ТЕМА №3. ИНФОРМАЦИОННАЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ СОСТОЯНИЯ ОБЪЕКТА
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №3
ВРЕМЯ–2 часа
ЦЕЛИ ЗАНЯТИЯ:
1. Изучить отдельные понятия и правила теории вероятности
СОДЕРЖАНИЕ ЗАНЯТИЯ:
ВВОДНАЯ ЧАСТЬ – 5 мин.
УЧЕБНЫЕ ВОПРОСЫ:
ВЕРОЯТНОСТЬ И ЧАСТОТА. СОВМЕСТИМЫЕ И НЕСОВМЕСТИМЫЕ СОБЫТИЯ – 25 мин.
ПРАВИЛА ТЕОРИИ ВЕРЯТНОСТИ – 25 мин.
УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ВЫБОРЕ ИСПРАВНОГО ЭЛЕМЕНТА – 30 мин.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ – 5 мин.
ВЕРОЯТНОСТЬ И ЧАСТОТА. СОВМЕСТИМЫЕ И НЕСОВМЕСТИМЫЕ СОБЫТИЯ
При испытании 20 изоляторов в 10 случаях произошел их пробой. Необходимо оценить частоту событий пробоя изоляторов и вероятность их пробоя. Число испытаний обозначим как N, а число пробоев, как n. Очевидно, что пробой изоляторов является случайным событием. Дадим определение частоты случайных событий.
Частотой случайных событий Рч называется отношение числа произошедших случайных событий n к числу опытов N:
Рч = n / N.
В рассматриваемом нами случае Рч = 10 / 20 = 0,5.
Если серию опытов проводит многократно, то будут получаться некоторые значения, которые колеблются около некоторого значения Р, приближаясь к нему по мере увеличения числа опытов. Тогда можно записать:
lim Рч = Р при N → ∞.
Величина Р называется вероятностью случайного события.
Поскольку для определения вероятности события необходимо произвести бесконечное число испытаний, то экспериментально величина Р получена быть не может, а может быть получено только близкое к ней значение величины частоты случайного события Рч. При проведении экспериментов, для простоты считают, что Рч = Р и говорят не о частоте случайного события, а о его вероятности.
При проведении испытаний получаются различные результаты, которые называются несовместимыми или совместимыми событиями.
События называются несовместимыми, если они не могут появиться одновременно.
События называются совместимыми, если они могут появиться одновременно.
Два и более несовместимых события образуют полную группу событий, если в результате опыта обязательно должно произойти, хотя бы одно из них.
Примеры:
Опыт с монетой. Обязательно должно произойти хотя бы одно из двух событий – монета упадет орлом или решкой. Полную группу событий составляет два несовместимых события.
Опыт с кубиком. Обязательно должно произойти хотя бы одно из 6 событий - выпадет цифра от 1 до 6. Полную группу событий составляет 6 несовместимых события.
Опыт с двумя кубиками. Одинаковая цифра может появиться на обоих кубиках. Появление одинаковых цифр на обоих кубиках является совместимыми событиями.
ПРАВИЛА ТЕОРИИ ВЕРЯТНОСТИ
Правило №1. Вероятность полной группы событий равна 1.
Следствие: Если Р(А) вероятность появления события А, а Р(В) вероятность его не появления то:
Р(А) = 1 – Р (В).
Пример. Вероятность события Р(А) = 0,8. Тогда вероятность того, что
событие А не произойдет: Р(В) = 1- 0,8 = 0,2.
Правило №2. Если А и В два независимых события, то вероятность того, что произойдут оба этих события называется вероятностью их совместного появления.
Вероятность появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:
Р(А и В) = Р(АВ) = Р(А) ·Р(В).
Пример. Определить вероятность выпадения одинаковых цифр на двух кубиках с шестью гранями.
Решение. Вероятность выпадения какой либо цифры на первом кубике (появление события А) составляет Р(А) = 1/6. Вероятность выпадения какой либо цифры на втором кубике (появление события В) составляет Р(В) = 1/6. Вероятность совместного появления двух независимых событий составляет Р(А и В) = Р(АВ) = Р(А) ·Р(В) = 1/6 · 1/6 = 1/36.
ПРАВИЛО №3. Вероятность совместного появления каждого из N независимых событий А1, А2, А3, … Аn равна произведению вероятностей появления каждого из этих событий в отдельности:
Р (А1 и А2 и А3 и… Аn) = 
.
Пример. Бросали 3 монеты. Определить вероятность того, что все три упали орлом.
Решение. Вероятность выпадения орла на каждой из монет одинакова и составляет Р(А1) = Р(А2) = Р(А3) = 0,5. Вероятность совместного появления трех этих событий Р (А1 и А2 и А3) = 
= 0,5 ·0,5 · 0,5 = 0,125.
Проверка. Полная группа событий выпадения трех монет орлам или решками составит 8 возможных сочетаний:
О О О; О О Р; О Р О; О Р Р; Р О О; Р О Р; Р Р О; Р Р Р.
Тогда вероятность выпадения одного из этих сочетаний составит 1 / 8 = 0,125.
Правило № 4. Если А и В – два несовместных события, то вероятность того, что произойдет одно из них равна сумме вероятностей появления каждого из этих событий:
Р(А или В) = Р(А) + Р(В).
Пример. Опыт с монетой. Появление орла (событие А) и решки (событие В) являются двумя несовместными событиями. Найти вероятность того, что произойдет одно из этих событий.
Решение. Вероятность события А составляет Р(А) = 0,5. Вероятность события В составляет Р(В) = 1 – Р(А) = 0,5. Тогда Р(А или В) = 0,5 + 0,5 = 1.
Задача. Бросили шестигранный кубик. Определить вероятность выпадения цифры 1 или цифры 2.
Решение. Выпадение цифры 1 (событие А) и выпадение цифры 2 (событие В) представляют собой равновероятные несовместные события. Р(А) = Р(В) = 1/6. Тогда вероятность Р(А или В) = Р(А) + Р(В) = 1/6 + 1/6 = 1/3.
Правило №5. Вероятность появления любого одного события А1 или А2 или А3 или … Аn из N несовместных событий равна сумма вероятностей этих событий:
Р(А1 или А2 или А3 или … Аn) = 
Пример. Опыт с кубиком. Бросили кубик. Определить вероятность появления любой цифры от 1 до 5.
Решение. Выпадение любой цифры от 1 до 5 (событие Аi) представляет собой равновероятное несовместное событие, т.е. Р(Аi) = 1/6. Тогда вероятность появления любой цифры от 1 до 5 определится как:
Р(А1 или А2 или А3 или А4 или А5) = 
= 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 5/6.
Правило №6. Если А и В два независимых события, то вероятность того, что одно из этих событий произойдет определяется, как:
Р(А или В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) = Р(А) + Р(В) – Р(А) · Р(В).
Пример. Бросаем 2 монеты. Определить вероятность того, что на одной из двух монет выпадет орел.
Решение. Событие А выпадение орла на первой монете имеет вероятность Р(А) = 0,5. Событие В выпадения орла на второй монете имеет вероятность Р(В) = 0,5. Тогда вероятность того, что орел выпадет на одной из двух монет, составит:
Р(А или В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) = Р(А) + Р(В) – Р(А) · Р(В) = 0,5 + 0,5 – 0,5 · 0,5 = 0,75.
Правило №7. Если А и В два независимых события, то условная вероятность Р(В/А) появления события В при появлении события А определяется как:
Р(В/А) = Р(АВ) / Р(А).
Задача. При изготовлениитранзисторных усилителей используются транзисторы, поступающие от поставщика №1 и поставщика №2. 75% транзисторов поступает от поставщика №1 и 25% транзисторов поступает от поставщика №2. 99% транзисторов поставщика № 1 исправны. 90% транзисторов от поставщика №2 исправны.
