Положительные и отрицательные числа




Делимость чисел

Делителем натурального числа а называют число, на которое а делится без остатка

Число 1 является делителем любого натурального числа.

Наименьший делитель любого натурального числа – 1.

Наибольший делитель любого натурального числа – само число.

Кратным натурального числа а называют натуральное число, которое делится без остатка на а.

Наименьшее кратное числа а – само число а.

Любое натуральное число имеет бесконечно много кратных.

Натуральное число называют простым, если оно имеет только 2 делителя: 1 и само это число.

Натурально число называют составным, если оно имеет больше двух делителей.

Число 1 нельзя считать ни простым, ни составным.

Ряд простых чисел – это ряд, в котором простые числа расположены в порядке возрастания.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, …..

Ряд простых чисел бесконечен.

Разложить число на простые множители – значит представить его в виде произведения простых чисел.

Алгоритм разложения составного числа n на простые множители:

1) По известным нам признакам делимости на 2, 3, 5 проверить, делится ли n на одно из этих чисел. (В большинстве случаев число делится, но бывает, что оно делится на 7, 11, 13 и другие простые числа)

2) Если делится, то находим частное.

3) Если частное – простое число, то нужное нам разложение готово.

Если составное, то продолжаем делить до простого числа.

 

Правила разложения простого числа.

1) Справа только простые числа.

2) Произведение простых множителей записывать в порядке возрастания.

3) Произведение одинаковых множителей представлять в виде степени.

Наибольший общий делитель (НОД) двух натуральных чисел – это наибольшее число, на которое оба данных числа делятся без остатка.

Алгоритм нахождения НОД (m, n)

1. Разложить числа m и n на простые множители.

2. Обвести одинаковые множители в обоих разложениях.

3. Выписать «обведенные» множители только из одного разложения.

4. Перемножить их.

Натуральные числа а и b называются взаимно простыми, если их НОД (а, b) = 1

Наименьшим общим кратным (НОК) двух и более натуральных чисел называется наименьшее натуральное число, которое само делится нацело на каждое из этих чисел.

Алгоритм нахождения НОК (а, b)

1. Разложить числа а и b на простые множители.

2. Выписать одно из разложений.

3. Дописать недостающие множители из другого разложения.

4. Перемножить их.

Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Деление числителя и знаменателя на их общий делитель, отличный от единицы, называют сокращением дроби.

Если числитель и знаменатель дроби взаимно простые числа, то такая дробь называется несократимой.

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо:

1) Найти наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей, оно и будет их наименьшим общим знаменателем;

2) Разделить наименьший общий знаменатель на знаменатели данных дробей, т.е. найти для каждой дроби дополнительный множитель;

3) Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.

Чтобы сравнить (сложить, вычесть) дроби с разными знаменателями, надо:

1) привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю;

2) сравнить (сложить, вычесть) полученные дроби.

Чтобы сложить смешанные числа, надо:

1) привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю;

2) отдельно выполнить сложение целых частей и отдельно дробных частей.

Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделить целую часть из этой дроби и прибавить её к полученной целой части.

Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел, надо:

1) привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, превратить её в неправильную дробь, уменьшив на единицу целую часть;

2) отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно дробных частей.

Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо её числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения.

Чтобы умножить дробь на дробь, надо: числитель умножить на числитель, а знаменатель умножить на знаменатель.

Чтобы умножить смешанные числа, надо их записать в виде неправильных дробей, а затем умножить числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель.

Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить число на эту дробь.

Чтобы найти число по данному значению его дроби, надо это значение разделить на дробь.

Взаимно обратные числа

Два числа, произведение которых равно 1, называют взаимно обратными.

Отношения и пропорции

Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число, обратное делителю.

Частное двух чисел называется отношением этих чисел. Отношение, большее единицы, показывает, во сколько раз первое число больше второго. Отношение, меньшее единицы, показывает, какую часть одно число составляет от другого. (Отношение записываем В ВИДЕ ДРОБИ!!!)

Отношение может быть выражено в виде обыкновенной или десятичной дроби, а также в виде процентов. В этом случае его называют процентным отношением. Процентное отношение показывает, сколько процентов одно число составляет от другого. Чтобы найти процентное отношение, нужно найти отношение и выразить его в процентах.

Чтобы перевести проценты в число, нужно число процентов разделить на 100. Чтобы перевести десятичную дробь (обыкновенное число) в проценты, нужно ее умножить на 100.

Равенство двух отношений называется пропорцией.

Основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних.

Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз. Если две величины прямо пропорциональны, то отношения соответствующих значений этих величин равны.

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз. Если величины обратно пропорциональны, то отношение значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ПРОПОРЦИОНАЛЬНУЮ ЗАВИСИМОСТЬ: 1) Записать условие задачи в виде схемы; 2) Определить тип зависимости (прямая или обратная) между величинами; 3) Прямо пропорциональная зависимость обозначается одинаково направленными стрелками (ОТ МЕНЬШЕГО К БОЛЬШЕМУ); Обратно пропорциональная зависимость - стрелками противоположно направленными. 4) Обозначить неизвестную величину через х, записать пропорцию (ОТНОШЕНИЕ МЕНЬШИХ ВЕЛИЧИН К БОЛЬШИМ) и найти неизвестный член.

Масштаб - отношение длины отрезка на карте к соответствующей ему действительной длине на местности.

Окружность - множество точек, равноудаленных от одной точки (центра).

Круг - часть плоскости, ограниченная окружностью.

Радиус - отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности. (r) Все радиусы окружности равны.

Диаметр - отрезок, проходящий через центр окружности, который соединяет две любые точки на окружности. (d = 2r) Все диаметры окружности равны.

Хорда - отрезок, соединяющий две любые точки на окружности. Хорда, проходящая через центр окружности является диаметром.

Отношение длины окружности к её диаметру является одинаковым для всех окружностей и обозначается греческой буквой π («Пи»).

Длина окружности (С) прямо пропорциональна длине её диаметра (d) и выражается числом π.

π = С/d =>

ФОРМУЛА ДЛИНЫОКРУЖНОСТИ:

С = πd, так как d = 2r, то C = 2πr

ФОРМУЛА ПЛОЩАДИ КРУГА: S = π r2

 

Положительные и отрицательные числа

Прямую с выбранными на ней началом отсчета, единичным отрезком и направлением называют координатной прямой.

Число, показывающее положение точки на прямой, называют координатой этой точки.

Числа, находящиеся справа от точки отсчета, называются положительными. Слева от точки отсчета – отрицательными.

Ноль не является ни положительным, ни отрицательным числом.

Два числа, отличающиеся друг от друга только знаками, называют противоположными числами.

Натуральные числа, противоположные им числа и нуль называют целыми числами.

Модулем числа а называют расстояние от начала координат до точки А.

Модуль числа не может быть отрицательным. Для положительного числа и нуля он равен самому числу, а для отрицательного – противоположному числу.

 

Сравнение чисел

Любое отрицательное число меньше любого положительного числа. Из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше. Нуль больше любого отрицательного числа, но меньше любого положительного числа.



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-06-12 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: