Выполним оценку согласования статистического распределения с нормальным законом распределения, используя критерий ХИ-квадрат Пирсона.




Распределение случайной величины, в принципе, невозможно точно определить по результатам опытов. Полученные экспериментально оценки распределения дают возможность только строить различные гипотезы о распределении случайной величины, например, гипотезу о том, что она распределена нормально. Поэтому возникает задача проверки гипотез. Эта задача состоит в том, чтобы определить, насколько хорошо согласуется та или иная гипотеза о распределении случайной величины с полученными экспериментальными данными.

Для проверки гипотез о распределении применяются различные критерии согласия. Наиболее удобным является критерий ХИ – квадрат Пирсона. Он совершенно не зависит от распределения случайной величины, от ее размерности. Мерой согласия является величина , равная

,

где k – число разрядов гистограммы;

– вероятность попадания случайных значений в соответствующий интервал , вычисленная по теоретическому закону;

– статистическая частота попадания случайного значения в соответствующий интервал;

– число произведенных измерений.

Для случая аппроксимации статистического распределения нормальным законом вероятность попадания случайных значений величины в каждый из интервалов вычисляют с помощью формулы Муавра – Лапласа

,

где – функция Лапласа. В справочной литературе приводятся значения для различных значений . Данная информация приведена в приложении Б.

 

Таблица 2.6.1 – Результаты вычисления функции Лапласа

Xi                        
u -2.549 -2.007 -1.464 -0.922 -0.38 0.163 0.705 1.247 1.79 2.332 2.874 3.416
Ф(u) -0.4946 -0.47721 -0.428 -0.32122 -0.1480 0.0637 0.25955 0.3926 0.4633 0.4901 0.497921 0.49986

 

Таблица 2.6.2 – Результаты вычисления вероятностей по формуле Муавра – Лапласа и значения критерия

Xi 677.5 682.5 687.5 692.5 697.5 702.5 707.5 712.5 717.5 722.5 727.5
pi 0.022 0.049 0.107 0.173 0.212 0.196 0.133 0.071 0.027 0.008 0.002
i     1.6712963     0.0197172     0.000018     0.0000111     0.0969934     43.1950474     19.9575     8.6992951     0.0000995     1.17315     0.29085

 

 

Критерий будет равен: = 75,104.

Распределение ХИ-квадрат зависит от параметра , называемого числом степеней свободы распределения, определяемого по формуле

,

где k – число независимых связей.

Примерами связей могут быть

, и т.д.

Первое условие должно вводиться для всех видов распределения параметров. Кроме этого, должно выполняться условие равенства теоретических и статистических моментов: начального первого порядка и центральных второго и более порядков. Для случая нормального закона распределения ограничиваются условиями равенства моментов первого и второго порядков с соответствующими теоретическими, т.е. и .

 

Следовательно h=3, k=11, тогда r=8

 

Так как в таблице для = 75,104 и r=8 значения p не существует, данное распределение не согласуется с нормальным законом.

 

 

3. Из исходной выборки экспериментальных данных составим ограниченную выборку из 50-ти элементов путем извлечения из нее каждого третьего элемента. Для этой выборки выполним следующее:

 

3.1. Составим группированный статистический ряд и вычислить математическое ожидание и дисперсию:

 

Таблица 3.1.1

               
               
               
      710,5        
               
              710,5
               
               
               
      703,5        
               
               
               
               
  703,5            
      703,5        
               
               
      710,5        
               
  703,5            
      703,5        
          703,5    
              703,5
               
          703,5    
               
               
               
               
               
               
               
               
               
  703,5            
      703,5        
               

 

Минимальное значение параметра =  
         
Максимальное значение параметра = 710,5
         
Размах варьирования =   35,5

 

 

Таблица 3.1.2 – Группированный статистический ряд частот

Интервалы 675-682,1 682,1-689,2 689,2-696,3 696,3-703,4 703,4-710,5
Середина 678,55 685,65 692,75 699,85 706,95
Частота          
Pi 0,04 0,12 0,3 0,16 0,38

 

Таблица 3.1.3 – Определение начальных моментов

Xi Pi Ui PiUi PiUi^2 PiUi^3 PiUi^4
678,55 0,04 -2 -0,08000 0,00640 -0,00051 0,00004
685,65 0,12 -1 -0,12000 0,01440 -0,00173 0,00021
692,75 0,3          
699,85 0,16   0,16000 0,02560 0,00410 0,00066
706,95 0,38   0,76000 0,57760 0,43898 0,33362
Сумма     0,72 0,624 0,440832 0,3345254

 

Условные начальные моменты равны:

Центральные моменты:

m1= 697,862
μ2= 5,323296

 

Тогда

Математическое ожидание: m = 697.862

Дисперсия (смещенная): D = µ2 = 5.32296

Дисперсия (несмещенная): D=D`*50/49=5.43

Среднее квадратичное отклонение: σ=

Окончательное значение статистического параметра для данной выборки:

X=697.862±2.307.

 

 

Заключение

В ходе выполнения лабораторной работы было произведено:

а) составление группированного статистического ряда, построение гистограммы плотности распределения, сглаживающей кривой и кривой аппроксимируемого закона распределения;

б) вычисление основных моментов распределения и оценка симметричности и островершинности кривой распределения;

в) проверка гипотезы соответствия исследуемой выборки нормальному закону распределения с помощью критерия ХИ-квадрат Пирсона;

г) вычисление основных характеристик выборки из ограниченного числа опытов;

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-12-07 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: