Отрицательные страховые суммы

Предположим, что страховая компания занимается только операциями с рентой. В этом случае общее количество страховых сумм, выплачиваемых компанией в интервале времени (0, и], равно %(и)= — %{и), где {%(и), 0 <;«< оо} — обобщенный пуассоновский процесс с теми же свойствами, что и процесс, введенный в пре­дыдущем пункте. Распределение величины %{и) задается форму­лой (11); обозначения (12) —(15) мы будем использовать для про­цесса {%(и), 0<!и<сю} без изменений.

В этом случае число с отрицательно и выбором подходящей денежной единицы его можно сделать равным —1.

 

Теперь наша задача свелась к нахождению функции

W(t,x) = P{ sup [и-х(«)]<*} (35)

0<u<<

для конечных значений t, a также функции

W(x) = P{ sup [ы-х («)]<*}. (36)

0<Ц<°°

Ее можно решить с помощью теорем § 17. По теореме 1 § 17

t

W(t,x)=l-jfd_yP{%(y)^y-x} (37)

х

для 0<л:^/, а по теореме 3 § 17

оо

W(x)=\- jfd_yP{%(y)^y-x}=l-e-^ (38)

X

для х>0, где ш — наибольший неотрицательный вещественный корень уравнения (D(s) = s. Если O^p^l, тош = 0, аеслир>1, то œ > 0. Далее,

Е{е-^гвх} = е-^шЫ (39)

для *>0 и Re(z)>0, где s = œ(z) — единственный корень уравне­ния Ф(«) = 5 — z в области Re(s)^0. Отсюда

E{8J = _Té^ (40)

при р< 1 и

Var{6,} = _Tr^_T (41)

при, р<1 и а²<оо. В силу теоремы 9 § 29

^11тР(^Гж¹"!^>.⁾<^г} ⁼ 7Г⁼- f'-*"^ (42)

 

 

если р< 1 и а²<с».

Пример 1. Если

Я(*> = Ц

1 для х ^ а,

для я < а, то

(43)

 

для k = О, 1, 2,.... Тогда формула (37) дает

Ш-х)1а]

W(t,x)=l- 2 -57^7 Pfo(*/ +*) = <$-

l-o

W-x)la]

= 1-P{XW = 0}-U J |р{_Х(а/ + л;) = а(/-1)} (45)

для 0<x^.t, a формула (38) —

W{x)=l-e-^a'^x (46)

для л:>0, где ю — наибольший неотрицательный вещественный корень уравнения À (1 — e~^atû) = to.

Замечание. Из (45) следует, что для 0<л:^/

Ш-х)1а\

W(t, х)=\-е-^Хх-Кх 2 e-W+'>^[X(a' ^{+ x)]} ■ (47)

Саксен [29] нашел, что

W{t,x)=\-e-^~e-^ J е-^ХаЧЫ? J (7) Jly/'i'' " ⁽⁴⁸⁾

__* =! 2/,-*

' /(>0

Сравнивая (47) и (48), мы получаем интересное тождество

= У г/-

*1 ^ /,! /,1..."

¹ /_г>о справедливое для /г = 1, 2,... и для всех z. Пример 2. Пусть

1 — е-и* для л; ^ О,

^Я(;с) I 0 для *<0.

Тогда в силу (37)

W(t, x) = l-e-^+jf^dP^ylfy-^x]dy^

X

t = i _ е-хх _ ipxtpx J _e-№+n) у у (ъ.ру(у -x))dy (51)

для 0 < х ^ /, где функция / (я) задана формулой (32).

 

Если р = А/ц < 1, то (ù = 0, а если р = Я/ц > 1, то ® = Х — ц.

Тогда (38) дает

W(x)=l-e-^-^^x (52)

при х>0 и Я>ц.

Произвольные страховые суммы

Пусть теперь страховые суммы могут принимать как поло­жительные, так и отрицательные значения. Иначе говоря, {/(«), О ^ и < оо} — пуассоновский процесс и его распределение задается формулой (2). Тогда %(и) можно представить в виде суммы слу­чайного числа случайных величин:

*(«)= 2 ъ, (53)

где Хи %2>..., Xt,... —взаимно независимые и одинаково распре­деленные случайные величины с функцией распределения Я (х), а т_ь т₂,..., т,-,... —моменты наступления событий данного пуас-соновского процесса. Случайные величины {/,■} и {tJ независимы. Кроме того, разности т₍- — т_г_[ (/=1,2,...; т₀ = 0) являются взаимно независимыми и одинаково распределенными случайными величи­нами с функцией распределения F(x)= 1 — е^-Л* для х^О. Обозна­чим а = Е{Х(}.

