ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ АМПЛИТУДНО-ЧАСТОТНЫМ МЕТОДОМ
Ц Е Л Ь Р А Б О Т Ы– исследование нелинейной системы автоматического регулирования одним из распространенных инженерных методов – амплитудно-частотным методом.
9.1. краткие сведения из теории
Широкое распространение при инженерном исследовании и расчете нелинейных систем регулирования получили амплитудно-частотный метод, предложенный Л.С. Гольдфарбом и являющийся приближенным методом исследования нелинейных систем.
Амплитудно-частотный метод предполагает гармонический характер колебаний в нелинейной системе. В основе метода лежит понятие эквивалентного комплексного коэффициента усиления нелинейного элемента. Нелинейная динамическая система (рис.8.1) условно разбивается на линейную часть с передаточной функцией
(9.1)
и нелинейный элемент
. (9.2)
Предполагается, что линейная часть обладает свойством фильтра, т.е. при возникновении периодических колебаний все высшие гармоники подавляются линейной частью системы. Тогда на ее выходе, а значит, на выходе нелинейного элемента, переменная х будет иметь форму колебаний, близкой к синусоидальной:
. (9.3)
Таким свойством фильтра обладает большинство реальных контуров управления.
При симметричных установившихся одночастотных колебаниях гармоническая линеаризация состоит в замене нелинейности F(x) выражением
, (9.4)
где
, (9.5)
. (9.6)
При отыскании периодического решения для переменной x в форме (9.3) (неизвестны А и 
) можно, имея ввиду свойства фильтра, для системы по рис.8.1 с учетом (9.4) записать гармонически линеаризованное уравнение динамики системы:
. (9.7)
Периодическое синусоидальное решение дифференциального уравнения (9.7) будет соответствовать паре чисто мнимых корней характеристического уравнения:
. (9.8)
Поэтому для отыскания величин А и искомого синусоидального решения положим p = jw. Тогда уравнение (9.8) примет вид:
, (9.9)
откуда следует:
, (9.10)
. (9.11)
Равенство (9.10) представляет собой условие гармонического баланса или условие возникновения автоколебаний. Аналитическое решение уравнения (9.10) часто представляет значительные трудности. Графоаналитический метод решения этого уравнения нагляден и прост: на комплексной плоскости строят годограф линейной части 
и годограф 
; точки пересечения этих годографов свидетельствуют о возможности автоколебаний и определяют их частоту и амплитуду.
Точка пересечения годографов означает лишь возможность существования автоколебаний. Поэтому, исследуя точки пересечения годографов, нужно определить, устойчивы ли соответствующие им автоколебания (на фазовом портрете - предельные циклы). Значение частоты устойчивых колебаний отсчитывается на годографе , а амплитуда A отсчитывается на годографе .
Обычно после определения частоты и амплитуды возможных автоколебаний целесообразно проверить амплитуду третьей гармоники. Если не выполняется соотношение
, (9.12)
то метод Гольдфарба неприменим, а точнее, значительно увеличивается погрешность метода.
9. 2. Порядок выполнения работы
1. Собрать схему, приведенную на рис. 9.1.
2. В качестве нелинейного элемента НЭ использовать “идеальное реле”. Установить следующие значения параметров элементов: Т1 = 0.8 с; Т2 = 0.1 с; k1 = 1.2; k2 = 1.
3. Наблюдать фазовые траектории и соответствующие им переходные процессы при х0 = 2, v0 = 0, tмод = 25 с. Полученные графики фазовых траекторий и переходных процессов необходимо представить в отчете.
4. По полученным в результате моделирования графикам определить экспериментальные значения параметров автоколебаний.
5. В качестве нелинейного элемента НЭ (рис.9.1) использовать “реле с гистерезисом”, параметры которого взять из предыдущей работы (рис.8.5).
6. Наблюдать фазовые траектории и соответствующие им переходные процессы при х0 = 2, v0 = 0, tмод = 25 с. Полученные графики фазовых траекторий и переходных процессов необходимо представить в отчете.
7. По полученным графикам определить экспериментальные значения параметров автоколебаний.
8. С помощью графоаналитического метода Гольдфарба для данной системы найти параметры автоколебаний и сравнить их с экспериментальными.
Рисунок 9.1. Модель нелинейной САУ.
9. 3. СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА
В отчете о лабораторной работе необходимо привести:
1. Название и цель лабораторной работы.
2. Схему модели нелинейной САУ.
3. Графики фазовых траекторий и соответствующие им графики переходных процессов.
4. Параметры автоколебаний, которые определены экспериментально.
5. Графоаналитический расчет параметров автоколебаний в нелинейной системе и сравнение результатов с полученными экспериментально.
6. Выводы по лабораторной работе.