Задания с развёрнутым ответом (решением)

12. На рынке существуют фирма и профсоюз. Профсоюз оказывает сильное воздействие на фирму и может указывать ей, какую заработную плату устанавливать. Известно, что взаимодействие описывается следующим образом:

· профсоюз выбирает уровень заработной платы работников ;

· фирма выбирает количество работников , которое она наймёт по этой ставке заработной платы.

Фирма максимизирует прибыль, функция которой описывается следующим уравнением:

.

Профсоюз же максимизирует свою функцию полезности, которая описывается следующим образом:

Определите, какую прибыль получит фирма.

Решение:

1) Рассматривая функцию прибыли как параболу относительно , получаем, что вершина или (+3 балла, за необоснованность типа экстремума (обоснование максимума) – штраф минус 1 балл)

2) Профсоюз максимизирует своё значение полезности:

Аналогично для функции полезности найдём вершину параболы относительно
Тогда

Или (+4 балла, за необоснованность типа экстремума (обоснование максимума) – штраф минус 1 балл)

3) Далее находим оптимальное количество труда:

(+2 балла)

4) Вычисляем прибыль фирмы: (+2 балла)

Максимум за задание – 11 баллов.

13. В небольшом государстве Малютка живёт Фёдор, которому нравится ухаживать за домашними животными. Для этого он покупает им домики и корм . Чтобы животным было уютно, необходимо выполнение условия . При этом Фёдор старается потратить на уход за животными как можно меньше денег, потому что ему нужно ещё и содержать семью, однако для уюта животных денег всегда хватает. Корм Федор всегда покупает у друга по цене 5 мальков (денежная единица государства Малютка) за ед. корма. А вот домики делает лишь одна компания «МалютЖивотноСтрой», тратя на каждый домик 2,5 малька (домики не обязательно должны быть целыми). Других покупателей у фирмы нет. При этом цену домика Фёдор воспринимает как заданную, не зависящую от его решений. Правительство страны Малютка тоже заботится об уюте домашних животных. Так, решено было выделить Фёдору грант в размере 10 % от всех денег, что он потратит на содержание домашних животных. Как такое решение скажется на прибыли «МалютЖивотноСтроя»? Сколько денег сэкономит Фёдор? Дайте количественную оценку этих показателей.

Решение:

Задача Фёдора:

Подставляем второе в первое, находим минимум функции (квадратного трёхчлена относительно с ветвями вверх):

или

(+3 балла за любое представление, за необоснованность типа экстремума (обоснование максимума) – штраф минус 1 балл)

Также можно воспользоваться свойством предельных полезностей
без минимизации самой функции (в этом случае также ставится полный балл, при данном решении при отсутствии указания на то, чтоMU(q1) убывает, а MU(q2) постоянна, или иное обоснование типа экстремума (обоснование максимума) – штраф минус 1 балл).

Теперь рассмотрим прибыль монополиста:

.

Прибыль – парабола ветвями вниз относительно , максимум достигается
в точке (+4 балла, за отсутствие объяснения – минус 1 балл).

Тогда .

Расходы Фёдора составляют: .

Прибыль «МалютЖивотноСтроя»: .

Новая задача Фёдора выглядит, как:

Оптимальные значения и не изменятся, так как целевую функцию просто умножили на положительное число (+2 балла)

То есть прибыль «МалютЖивотноСтроя» также не изменится (+1 балл)

При этом расходы Фёдора станут равны (+ 1 балл)

Фёдор сэкономит:

Максимум за задание – 11 баллов.

14. Зайчик и Бельчонок решили открыть бизнес по производству варенья из черники и шишек. Бельчонок может за час собрать 30 шишек или 4 кг черники, альтернативные издержки производства каждого продукта для него постоянны. Зайчик, не имеющий возможности собирать шишки, за час собирает 10 кг черники. При этом если сбор черники какое-то время осуществляется совместно, производительность Зайчика на этот срок увеличивается на 20 %.

1) Определите, как распределят труд и сколько варенья смогут произвести друзья из собранных за час ингредиентов, если для производства одной банки варенья требуется 5 шишек и 3 кг черники.

Узнав о замысле Зайчика и Бельчонка, Медвежонок предложил им свои услуги по сбору черники. Медвежонок за час может собрать 14 кг черники, однако просит за это почасовую заработную плату в виде одной банки готового варенья.

2) Определите, примут ли Зайчик и Бельчонок это предложение, и если да, то ответьте на вопросы пункта 1), учитывая участие Медвежонка.

Решение:

1) Пусть – доля часа, которую Бельчонок собирает чернику. Тогда всего будет собрано шишек и кг черники.

Тогда , откуда .

При × (это соответствует ситуации, когда Бельчонок собирает только шишки). Эти условия задают КПВ (+2 балла).

Производственная функция варенья .

При подстановке уравнения в КПВ получаем .

Таким образом, Бельчонок соберёт 20 шишек и 1 кг черники (+1 балл),
аЗайчик –10 кг черники (+1 балл).

Будет произведено 4 банки варенья (+1 балл).

Решение этого пункта может быть записано в форме рассуждений без применения формул. Оптимизируем время на изготовление одной банки. Все шишки для неё будет собирать Бельчонок, ему на это потребуется 5/30 часа = 10 минут. За это время Зайчик соберёт 5/3 кг черники, останется собрать ещё 4/3 кг. При совместной работе их скорость достигает 16 кг/ч, т. е. на сбор 4/3 кг потребуется (4/3):16 = 1/12 часа = 5 минут. Так что всего на сбор ингредиентов для банки нужно 15 минут, а за час они произведут 4 банки.

2) Подключение Медвежонка приводит к смещению КПВ на 14 единиц вправо. Новый вид КПВ:
и (+2 балла).

При подстановке уравнения получаем

Поскольку Бельчонок не в состоянии собирать такое количество шишек, оптимум достигается при , что позволит произвести 6 банок варенья
(+2 балла). После выплаты зарплаты Медвежонку в размере 1 банки
у Зайчика и Бельчонка останется 5 банок. Таким образом, предложение Медвежонка будет принято, Бельчонок целиком переключится на шишки
(+1 балл), Зайчик и Медвежонок на двоих должны собрать не менее 18 кг черники (+1 балл).

Аналогично в данном пункте также можно рассуждать. Из-за ограничений Бельчонка по сбору шишек больше 6 банок произвести не удастся, а 6 точно можно произвести, так как Зайчик и Медвежонок, работая вместе, произведут чернику с запасом. Предложение Медвежонка при этом будет принято.

Максимум за задание – 11 баллов.

15. В стране Бета есть три равные по численности группы населения: бедняки, середняки и богачи. Люди внутри одной группы имеют одинаковый доход. Известно, что доход середняка в два раза больше, чем доход бедняка, и в два раза меньше дохода богача. Чему равен коэффициент Джини неравенства распределения доходов в стране Бета?

Решение:

Пусть доход одного бедняка x, тогда у середняка 2 х, а доход богача 4 х.
Пусть в государстве живёт N жителей. Суммарный доход жителей равен

(+3 балла)

Вычислим доли доходов каждой группы и запишем в таблицу:

(+3 балла за таблицу)

Далее вычислим коэффициент Джини любым удобным способом:

(+5 баллов)

Максимум за задание – 11 баллов.