Положим £(«) = %{и) — си для «^0. Тогда

№(/, х) = Р{ sup £(«)<*} (54)

И

Г(х) = Р{ sup £(«)<*}. (55)

0<и<оо

Для х^О имеем

W (t, x) = e~^Kte(x + ct) +

6{t, X, С) X + CU

+ j J W(t-u, x + cu-y)e-^tMkdudH(y), (56)

Oo

где e (ж) = 1 при л: ^ 0 и e (x) = 0 при x < 0; ô (/, x, с) = t при с ^ 0 и ô (t, х, с) = min (t — х/с) при с < 0. В самом деле,

PI sup £(иХ*|т! = ы и Xi = «/1 = IE (X + С^)W(/ — и, х + си — у) о

при u>t,

при u<à(t, х, с), (57)

В' остальных случаях.

 

Взяв математическое ожидание от (57) по т^ и %_и получим (56). Решив интегральное уравнение (56), найдем W(t, х).

Из уравнения (56) можно вывести интегро-дифференциальное уравнение

dW (t, x) dW (t, x),

dt

dx

= С --- ^— - — X

W(t, x)- J W(t, x-y)dH(y)

, (58)

 

справедливое для почти всех (t, x)(t^0, x^O).

Рассуждая так же, как при выводе уравнения (56), получаем

W

 

5 (я. с) х+си

(*)= J J" W (x + си - y) е~^КиХ du dH(y)

(59)

 

при x ^ 0, где ô {x, c) = oo при с ^ 0 и ô (x, c)= — x/c при с < 0. Если Xa<c, то №(oo)=l, a W (x) определяется по формуле (59). Если Ха^с, то №(оо) = 0, откуда W(x) = 0 для всех х.

Те же рассуждения, что и при выводе уравнения (58) из (56), дают

cW (x) = X

(60)

W(x)- jW(x-y)dH(y)

— oo

для всех х^О. Проинтегрировав (60) от х до оо, получим

ОО X

c[\-W{x)\ = X | [l-H(u)]du + X J" [l-W(u)]du-

x 0

oo

-X j [l-W(u)]H(x-u)du (61)

 

для x ^ 0.

Если Ха<с и с^О, то

oo

j e-^sxdW(x) = A(s) о

для Re(s)^0, а если Ха<с и с<0, то

-*. oo

je-dW(x) = A(s)(_Y^) о

для Re(s)>0, где

Л (s) = exp I - J" e-** dM (x) \

(62)

(63)

(64)

 

и

Оо оо

^{М (х) =} S Ч\ J ^e~^Kvu"~^l [!-#»(* + си)] du, (65)

п=\ О ИЛИ

M(x) = f ^V{l(ul^>K) du (66)

о при х^О.

Формулы (62) и (63) легко доказать с помощью соотношения (23) § 11. Положим £= sup £(и). Если с^О, то

0<и<°о

£ = sup £(т_г + 0)= sup (xi+... +Хг-ст_г), (67)

0<r<°o 0<r<°o

а если c<[0, то

£ = sup £(т_г-0) = sup (x,+... +Xr-i + CT_r). (68)

В соответствии с этим, если \_т — %_г — с(х_г — t_r-\) для г=1, 2,..., то для с^О формула (67) дает

£ = sup(0, g,, Êi+Ег,.... Si+... +lr, •••), (69)

где ■ I,, g₂,..., |„...—взаимно независимые и одинаково рас­пределенные случайные величины. Если Е {|_г} = а — с/Х < 0, то £ — собственная случайная величина, а преобразование Лапласа — Стильтьеса распределения Р {t, ^. х) — W (х) определяется по фор­муле (23) § 11. Если Е{У = а-сД>0, то Р{| = оо}=1, т.е. W(x) = 0 для всех х.

Если \_т = Хг — с(т_г+1 — х_г) для г=\, 2,..., то для с^О фор­мула (68) дает

£=-_CTl + sup(0, tuh + h,.... Êi +... + S„...), (70)

откуда £ = cti + £*, где величина Ç не зависит от Т[ и имеет такое же распределение, что и (69).

Замечание. В заключение приведем небольшой обзор исто­рического развития математической теории разорения. Асимпто­тическое распределение процесса разорения (х(и), 0^«<оо) было впервые изучено в 1903 г. Лундбергом [21] и далее исследовалось им же в работах [22—26]. Лундберг заметил, что если Е{%(и)) = ри и Var{x(«)} = 0²«, где число а² конечно и положительно, то

_limpiM^L_<x}₌ I h-Mdy. (71)

п-><х> L у а²и) у 2л •>

 

Погрешность нормального приближения оценили Крамер [9, 10] и Эссеен [18]. Приближенную формулу для Р (х(«) — р«^ хи) при х<0 дал Эстер [17], а потом его метод развивали Крамер [11] и Феллер [19].