Определить:
1. Какова вероятность того, что любой случайно взятый транзистор окажется исправным транзистором от поставщика №1?
2. Какова вероятность того, что любой случайно взятый транзистор окажется неисправным транзистором от поставщика №1?
3. Какова вероятность того, что любой случайно взятый транзистор окажется исправным транзистором от поставщика №2?
4. Какова вероятность того, что любой случайно взятый транзистор окажется неисправным транзистором от поставщика №2?
5. Какова вероятность того, что любой случайно взятый транзистор окажется исправным не зависимо от его поставщика?
6. Какова вероятность того, что любой случайно взятый транзистор окажется неисправным не зависимо от его поставщика?
Решение. Событие «транзистор от поставщика №1 обозначим как А1, а Событие «транзистор от поставщика №2 обозначим как А2». Событие «исправный транзистор» обозначим как В1, а событие «неисправный транзистор» обозначим как В2.
Тогда:
- событие «исправный транзистор от поставщика №1» запишется, как В1А1;
- событие «неисправный транзистор от поставщика №1» запишется, как В2А1;
- событие «исправный транзистор от поставщика №2» запишется, как В1А2;
- событие «неисправный транзистор от поставщика №2» запишется, как В2А2.
- событие «исправный транзистор независимо от поставщика» запишется как В1;
- событие «неисправный транзистор независимо от поставщика» запишется как В2.
Определим вероятности первых четырех событий.
Р(В1А1) = Р(В1) · (А1) = 0,99 · 0,75 = 0,7425.
Любой взятый транзистор окажется исправным транзистором от поставщика №1 с вероятностью 0,7425.
Р(В2А1) = Р(В2) · (А1) = 0,01 · 0,75 = 0,0075.
Любой взятый транзистор окажется неисправным транзистором от поставщика №1 с вероятностью 0,0075.
Р(В1А2) = Р(В1) · (А2) = 0,9 · 0,25 = 0,225.
Любой взятый транзистор окажется исправным транзистором от поставщика №2 с вероятностью 0,225.
Р(В2А2) = Р(В2) · (А2) = 0,1· 0,25 = 0,025.
Любой взятый транзистор окажется неисправным транзистором от поставщика №2 с вероятностью 0,025.
Проверка: Все перечисленные выше события составляют полную группу событий, т.к. других событий быть не может. Вероятность полной группы событий равна единице, следовательно, должно выполняться условие:
Р(В1А1) + Р(В2А1) + Р(В1А2) + Р(В2А2) = 1.
Проверим выполнение этого условия в нашем случае:
Р(В1А1) + Р(В2А1) + Р(В1А2) + Р(В2А2)=0,7425 + 0,0075 + 0,225 + 0,025=1.
Условия соблюдается, поэтому вероятность всех событий была определена правильно.
Определим вероятности последних двух событий.
Р(В1) = Р(В1А1) + Р(В1А2) = 0,7425 + 0,225 = 0,9675.
Любой взятый транзистор окажется исправным независимо от поставщика с вероятностью 0,9675.
Р(В2) = Р(В2А1) + Р(В2А2) = 0,0075 + 0,025 = 0,0325.
Любой взятый транзистор окажется неисправным независимо от поставщика с вероятностью 0,0325.
Проверка: Все перечисленные выше события составляют полную группу событий, т.к. других событий быть не может. Вероятность полной группы событий равна единице, следовательно, должно выполняться условие:
Р(В1) + Р(В2) = 1.
Проверим выполнение этого условия в нашем случае:
Р(В1) + Р(В2) = 0,9675 + 0,0325 = 1.
Условия соблюдается, поэтому вероятность всех событий была определена правильно.
Правила теории вероятности широко используются в технической диагностике при оценке состояния объекта по косвенным признакам.
ЛИТЕРАТУРА:
1. Надежность и диагностика систем электроснабжения железных дорог: Учебник для вузов ж/д транспорта/ А.В. Ефимов, А.Г. Галкин. – М.: УМК МПС России, 2000, с. 398 … 401.