Числовые характеристики изучаемой случайной величины Х, определенные по выборке, называются выборочными числовыми характеристиками. Они являются статистическими оценками генеральных числовых характеристик:
1) выборочное среднее 
характеризует среднее значение исследуемой случайной величины и является статистической оценкой ее истинного значения (математического ожидания): 
(1)
Формулу (1) удобно применять, если отсутствуют повторяющиеся значения и составлен простой (табл.1.1) или вариационный (табл.1.2) статистический ряд. В том случае, если данные можно представить в виде статистического распределения частот (табл.1.3), то выборочное среднее проще определить по формуле:
(2)
2) выборочная дисперсия характеризует средний квадрат отклонения значений случайной величины от выборочного среднего и является статистической оценкой генеральной дисперсии:
(3)
или 
(4)
Формулу (3) применяют, если составлен простой или вариационный статистический ряд (табл.1.1 или 1.2); формулу (4) – если данные представлены в виде статистического распределения частот (табл.1.3).
3) выборочное среднее квадратическое отклонение s* характеризует среднее отклонение значений случайной величины от выборочного среднего:
4) выборочная мода Мо* – значение, которое встречается наибольшее число раз;
5) выборочная медиана Ме* – значение случайной величины, которое делит вариационный ряд пополам: число значений, меньших Ме*, равно числу значений, больших Ме*;
6) коэффициент вариации V характеризует однородность выборки или степень рассеяния значений (если коэффициент вариации меньше 33%, выборка считается однородной):
7) выборочный коэффициент ассиметрии А* характеризует симметричность кривой распределения, полигона или гистограммы:
(5)
или 
(6)
8) выборочный коэффициент эксцесса e* и эксцесс Е* характеризуют степень «островершинности» («крутизны») кривой распределения (полигона или гистограммы) по сравнению с теоретическим нормальным распределением*:
(7)
или 
(8)
Формулы (5) и (7) применяют, если составлен простой или вариационный статистический ряд; формулы (6) и (8) – если данные представлены в виде статистического распределения частот.
ЗАДАНИЯ
1. При обследовании 50 членов семей рабочих и служащих установлено следующее количество членов семьи: 5, 3, 2, 1, 4, 6, 3, 7, 9, 1, 3, 2, 5, 6, 8, 2, 5, 2, 3, 6, 8, 3, 4, 4, 5, 6, 5, 4, 7, 5, 6, 4, 8, 7, 4, 5, 7, 8, 6, 5, 7, 5, 6, 6, 7, 3, 4, 6, 5, 4. Составить простой статистический ряд, вариационный статистический ряд; найти статистическое распределение частот, относительных частот, накопленных частот и частотей; построить полигон, кумуляту; найти эмпирическую функцию распределения, построить ее график.
2. Исследуется случайная величина Х – изменение выработки на одного рабочего механического цеха в отчетном году по сравнению с предыдущим. Получены данные по 100 рабочим цеха:
| Выработка, % | 94-100 | 100-106 | 106-112 | 112-118 | 118-124 | 124-130 | 130-136 | 136-142 |
| Количество рабочих |
Найти статистическое распределение частот, относительных частот, накопленных частот и частотей; построить гистограмму, полигон, кумуляту; найти эмпирическую функцию распределения, построить ее график.
3. При измерении диаметра 200 валиков были получены следующие результаты:
| Диаметр, мм | 6,67-6,69 | 6,69-6,71 | 6,71-6,73 | 6,73-6,75 | 6,75-6,77 | 6,77-6,79 | 6,79-6,81 | 6,81-6,83 | 6,83-6,85 |
| Число валиков |
Найти статистическое распределение частот, относительных частот, накопленных частот и частотей; построить гистограмму, полигон, кумуляту; найти эмпирическую функцию распределения, построить ее график.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что такое генеральная совокупность и выборка?
2. Какие существуют формы записи статистического материала?
3. Как строится полигон и гистограмма?
4. Как строится кумулята?
5. Дайте определение эмпирической функции распределения.
6. Как найти эмпирическую функцию распределения для дискретных и непрерывных случайных величин?
7. Как строится график эмпирической функции распределения для дискретных и непрерывных случайных величин?
8. Какие выборочные числовые характеристики можно определить по результатам измерений изучаемой случайной величины?
ЛИТЕРАТУРА
1. Гмурман В.С. Теория вероятностей и математическая статистика. -Изд.7-е, стер. -М.: Высш. шк., 2001.-479 с.
2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. -Изд.5-е, стер.– М.: Высш. шк., 2001. -400 с.
3. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. -М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. -543 с.
4. Ниворожкина Л.И., Морозова З.А. Основы статистики с элементами теории вероятностей для экономистов. – Ростов н/Д: Феникс, 1999.– 320 с.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение………………………………………………………….. 3
1. Формы записи статистического материала……………….………3
2. Эмпирическая функция распределения……………………….. …9
3. Выборочные числовые характеристики…………………………..11
4. Задания………………….…………………………………………. 14
Контрольные вопросы……………………………………………. 15
Литература……….…………………………………………...…… 15
Юлия Борисовна Егорова
Игорь Михайлович Мамонов
Татьяна Анатольевна Никулина
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОПИСАТЕЛЬНОЙ СТАТИСТИКИ
Методические указания к практическим занятиям
по дисциплине «Математическая статистика»
Редактор М.А. Соколова
Подп. в печать 21.09.2010. Уч.-изд.л. – 0,7. Тираж 50 экз. Зак. №88
Издательский центр МАТИ
109240 Москва, Берниковская наб., 14
* Случайная величина теоретически может быть непрерывной, но на практике измеряют ее отдельные (дискретные) значения.
* Нормальная кривая принята за эталон. Для нее А=0, ε=3, Е=0.