Функцию разорения Р {0* < оо} = 1 — W (х), определенную соот­ношением (55), ввел Лундберг [23, 25, 26]. Для случая положитель­ных страховых сумм (Я(0) = 0) Лундберг нашел, что 1 = W(x)^.e~^Rx при ï^O и 1 — W(х) ~ Ce~^Rx при х->оо, где R и С —положитель­ные константы. В 1926 г. Крамер [9] обнаружил, что при Ха<с и #(0) = 0 функция W(x) удовлетворяет интегральному уравнению типа Вольтерры

х

c[l -W(x)] = Xa-l j W(u)[l-H(x-u)]du (72)

о

для х^О. В 1930 г. Крамер [10] нашел преобразование Фурье функции W(x) (формула Полячека — Хинчина в теории очередей). Для постоянных страховых сумм функция W(x) была найдена в явном виде Феллером (см. также Сегердал [31, стр. 88]). В этом случае ее еще раньше нашел Эрланг (см. [20] в литературе к гл. 5). Для произвольных страховых сумм Сегердал [31 — 33] показал, что l-W(x)^e~*^x при х>0 и 1 - W (х) ~ Се~^^х при х->оо. В 1937 г. Крамер [12] доказал, что в случае произвольных стра­ховых сумм W(x) удовлетворяет интегральному уравнению (61). Решение интегрального уравнения (61) в виде (62) и (63) дали Тэклинд [36] и Крамер [13].

Моменты случайной величины 0*, определенной формулой (6), вычислили Лундберг [23] и Сегердал [31].

Функцию разорения Р{0_л^/}= 1 — W(t, x), определенную фор­мулой (54), изучал первым Саксен [29, 30]. В случае отрицатель­ных страховых сумм Саксен [29] вывел интегро-дифференциальное уравнение (58), а для отрицательных и постоянных сумм он нашел решение (48). В 1950 г. Арфведсон [2] получил интегро-дифферен­циальное уравнение (58) и нашел явное выражение для W(t, x) в случае, когда страховые суммы являются положительными экспоненциально распределенными случайными величинами (фор­мула (33)), а также в случае, когда страховые суммы являются отрицательными экспоненциально распределенными случайными величинами (формула (51)); см. также Арфведсон [3]. Для поло­жительных и постоянных страховых сумм функцию W(t, x) нашли Саксен [30] и Арфведсон [4] при / = т/с и x = n (m, n — неотрица­тельные целые числа). Арфведсон [4] нашел также W(m/c, n) для отрицательных и постоянных страховых сумм. Для случая, когда страховые суммы положительны или только отрицательны, Арф­ведсон [6] нашел двойное преобразование Лапласа — Стильтьеса функции W.{t, х). Для произвольных страховых сумм метод опре­деления W{t, х) предложил в 1955 г.- Крамер [14]. (См. также работу Бакстера и Донскера [1] в гл. 4.)

 

§ 36. ЗАДАЧИ

1. Рассмотреть пример 2 раздела „Положительные страховые суммы". Найти функцию О, (t, s), определенную формулой (20).

2. Доказать, что

(k + z)

k-l _-_;/2:/з

A /ll/2l

kl

Sf_t-k

для k = \, 2,... и всех г (Арфведсон [4]).

3. Доказать формулы (40), (41) и (42).

4. Доказать формулу (58).

5. Найти функцию W (х), определенную формулой (10), где

_ -х

#(*) =!'

I 0 при х < 0,

а с — положительная константа.

6. Найти функцию W (х), определенную формулой (10), где

„, _ч (1 -е~^2х(\ +2х) при *>0,

^Н M⁼ 1 о ^ о

I. 0 при х < 0,

ас — положительная константа.

7. Найти функцию W (x), определенную формулой (10), где

Г 1 -ае^-* при *>0, I (1 — а) е* при х <0

 

и 0 <а< 1. 8. Положим

с»

£2 (*, s) = f e^_**d*№ (г, *)

о

при Re (s) ^ 0, где функция W (<, х) задана соотношением (54) и

_Е |_e-sS (")} _{= e}csu-ku [1-Ф («)]

для Re (s) = 0, где ф (s) — преобразование Лапласа — Стильтьеса функции H (x). Доказать, что

°° I A (s, w), если с 5г 0,

w f e~^wtQ(t, s)dt=\ J X + w \

J A(s,w)\-r—, -----, если с<0,

о l ^K \a + w — es J

 

для 0 < w < то, где

A (s, w) = exp J - Г e~^sxd_xM (x, w) \ и

Oo oo oo

±__ j _е-^+»)»_и«-1[₁_я_ге(л; + с«)]сг«= j -^— P{£ («) > x] dw
re=l ' 0 0

при x^sO. (См. Крамер [14].)

