему Ко­тельникова.
Простейшие сигналы вида

ортогональные друг другу на интерва­ле времени -∞, называются функ­циями отсчетов, базисными функция­ми, или функциями Котельникова. График k-й функции Котельникова представлен на рис. 2. Каждая из ба­зисных функций S_k(t) сдвинута относи­тельно подобной ближайшей функции S_k-1(t) или S_k+∞1(t) на интервал дискрети­зации Δt.

Рис.2. График базисной функции Котельникова

Рис.3. Аппроксимация непрерывного сигнала рядом Котельникова функцией sinx/x, которая также характеризует огибающую спектральной плотности прямоугольного импульса.

Представление (точнее, аппроксимация) заданного непрерывного сигнала u(t) рядом Котельникова (2) иллюстрируется диаграммами на рис.3. графике (здесь базисные функции для упрощения показаны без аргумента Δ t, построены четыре первых члена ряда, соответствующие отсчетам сигнала в моменты времени 0, 1, 2 и 3 взятым в соответствии с теоремой Котельникова. При суммировании этих членов ряда в любые отсчетные моменты времени kΔt, непрерывный сигнал абсолютно точно аппроксимируется независимо от числа выбранных отсчетов. В интервале же между любыми отсчетами сигнал u(t) аппроксимируется тем точнее, чем больше суммируется членов ряда Котельникова (2).
Оценим возможность применения теоремы Котельникова к импульсному сигналу u(t) конечной длительности T_x. Как известно, такие сигналы теоретически обладают бесконечно широким спектром. Однако на практике можно ограничиться некоторой верхней частотой F_в за пределами которой в спектре содержится пренебрежительно малая доля энергии по сравнению с энергией всего исходного сигнала. В радиотехнике таким критерием является содержание 90% средней мощности сигнала в границах спектра. В этом случае сигнал u(t) длительностью T_x с верхней граничной частотой спектра F_в может быть представлен рядом Котельникова с определенным, ограниченным числом отсчетов

(10)

Здесь N = T_x/ Δ t - число отсчетов.

Рис.4. Представление прямоугольного импульса отсчетами: а - двумя; б - тремя

 

ОПИСАНИЕ ЛАБОРАТОРНОЙ УСТАНОВКИ

 

1.Лабораторная установка создана на базе программы моделирующей процесс дискретизации непрерывного входного сигнала и его восстановления из импульсной последовательности.

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

1.Изучить Теорему Котельниковаи основные понятия о дискретизазии непрерывного сигнала.

2.Ознакомиться с порядком выполнения лабораторной работы.

3.Подготовиться к ответам на контрольные вопросы.

ЛАБОРАТОРНОЕ ЗАДАНИЕ

1.Выставить частоту входного сигнала (движок «частота») в диапазоне 40-60 Гц. (красная линия спектра). Выставить диапазон просмотра шкалы от -25 до 50. По умолчанию программа выставляет фильтр 2го порядка.

2. На графике (верхний график) хорошо видны искажения восстановленного сигнала. Для уменьшения искажения нужно увеличить порядок интерполирующего фильтра (четвертый, шестой).

3.При тех же параметрах входного сигнала, выставляем фильтр четвертого порядка, а затем шестого порядка. Оцениваем величину искажений восстановленного сигнала.

4.Увеличиваем частоту исходного сигнала примерно до 95 Гц. Обратить внимание на форму восстановленного сигнала при приближении частоты исходного сигнала к частоте нижней боковой от первой гармоники частоты дискретизации.

5.Наблюдается «биения» восстановленного сигнала.

6.При увеличении частоты входного сигнала больше 100 Гц (красная линия спектра) частота нижней боковой компоненты становится меньше 100 Гц (синяя линия). Частота восстановленного сигнала становится меньше частоты входного сигнала. Частота восстановленного сигнала равна разности между частотой дискретизации и частотой входного сигнала.

7.Это явление наблюдается при восстановлении реальных сигналов и музыканты называют его «металлическим привкусом».

8.Исследование ошибок восстановления реальных сигналов по их отсчетам

9.Исследуем ошибки восстановления сигнала конечной длительности по их отсчетам. В качестве сигнала будем использовать посылку постоянного тока. Включим видео сигнал (выставим галочку в окошке «Видео сигнал»).

10.Выставим «диапазон шкалы для просмотра» от -25 до 100. По умолчанию стоит фильтр 8го порядка.

11.Меняя длительность сигнала, наблюдаем погрешности восстановления данного сигнала. Видим, что сигнал более длительный имеет более узкий спектр и в связи с этим он восстанавливается точнее в среднеквадратическом смысле.

12.Можем наблюдать процедуру восстановления сигнала, для этого меняем «положение отсчетного импульса». Сигнал восстанавливается как сумма всех возможных положений отсчетного импульса. В средней части импульса сигнал восстанавливается точнее, по краям погрешность больше. Это явление называется Эффектом Гиббса.

13.Можно проверить эффект повышения точности восстановления сигнала при увеличении порядка интерполирующего фильтра.

14. Значения частот, длительность сигнала и т.д. для проведения исследований выдает преподаватель.

СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА

1.Цель работы.

2.Описание лабораторной установки.

3.Осциллограммы и данные, полученные в результате выполнения работы.

5.Выводы по результатам выполнения каждого пункта лабораторной работы.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. 1. Каков практический смысл в дискретизации аналоговых сигналов?

2. Сформулируйте теорему Котельникова.

3. При каких условиях теорема Котельникова гарантирует двойное преобразование сигналов (дискретизация и восстановление) без искажений?

4. Могут ли быть дискретизированы и затем восстановлены импульсы прямоугольной формы?

5. Каков алгоритм восстановления дискретизированного сигнала?

6. Что такое базисная функция?

7. Какую функцию выполняет ФНЧ?

8. Можно ли произвольно увеличивать или уменьшать D t между отсчетами? К чему это может привести?

9. В чем отличие идеального и реального ФНЧ?

10. Как Вы представляете себе процесс дискретизации аналогового сигнала? Какие функциональные узлы для этого необходимы?

11. Все ли аналоговые сигналы могут быть: дискретизированы во времени; восстановлены после дискретизации?

12. Назовите причины, вызывающие искажения при восстановлении дискретизированных сигналов.

 

ЛИТЕРАТУРА

1.Телевидение: Учебник для ВУЗов / В.Е. Джакония, А.А. Гоголь, Я.В. Друзин и др.; Под ред. В.Е. Джаконии. — М.: Горячая линия — Телеком, 2007.— 616 с.

2. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебник для вузов. - М.: Высшая школа, 2000. - 462 с.

3.Солонина А.И. и др. Основы цифровой обработки сигналов: Учебное пособие для вузов. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 768 с.

4.Биккенин Р. Р., Чесноков М. Н. Теория электрической связи. — М.: Издательский центр «Академия», 2010. — 329 с.