Следствия из аксиомы№3
I. Через прямую и точку вне её можно провести плоскость и притом только одну.
2. Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость и притом только одну.
3. Через две параллельные прямые можно провести плоскость и притом только одну
СКРЕЩИВАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ
Определение.
Две прямые называются скрещивающимися, если через них нельзя провести плоскость,
Следствие
Скрещивающиеся прямые не имеют общих точек.
ТЕОРЕМА (признак скрещивающихся прямых)
Если из двух прямых одна лежит в некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то такие прямые скрещиваются.
ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
Определение.
Прямая называется параллельной плоскости, если она не имеет с этой плоскостью общих точек.
ТЕОРЕМА (признак параллельности прямой и плоскости)
Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, расположенной в плоскости, то она параллельна и самой плоскости.
ТЕОРЕМА (свойство прямой, параллельной плоскости)
Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости и пересекает эту плоскость, то линия пересечения параллельна первой прямой.
ТЕОРЕМА
Если параллельные прямые лежат в двух пересекающихся плоскостях, то каждая из них параллельна линии пересечения этих плоскостей.
ТЕОРЕМА
Если прямая параллельна каждой из двух пересекающихся плоскостей, то она параллельна их линии пересечения
ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ
Определение.
Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек
ТЕОРЕМА (признак параллельности двух плоскостей)
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то такие плоскости параллельны.
ТЕОРЕМА (свойство параллельных плоскостей)
Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии
пересечения этих плоскостей параллельны.
ТЕОРЕМА.
Отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостями, равны.
ТЕОРЕМА
Если каждая из двух плоскостей параллельна третьей, то они параллельны между собой.
ТЕОРЕМА
Если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого угла и стороны их одинаково направлены, то эти углы равны и лежат в параллельных плоскостях.
УГЛЫМЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ
Определение
За угол между скрещивающимися прямыми принимается угол между прямыми, параллельными данным скрещивающими прямым и проведенными через произвольную точку пространства.
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
Определение.
Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей на этой плоскости.
ТЕОРЕМА (признак перпендикулярности прямой и плоскости)
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости.
Определение
Перпендикуляром из точки вне плоскости называется отрезок прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно плоскости, расположенный между данной точкой и точкой пересечения прямой с плоскостью. Все остальные отрезки, соединяющие данную точку с точками плоскости называются наклонными к плоскости
Проекцией наклонной на плоскость называется отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной.
Определение
Углом между прямой и плоскостью называется угол между наклонной и ее проекцией на эту плоскость
Определение
Если точка находится вне плоскости, то расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.
ТЕОРЕМА
Если одна из параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая тоже ей перпендикулярна
ТЕОРЕМА
Две прямые перпендикулярные к одной плоскости параллельны
ТЕОРЕМА
Если прямая перпендикулярна к одной из параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и к другой
ТЕОРЕМА
Если две плоскости перпендикулярны к одной и той же прямой, то они параллельны
ТЕОРЕМА (о трех перпендикулярах)
Если прямая, лежащая в плоскости,перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и ее проекции.
ТЕОРЕМА (о трех перпендикулярах обратная)
Если прямая, лежащая в плоскости,перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной
ДВУГРАННЫЕ УГЛЫ
Определение
Фигура, образованная в пространстве двумя полуплоскостями, имеющими обшую граничную прямую, называется двугранным углом.
Общая прямая называется ребром двугранного угла, а полуплоскости его гранями
Определение
Угол, образованный двумя перпендикулярами, проведенными из одной точки к ребру двугранного угла и лежащими в его гранях называется линейным углом двугранного угла
Величиной двугранного угла называется величина его линейного угла
ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПЛОСКОСТИ
Определение
Плоскости называются взаимно перпендикулярными, если они образуют двугранные углы по 900
ТЕОРЕМА (признак перпендикулярности двух плоскостей)
Если плоскость проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
ТЕОРЕМА
Если две плоскости взаимно перпендикулярны и из точки на одной из них проведен перпендикуляр к другой плоскости, то он весь лежит в этой плоскости
ТЕОРЕМА
Линия пересечения двух плоскостей,перпендикулярных к третьей плоскости, есть перпендикуляр к этой плоскости
ТЕОРЕМА
Если две плоскости взаимно перпендикулярны, то перпендикуляр, проведенный к их линии пересечения в одной плоскости, является перпендикуляром к другой плоскости
МНОГОГРАННИКИ
• Многогранником называется тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками. Многоугольники, ограничивающие многогранник, называются его гранями, а стороны и вершины граней — ребрами и вершинами многогранника.