 

ЛИТЕРАТУРА

 

[1] Ammeter H., A generalisation of the collective theory of risk in regard to fluctuating basic-probabilities, Skand. Akt., 31 (1948), 171—198.

[2] A r f w e d s о n G., Some problems in the collective theory of risk, Skand. Akt., 33 (1950), 1—38.

[3] Arfwedson G., A semi-convergent series with application to the collective theory of risk, Skand. Akt., 35 (1952), 16—35.

[4] Ar f w e d s о n G., Research in collective risk theory. The case of equal risk sums, Skand. Akt., 36 (1953), 1—15.

[5] Arfwedson G., On the collective theory of risk, Trans. Internat. Congress of Actuaries, Madrid, 1954.

[6] Arfwedson G., Research in collective risk theory, Part I, Skand. Akt., 37 (1954), 191—223; Part II, Skand. Akt., 38 (1955), 53—100.

[9] С r a m é r H., Review of F. Lundberg «Försäkringsteknisk Riskutjämning I, Teori», Skand. Akt., 9 (1926), 223—245.

[10] Cramer H., On the mathematical theory of risk, Skandia Jubille Volume, Stockholm, 1930.

[11] Cramer H., Sur un nouveau théorème-limite de la théorie des probabilités, Act. Sei., № 736, Paris, 1938.

[12] Cramer H., Deux conférences sur la théorie des probabilités, Skand. Akt., 24 (1941), 34—69.

[13] Cramer H., On some questions connected with mathematical risk, Univ. of California Pub. in Statist., 2 (1954). 99—124.

[14] Cramer FL, Collective risk theory. A survey of the theory from the point of view of the theory of stochastic processes, Jubilee Volume of Försäkrings-aktiebolaget Skandia (Skandia Insurance Company), Stockholm, 1955, pp. 1—92.

[17] Esscher F., On the probability function in the collective theory of risk, Skand. Akt., 15 (1932), 175—195.

[18] Es se en С. G., Fourier analysis of distribution functions, Acta Math 77 (1954), 1—125.

[19] Feller W., Generalization of a probability limit theorem by Cramer, Trans. Amer. Math. Soc, 54 (1943), 361—372.

[20] L a u r i n I., An introduction into Lundberg's theory of risk, Skand. Akt., 13 (1930), 84—111.

[21] Lundberg F., Approximerad framställning av sannolikhetsfunktionen. Aterförsäkring av kollektivrisker, Uppsala, 1903.

[22] Lundberg F., Zur Theorie der Rückversicherung, Verhandl. Kongr. Ver­sicherungsmath., Wien, 1909.

[23] Lundberg F., Försäkringsteknisk Riskutjämning, I—II, Stockholm, 1926— 1928.

[24] Lundberg F., Über die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Risikenmasse, Skand. Akt., 13 (1930), 1—83.

[25] L.undberg F., Some supplementary researches on the collective risk theory, Skand. Akt., 15 (1932), 137—158.

[26] Lundberg F., On the numerical application of the collective risk theory, De Förenade Jubilee Volume, Stockhom, 1934.

[29] S a x e n T., On the probability of ruin in the collective risk theory for insu­rance enterprises with only negative risk sums, Skand. Akt., 31 (1948), 199—228.

[30]_Saxen T., Sur les mouvements aléatoires et le problème de ruine de la théorie du risque collective, Soc. Sei. Fenn. Comm. Phys. Math., 16 (1951), 1—55.

[31] Segerdahl С. О., On homogeneous random processes and collective risk theory, Thesis, Stockholm, 1939.

[32] Segerdahl С. О., Über einge risikotheoretische Fragestellungen, Skand. Akt., 25 (1942), 43—83.

[33] Segerdahl С. О., Some properties of the ruin function in the collective theory of risk, Skand. Akt., 31 (1948), 46—87.

[34] Segerdahl С. О., When does ruin occur in the collective theory of risk?, Skand. Akt., 38 (1955), 22—36.

[36] T а с к 1 i n d S., Sur le risque de ruine dans des jeux inéquitables. Skand. Akt., 25 (1942), 1—42.

[43] X и н ч и н А. Я., Математические методы в теории массового обслуживания, Труды Матем. ин-та им. Стеклова, 49 (1955), 1—122.

[45] Колмогоров Л. H., Sur le problème d'attente, Матем. сб., 38, № 1, 2 (1931), 101—106.

[66] С a a t и Т. Л., Элементы теории массового обслуживания и ее приложения, изд-во «Сов. радио», М., 1965.

[90] Wold H. О. А. (редактор), Bibliography on time series and stochastic pro­cesses, Cambridge, Mass., 1965.