Примеры выполнения задания




Пример 1. Кривошип О1О = l вращается вокруг оси, проходящей через точку О 1, и имеет в данный момент угловую скорость w и угловое ускорение e (рис. 33, а). На палец О этого кривошипа свободно насажано колесо 1 радиуса r, которое катится при этом без скольжения по неподвижному колесу радиуса

R = lr.

Найти в данный момент времени угловую скорость w I и угловое ускорение eI колеса 1, скорости и ускорения точек А и В.

Решение

Механизм состоит из двух тел: кривошип О 1 О - совершает вращательное движение и колесо 1 совершает плоскопараллельное движение.

Для решения задачи надо рассмотреть движение колеса I. По данным задачи легко найти скорость` u 0 и ускорения` a 0 точки О этого колеса, которую и примем за полюс.

Определение` u 0 и` a 0. Зная w и e кривошипа, находим:

u0 = w О1О = w l,

.

Направления векторов и определяются направлением w и e, вектор направлен от O к O 1. Показываем их на рисунке.

Определение wI,` υА, ` υB. Точка Р зацепления колес является МЦС для шестерни 1; следовательно, угловая скорость шестерни I равна:

(a)

а направление w I определяется направлением` υ о.

Зная w I и МЦС колеса I, находим скорости точек А и В:

Векторы ` υА и B направлены перпендикулярно к АР и ВР и их направления определяются направлением wI.

Определение eI. Так как в выражении (а) величина ОР=r остается постоянной при любом положении колеса 1, то

.

и` υ0 направлены в разные стороны, так как вращение колеса 1 замедленное, направлено противоположно w1.

Определение ускорений точек А и В. Перейдя к колесу 1, приняв точку О за плюс, имеем:

(б)

(в)

Находим:

Векторы и направлены от рассматриваемых точек к полюсу, а векторы и перпендикулярны им, и их направления определяются направлением e I (рис. 33).

Изображаем на рисунке все векторы, из которых слагаются ускорения точек А и В, и спроецировав (б) и (в) на оси координат, получим:

Ответ:

Пример 2.Механизм состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О1 и О2 шарнирами (рис. 34), точка Д находится в середине стержня 2.

Длины стержней равны соответственно: l 1=0,4 м; l 2=1,2 м; l 3=1,4 м;

l 4=0,6 м. Для положения механизма, показанного на рисунке, по известной угловой скорости w 1=2 c -1 угловому ускорению e 1=4 c -2 стержня О1А в данный момент времени найти скорости ` υB и `uЕ точек B и E, угловую скорость wAB и угловое ускорение eAB звена AB, а также ускорение точки B.

 

Рисунок 34

Расчетная схема

 

 

Решение

 

I. Механизм образуют 4 тела: 1 – О1А – совершающее вращательное движение; 2 – АВ – плоскопараллельное движение; 3 – ДЕ – плоско - параллельное движение; 4 – О 2 Е – вращательное движение. Начинаем с рассмотрения движения тела 1, найдем . Это точка принадлежит телу О 1 А, совершающему вращательное движение, поэтому υB. скорость точки А равна

,

направление ` υA определяется направлением w1.

Для определения ` υB воспользуемся теоремой о проекции скоростей двух точек стержня АВ на прямую, соединяющую точки А и В. Скорость ` υB направлена вдоль направляющих. Находим:

υA cos 600= υB cos 600, отсюда υB = υA = 0,8 м/с.

Определение wAB. Для этого находим МЦС – Р2 звена АВ, восстанавливая из точек А и В перпендикуляры к` υA и` υB. Находим AP2 = AD/cos 300=0,69 м, и wABA / AP 2=1,16 c-1. Направление wAB определяется направлением υA.

Определение ` υE. Точка E принадлежит стержню ДЕ. Следовательно, для определения ` υE надо предварительно найти ` υД. Так как точка Д принадлежит одновременно стержню АВ, то υД = wAB ДР 2 = (υA/AP 2) ДР 2 = 0,40 м/с.

Вектор υД перпендикулярен отрезку Р2Д и направлен в соответствии с направлением wАВ.

Так как точка Е принадлежит одновременно стержню О2Е, вращающемуся вокруг точки О2, то ` υE┴ O2E. Е одновременно принадлежит и ДЕ, поэтому восстанавливая из точек Д и Е перпендикуляры к ` υE и ` υД, получаем МЦС Р3 звена ДЕ. Так как ÐДЕР3=ÐДР3Е =300, то D ДР 3 Е равнобедренный. Составив пропорцию, находим, что

.

По направлению` υД определяем направление поворота стержня ДЕ (wДЕ), вектор` υЕ будет направлен в сторону поворота этого стержня перпендикулярно к Р3Е.

Определение . Находим сначала ускорение точки А

Вектор направлен вдоль AO 1, а – перпендикулярно АО 1; изображаем эти векторы на рисунке.

Приняв А за полюс и применяя теорему об ускорении к В, получим

Находим . Вектор направлен от В и А. Вектор направлен перпендикулярно АВ (конкретное направление выберем предположительно). Изображаем на рисунке эти векторы.

Для нахождения последнее векторное равенство спроецируем на ось х, перпендикулярную .

Так как точка В одновременно принадлежит и ползуну, имеющему направляющие, то предполагаем, что направлен вниз.

Отсюда, подставляя числовые значения всех величин, находим = -2,05 м/с2. Знак минус указывает, что вектор направлен в сторону, противоположную указанному на рисунке.