• Отрезки прямых, соединяющие две вершины многогранника, не принадлежащие одной грани, называются диагоналями многогранника.
• Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от каждой своей грани, неограниченно продолженной.
ПРИЗМА
• Призмой называется многогранник, у которого две грани — равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами, а все остальные — параллелограммы, плоскости которых параллельны одной и той же данной прямой.
• Многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями призмы. Параллелограммы называются боковыми гранями, а их стороны называются боковыми ребрами. У призмы все боковые ребра равны.
• Перпендикуляр, опущенный из какой-либо точки одного основания на другое, называется высотой призмы.
• Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны основаниям. У прямой призмы боковые грани - прямоугольники, а высоты равны боковому ребру.
• Прямая призма называется правильной, если в её основании лежат правильные многоугольники. У правильной призмы все боковые грани - прямоугольники.
ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД
• Призма, основания которой — параллелограммы, называется параллелепипедом. Параллелепипеды бывают прямые и наклонные. Прямой параллелепипед называется прямоугольным, если в его основаниях лежат прямоугольники.
• Три ребра параллелепипеда, исходящие из одной вершины, называются его измерениями.
• Прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны, называется кубом.
• В параллелепипеде противоположные грани равны и параллельны, все четыре диагонали пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.
• В прямоугольном параллелепипеде квадрат диагонали равен сумме квадратов трех его измерений.
ПИРАМИДА
• Пирамидой называется многогранник, у которого одна грань, называемая основанием,— многоугольник, а все остальные грани, которые называются боковыми гранями,— треугольники, имеющие общую вершину.
• Общая вершина боковых треугольников называется вершиной пирамиды, а перпендикуляр, опущенный из вершины на основание, называется высотой пирамиды.
• Пирамида называется правильной, если в основании её лежит правильный многоугольник, а высота проходит через центр этого многоугольника. В правильной пирамиде все боковые грани — равнобедренные треугольники. Высота такого треугольника называется апофемой пирамиды.
• Плоскость, проведенная через вершину пирамиды и через какую-нибудь диагональ основания, называется диагональной плоскостью.
• Часть пирамиды, расположенной между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию, называется усеченной пирамидой. Параллельные многоугольники называются основаниями, а расстояние между ними — высотой усеченной пирамиды.
• Если пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию, то:
- боковые ребра и высота делятся этой плоскостью на пропорциональные части;
- в сечении получается многоугольник, подобный основанию;
- площади сечения и основания относятся, как квадраты их расстояний от вершины.
ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ МНОГОГРАННИКОВ
• Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро. При этом под перпендикулярным сечением понимается многоугольник, получаемый от пересечения призмы плоскостью, перпендикулярной к боковым ребрам.
• Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту.
• Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению периметра основания на половину апофемы.
• Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы обоих оснований на апофему.
• Чтобы получить полную площадь поверхности многогранника, нужно к его площади боковой поверхности прибавить площади оснований.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМОВ МНОГОГРАННИКОВ
• Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений, а объем куба равен кубу его ребра
V = а • b • с
где а, b, с — длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда.
Если а = b = с, то есть это куб- то V = а 3.
• Объем призмы равен произведению площади основания на высоту:
V = S • H
где S — площадь основания, H — высота призмы.
• Теорема: Наклонная призма равновелика такой прямой призме, у которой основание равно перпендикулярному сечению наклонной призмы, а высота равна ее боковому ребру.
• Объем пирамиды равен произведению площади основания на одну треть высоты:
V =1/3 • S • H
• Объем усеченной пирамиды равен сумме объемов трех пирамид, имеющих высоту, равную высоте этой усеченной пирамиды, а основания соответственно равны: одной — нижнему основанию данной пирамиды, другой — верхнему основанию, а площадь основания третьей пирамиды равна среднему геометрическому площадей верхнего и нижнего оснований.
КРУГЛЫЕ ТЕЛА
ЦИЛИНДР
• Цилиндрической поверхностью называется поверхность, описываемая движением прямой линии, перемещающейся в пространстве параллельно данной прямой и пересекающей при этом данную линию. Движущаяся прямая называется образующей, а линия, вдоль которой движется образующая, называется направляющей.
• Цилиндром называется тело, ограниченное замкнутой цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями.
• Часть цилиндрической поверхности, заключенной между параллельными плоскостями, называется боковой поверхностью. Части параллельных плоскостей, отсекаемые цилиндрической поверхностью, называются основаниями цилиндра. Расстояние между основаниями цилиндра называется его высотой.
• Если образующие перпендикулярны к плоскости основания, цилиндр называется прямым. Прямой цилиндр называется круговым, если его основания — круги.
• Сечение кругового цилиндра плоскостью, параллельной основаниям, есть круг.
КОНУС
• Конической поверхностью называется поверхность, описываемая движущейся прямой так, что при перемещении она постоянно проходит через неподвижную точку и пересекает некоторую данную линию.
• Движущаяся прямая называется образующей, точка S и линия, через которые проходят образующие, называются соответственно вершиной и направляющей конической поверхности.
• Конусом называется тело, ограниченное частью замкнутой конической поверхности, расположенной по одну сторону от вершины, и плоскостью, пересекающей все образующие по ту же сторону от вершины.
• Часть конической поверхности, отсекаемая плоскостью, называется боковой поверхностью, а часть плоскости, отсекаемая конической поверхностью,— основанием конуса.
• Перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на плоскость основания, называется высотой конуса.
• Конус называется прямым круговым, если его основание есть круг, а вершина проектируется в центр основания. Сечение прямого конуса (кругового) плоскостью, параллельной основанию, есть круг.
• Часть конуса, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию, называется усеченным конусом
• Параллельные круги называются его основаниями, а расстояние между основаниями — высотой усеченного конуса.
ШАР
• Шаровой или сферической поверхностью называется геометрическое место точек пространства, равноудаленных от данной точки, называемой центром шара.
• Отрезок прямой, соединяющий центр с какой-нибудь точкой шаровой поверхности, называется радиусом.
• Отрезок прямой, соединяющий две точки шаровой поверхности, называется хордой.
• Хорда, проходящая через центр, называется диаметром.
• Шаровую поверхность можно определить еще как поверхность, образованную вращением полуокружности вокруг диаметра.
• Тело, ограниченное шаровой поверхностью, называется шаром или сферой.
• Всякое сечение шара есть круг, причем радиус этого круга определяется по формуле:
r 2 = R 2 - d 2
где r - радиус круга, R - радиус шара, d - расстояние секущей плоскости от центра.
• Сечения шара плоскостью обладают следующими свойствами:
а) сечения, равноотстоящие от центра, равны;
б) из двух сечений, неодинаково удаленных от центра шара, то, которое ближе к центру, имеет больший радиус;
в) наибольший радиус имеет то сечение, которое проходит через центр шара. В этом случае сечение имеет радиус, равный радиусу шара, а само сечение называется большим кругом.
• Через две точки шаровой поверхности, не лежащие на концах одного диаметра, можно провести окружность большого круга и только одну.
• Часть шаровой поверхности, отсекаемая от нее какой-нибудь плоскостью, называется сегментной поверхностью.
• Часть шаровой поверхности, заключенной между двумя параллельными секущими плоскостями и называется шаровым поясом
• Окружности сечения и называются основаниями, а расстояние между параллельными плоскостями — высотой пояса.
• Плоскость, имеющая с шаровой поверхностью только одну общую точку, называется касательной плоскостью.
• Теорема: Плоскость, перпендикулярная к радиусу в конце его, лежащем на поверхности шара, есть касательная плоскость.
• Обратная теорема: Касательная плоскость перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.
ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
• Поверхностью вращения называется поверхность, которая получается от вращения какой-нибудь линии вокруг неподвижной прямой.
• Линия, которая вращается, называется образующей, а прямая, вокруг которой вращается образующая, называется осью вращения.
• Любая плоскость, перпендикулярная к оси, пересекаясь с поверхностью вращения, дает в сечении окружность.
.
ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ КРУГЛЫХ ТЕЛ
.
• Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту. Если обозначить радиус окружности основания цилиндра через г, его высоту через h, то площадь боковой поверхности выражается формулой: Sбок =2πrh
Чтобы получить полную площадь поверхности цилиндра, нужно к боковой поверхности Sбок прибавить площади оснований, которые равны πr2 каждая. Поэтому полная поверхность цилиндра равна: Sполн =2πrh + 2πr 2 = 2πr (h + r)
• Площадь боковой поверхности конуса равна произведению длины окружности основания на половину образующей L. Sбок = πr L
• Полная площадь поверхности конуса равна: Sполн =πr L + πr 2 = πr (L + r)
• Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую: Sбок = π L (R + r), где L — длина образующей, R — радиус окружности нижнего основания, r — радиус окружности верхнего основания.
• Полная площадь поверхности усеченного конуса равна:
Sполн = π (R 2 + r 2 + RL + rL)
• Под поверхностью шарового пояса, образованного вращением части полуокружности вокруг диаметра, понимают предел, к которому стремится площадь поверхности, образованной вращением около этого диаметра вписанной в дугу правильной ломаной линии, если число сторон этой ломаной неограниченно увеличивать путем последовательного удвоения.
Это же определение справедливо для поверхности шарового сегмента и для самого шара.
• Площадь поверхности шарового пояса и шарового сегмента равна произведению длины окружности большого круга на высоту. Sбок = 2 π R h, где R - радиус шара, h - высота сегмента и шарового пояса.
Поскольку сам шар можно рассматривать как шаровой пояс с высотой 2R, то площадь поверхности шара равна: S = 4 π R 2
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМОВ КРУГЛЫХ ТЕЛ
• Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту: V = π R 2 H
где R - радиус круга основания, H - высота цилиндра.
• Объем конуса равен произведению площади основания на одну треть высоты: V = 1/3 • π R 2 H
• Объем усеченного конуса равен сумме объемов трех конусов, имеющих высоту, равную высоте этого усеченного конуса, с основаниями равными: один — нижнему основанию данного усеченного конуса, другой — верхнему основанию, площадь основания третьего равна среднему геометрическому площадей верхнего и нижнего основания:
V = 1/3 • π H(R 2 + r 2 + R • r)
• Объем шарового сектора равен произведению площади поверхности его основания на одну треть радиуса.
•Объем шара равен произведению площади его поверхности на одну треть радиуса:
V = 4/3 • π R 3 H
СЕЧЕНИЯ МНОГОГРАННИКОВ
При пересечении многогранника с плоскостью на его гранях и ребрах остаются следы секущей плоскости. На гранях эти следы являются отрезками прямых линий, на ребрах - это точки. Определение Многоугольник, ограниченный следами секущей плоскости на гранях многогранника, называется сечением многогранника При построении сечений многогранника руководствуемся следующими фактами:
• Любые три точки на поверхности многогранника определяют его сечение. Если эти
три точки не лежат на одной прямой, то это сечение определено однозначно.
• Все грани и ребра задают в пространстве бесконечные плоскости и прямые
• Если на грани многогранника есть точка, принадлежащая секущей плоскости, то на
грани есть след этой плоскости - отрезок прямой. Если на ребре многогранника есть
точка, принадлежащая секущей плоскости, то на каждой грани, которой
принадлежит данное ребро останется след секущей плоскости.
• При построении сечений соединять любые две точки на чертеже можно только в том
случае, если они лежат на одной плоскости
Алгоритм построения сечения
1.Если 2 точки секущей плоскости лежат в плоскости одной грани, то проводим через них прямую. Часть прямой, лежащей в плоскости грани – есть сторона сечения
2.Если прямая а является общей прямой секущей плоскости и плоскости какой -либо грани, то находим точки пересечения этой прямой с прямыми, содержащими ребра этой грани. Полученные точки –зто новые точки сечения, лежащие в плоскостях граней(после этого шага смотрим: нельзя ли вернуться к шагу 1)
3.Если никакие 2 из данных точек не лежат в плоскости одной грани, то строим вспомогательное сечение, содержащее любые 2 из данных точек, а затем выполняем шаги 1 и 2.