Определение eАВ. Для определения eАВ сначала определим . Для этого последнее векторное равенство спроецируем на ось Вy:

Отсюда находим = -3,96 м/с2. Знак указывает, что направлен противоположно показанному на рисунке.

Из равенства = eАВ l 3 определяем

.

Так как < 0, то eAB направлено против направления движения часовой стрелки (противоположно первоначально предполагаемому направлению).

Ответ: υВ =0,8 м/с, υЕ =6,93 м/с, wАВ =1,16 с-1, eАВ =3,3 с-2, =2,05 м/с2.

Пример 3.К кривошипу, равномерно вращающемуся вокруг оси О с угловой скоростью wОА = 4 с-1, прикреплен шатун АВ с коромыслом ВС (рис. 33). Даны размеры: ОА = r =0,5 м, АВ =2 r, ВС = r Ö2. В положении, изображенном на рисунке, Ð ОАВ =900, Ð АВС =450. Определить для этого положения ускорение точки В, а также угловую скорость и угловое ускорение коромысла ВС и шатуна АВ.

 
 

 


Рисунок 35

Расчетная схема

Решение

 

Рассмотрим движение тел, образующих механизм: 1 – ОА – вращательное; 2 – АВ – плоско – параллельное; 3 – ВС – вращательное.

Решение начнем с ОА, найдем

.

Определение и . Рассматривая движение шатуна АВ, выберем за полюс точку А, принадлежащую одновременно и кривошипу ОА, совершаемому вращательное движение. Для точки А, так как wОА - const, получаем:

= wOA OA = wOA r = 2 (м/с),

= w2OA OA = w2OA r = 8 (м/с2).

Вектор` υА перпендикулярен ОА, его направление определяется wОА, а вектор направлен от А к О.

Определение wАВ. В связи с тем, что точка В принадлежит одновременно звену ВС, вектор`υВ перпендикулярен звену ВС. Проводя перпендикуляры к` υ a и` υВ, получаем МЦС звена АВ - РАВ. Из DАРАВВ следует, что АРАВ = АВ =2 r, а поэтому

Направление поворота показано на рисунке.

Ускорение точки В. По теореме об ускорениях точки при плоском движении твердого тела имеем

.

В этом выражении направление и величина неизвестны. Кроме того, неизвестна величина , так как для определения eАВ нельзя воспользоваться приемом, примененным в примере 1 (расстояние до МЦС от точки А не постоянное).

С другой стороны, точка В принадлежит звену ВС, а потому

.

Здесь легко найти , но нельзя найти величину , так как неизвестно eBC. Приравнивая правые части двух последних векторных равенств, имеем

.

Здесь будут неизвестными только численные значения величин и , направления выбираем предположительно. В проекциях на оси это векторное равенство дает два скалярных уравнения, из которых эти неизвестные и определяются.

Предварительно найдем и .

Определение . Зная wАВ, находим

= w 2АВ AB = 4 (м/с2).

Вектор направлен от В к А.

Определение .

Зная υВ находим

= υ 2B/ BC = 8Ö2 (м/с2).

Вектор направлен от В к С.

Определение и . Для определения спроецируем обе части векторного равенства на оси координат х и у

х: cos 450 + cos 450 = ,

у: .

Подставляя численные значения величин, получаем = - 4Ö2 (м/с2), .

Знак минус показывает, что вектор имеет направление, противоположное выбранному, следовательно ` υB (вращение ВС замедленное).

Зная и , находим :

Определение wВС, eВС и εАВ. По известным υB и и определяем

wВС = υB / BC = 4 (c-1), eBC=| |/ ВС =8 (с-2), .

Направление wВС определяется направлением ` υB, а eВС – истинным направлением ` , истинным направлением . Указываем wВС и eВС на рисунке.

Ответ: wВС = 4 с- 1, wАВ =2 с-1, eАВ = 20 с- 2, eВС = 8 с-2, = 12,65 м/с2.

6 Задачи и вопросы для самоконтроля

1. Скорость груза 1 v =0,5 м/с (рис. 36). Определить угловую скорость подвижного блока 2, если его радиус R =0,1 м. (Ответ: 2,5 с -1).

Рисунок 36

К задаче 1

Рисунок 37

к задаче 2

 

Рисунок 38

к задаче 3

2. Стержень АВ длиной 80 см движется в плоскости чертежа. В некоторый момент времени точки А и В стержня имеют скорости vA =0,2 м/с, vB =0,6 м/с (рис. 37). Определить угловую скорость стержня. (Ответ: 0,5 с-1).

3. Скорость точки А плоской фигуры АВС vА =2 м/с, угловая скорость

фигуры w =2 рад/с (рис. 38) расстояние АВ= 1,5 м. Определить скорость точки В. (Ответ: 3,61 м/с).

4. Для заданного положения шарнирного четырехзвенника (рис. 39). Определить скорость точки В, если точка А имеет скорость 1 м/с.

(Ответ: 0,577 м/с).

5. Кривошип ОА механизма, вращаясь равномерно, образует в данный момент времени с направлением ОВ угол j =90° (рис. 40). Определить расстояние от мгновенного центра скоростей шатуна АВ до ползуна В. (Ответ: ¥).

6. Определить скорость точки В колеса (рис. 41), если точка А колеса имеет скорость 2 м/с. (Ответ: 1,41 м/с).

Рисунок 39 Рисунок 40 Рисунок 41



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2018-01-08 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: