2.1 Система Math Cad версии 3.0
В систему MathCAD версии 3.0 (фирма Mathsoft), предназначенную для выполнения научно - технических вычислений, введён ряд новых, одна из которых позволяет работать в среде Windows. По - видимому, их появление обрадует всех тех, кто имеет дело с обработкой чисел. Система MathCAD - это лёгкое в освоении и одновременно мощное средство для выполнения исследований. С точки зрения функций, которые она выполняет, MathCAD можно сравнить с рабочим блокнотом инженера или учёного. На своих листках - кадрах экрана - она позволяет комбинировать уравнения, заметки и графики. Работая над задачей, обычно используется «винегрет» из записей на листках бумаги и распечаток, полученных с помощью электронных таблиц. Продираясь через вычисления с помощью системы MathCAD, не нужно прибегать ни к каким другим средствам. Чтобы пользоваться системой, вам не нужно держать в уме множество специальных обозначений, как это требуется в случае электронных таблиц. Нравится и то, что можно уравнения в том виде, в каком они обычно изображаются в книгах и на классных досках.
В эту версию системы введены символьные вычисления, без которых не обходится ни один серьёзный математический пакет. Символьный процессор базируется на пакете Mapple фирмы Waterloo Mapple Software.
MathCAD предлагает довольно полный набор встроенных функций. При подготовке данной версии были добавлены две новые полезные функции, обеспечивающие нахождение собственных чисел и собственных векторов для вещественных матриц. Система включает теперь встроенную программу, которая контролирует единицы измерения, и редактор формул.
Чтобы уберечь вас от необходимости выискивать формулы, которые приводятся только в справочных изданиях, в данную версию системы включен электронный справочник. Он обеспечивает экранные подсказки, которые очень пригодятся 
новичкам.
Имеются, однако, два момента, которые наверняка не понравятся её пользователям. Во - первых, при использовании 35 - см экрана, приходится напрягать глаза, чтобы разглядеть очень маленькие цветные пиктограммы. И во - вторых, качество изображения графиков оставляет желать лучшего.
2.2 MathCAD PLUS 6.0
Решение алгебраических систем.
Лучше один раз увидеть(схему задачи),чем сто раз услышать(её условие) - такое расширение пословицы можно отнести ко всем прикладным программам, работающим под управлением операционной системы Windows, которую не зря называют графической оболочкой. Пакет MathCAD в этом смысле - не исключение. Работая в среде Windows, можно с помощью графического редактора PaintBrush (или какого - то) другого нарисовать схему задачи, а потом через Буфер Обменов ClipBoard перенести рисунок в документ MathCAD. Если теперь в среде MathCAD подвести к рисунку курсор мыши и два раза щелкнуть по её левой кнопке, то обрамление рисунка сразу изменится - рисунок перенесётся в среду PaintBrush, где его можно доработать, а потом опять вернуть в MathCAD.
Словесное описание задачи можно ввести в MathCAD - документ ремарками (комментариями). Пакет MathCAD оборудован текстовым процессором, позволяющим оформить, например, научную статью, не прибегая к специализированным средствам. С другой стороны, Буфер Обменов ClipBoard поможет перенести фрагменты MathCAD - документа в Word - документ и там дооформить их. В шестой версии - MathCAD в меню FILE (файл) появился пункт Export Worksheet (экспорт), существенно облегчающий эту работу.
Для решения линейных алгебраических уравнений в пакете MathCAD есть особые инструменты - операторы и функции работы с матрицами и векторами. Элементы матриц и векторов в среде MathCAD должны либо иметь одинаковую размерность, либо быть безразмерными. А это не просто ошибка пакета, а общая методологическая ошибка: элементы матрицы могут быть с разнородными размерностями.
Матрица и вектор пакета MathCAD имеют «родственников» на языке BASIC - двумерный и одномерный массивы. Массив же - это объединение сугубо однотипных величин. Разнотипные переменные объединяются в записи. Что бы примирить физику с математикой, достаточно разрешить в столбцах матрицы помещать величины с разнородными единицами измерений, считая матрицу не только двухмерным массивом простых переменных, но и одномерным массивом векторов. В записи (в векторе) могут, конечно, храниться и однотипные переменные – переменные с одной размерностью или вообще лишенные её. Аналог одномерного массива в MathCAD - это матрица с одним столбцом. Но такая «горизонтальная» матрица не выражается через переменную с индексом. Переменная с индексом - это нормальный, «вертикальный», вектор. Если допустить, что матрица - собрание (множество) величин с различной размерностью, то тогда придётся все матричные операторы и функции разделить на группы по отношению к единицам измерений. Так функции min (поиск минимального элемента в массиве) и max (поиск максимального элемента в массиве) не могут допустить неодинаковых размерностей в элементах матрицы - аргумента. Оператор же определения детерминанта должен преобразовывать матрицу как массив векторов. Величины в строках здесь должны быть одной размерности.
С точки зрения математика (несмотря на отсутствие размерности, что ведёт за собой смысловую потерю физики задачи) решение в среде MathCAD системы линейных алгебраических уравнений через матрицы более оптимально, чем через блок Given...Find: отпадает необходимость в начальном приближении (у линейной системы не более одного корня - вектора). Кроме того, матричное решение задачи - точнее.
Есть и другие причины, по которым приходится отказываться от размерностей. Международная система физических величин (СИ) базируется на семи основных единицах (длина - метр, масса - килограмм, время - секунда, сила тока - ампер, абсолютная температура - кельвин, сила света - кандела и количество вещества - моль). Но в среде MathCAD их только пять: длина, масса, время, заряд и абсолютная температура.
2.3 Великолепная семёрка MathCAD
Раз мы уж залезли в мистику (в описание магических свойств числа семь), то подошла пора рассказа о великолепной семёрке MathCAD - о семи видах графиков, используемых для визуального отображения различных зависимостей. Типов графиков в MathCAD, конечно, намного больше, но на панели инструментов имеется ровно семь кнопок для создания семи типов графиков. Мистика да и только.
Самый распространенный график: двухмерный декартов график (X-Y Plot), иллюстрирующий связи между двумя или несколькими векторами.
Декартов график строится, как правило, в три шага:
hшаг 1: задание вида функций одной переменной;
h шаг 2: формирование вектора значений аргумента;
hшаг 3: построение графика.
Третий шаг в свою очередь делится опять же на три шага
hшаг 1: рисование на экране дисплея заготовки графика - прямоугольника с чёрными квадратиками у левой и правой сторон; заготовка графика появляется в отмеченном курсором месте после того, как пользователь нажмёт одну из семи кнопок панели инструментов «Графики»;
hшаг 2: заполнение пользователем двух чёрных квадратиков заготовки графика («вакантных мест») именем функции и именем аргумента. Если функций больше одной, то их имена вводятся через запятую. В заготовке есть и другие чёрные квадратики, которые можно не заполнять. Среда MathCAD заполнит их сама. График появляется на дисплее после вывода курсора из зоны графика (автоматический режим расчётов) или после нажатия клавиши F9 (ручной или автоматический режим расчётов). Параметры графика задаются стандартами по умолчанию;
hшаг 3 необходим, если параметры графика, установленные по умолчанию не устраивают пользователя и он хочет их изменить, вызвав соответствующее меню.
Если аргумент представляет собой угол, изменяющийся от 0 до 360 градусов, то ось аргументов декартова графика целесообразно «свернуть в круг» и получить полярный график(Polar Plot).
Графически отобразить функцию двух аргументов можно с помощью графика поверхности(Surface Plot), который строится, как правило, не в три, а в семь шагов:
hшаг 1: задание вида функций двух переменных;
hшаг 2: нумерация узлов сетки - поверхности по первому аргументу;
hшаг 3: формирование вектора первого аргумента;
hшаг 4: нумерация узлов сетки-поверхности по второму аргументу;
hшаг 5: формирование вектора второго аргумента;
hшаг 6: заполнение матрицы значениями функции в узлах сетки;
hшаг 7: построение и форматирование графика поверхности.
Очень часто, особенно при поиске оптимумов функции двух переменных, полезнее просмотреть не график поверхности, а карту линии уровня, которые подобны линиям на физической географической карте, охватывающим горы и впадины (минимумы и максимумы).
На место линий графика можно поставить маленькие стрелочки, отмечающие направление изменения функций двух переменных. Тогда получится векторное поле (Vector Field Plot).
Гибридом декартова графика и графика поверхности является так называемый трёхмерный точечный график (3D Scatter Plot). Его главное отличие от графиков, отображающих прямоугольные матрицы, в том, что с его помощью можно изобразить взаимосвязь трёх векторов.
Графики можно расцветить так, чтобы более высокие зоны имели тёплые цвета, а более низкие - холодные. Пакет MathCAD может раскрасить объёмные конструкции (скажем точнее, виртуальныеобъёмные конструкции) так, чтобы пользователь смог увидеть всё, что ему нужно.
В шестую версию MathCAD встроены средства анимации, позволяющие оживить MathCAD - документы. С анимацией связана системная переменная FRAME, которой через команды Windows-Animation-Create... в окне Create-Animation можно приказать меняться, например от 1 до 10. При открытом окне Create-Animation нужно выделить область, визуальное изменение которой желательно проанализировать и нажать кнопку Animate.после этого появится окно Playback, где средствами Microsoft Video будет показано изменение кривой на графике в зависимости от изменения значения переменной FRAME.
Основной недостаток трёхмерной графики MathCAD и других подобных пакетов - в том, что область изменения аргументов должна быть прямоугольной.
2.4 Сортировка
Экспериментальные данные перед дальнейшей обработкой желательно отсортировать. Это можно сделать вручную, переставив местами два первых элемента или (при объёмных массивах данных) автоматически через функцию csort, возвращающую упорядоченную матрицу по отмеченному номеру столбца. Для этого вектора объединяются в матрицу, которая после сортировки расчленяется на те же, но уже упорядоченные векторы. Это приходится делать из-за того, что некоторые функции MathCAD отказываются иметь дело с не отсортированными векторами.
2.5 Линейная аппроксимация
Встроенные функции intercept (to intercept по-английски - отложить отрезок на линии) и slope (наклон) решают самую простую и самую распространённую задачу регрессионного анализа - нахождение прямой, пронизывающей точки методом наименьших квадратов.
Найденные значения коэффициентов а и b аппроксимирующего уравнения y(x) = a + bx позволяют построить на графике прямую с роящимися вокруг неё точками. Подобным графиком на практике, как правило, завершают регрессионный анализ: график, во-первых, даст наглядное представление о качестве анализа, а во-вторых, поможет в случае чего отловить допущенные ошибки ввода исходных данных (пропуск десятичной точки, например). Этой цели может служить и предварительная сортировка векторов: ошибочные значения часто всплывают на концах упорядоченного вектора. В-третьих, график сам по себе ценен. Графиком, т.е. с другого конца, можно довольно быстро решить линейную аппроксимационную задачу.
Дополнить результаты регрессионного анализа неплохо указанием точки, максимально отклонившейся от прямой. Само значение такого выброса найти несложно через функцию max. А вот с определением координат этой точки придётся повозиться: привлечь аппарат булевых выражений, принимающих два значения - True (в среде MathCAD - единица) и False (нуль), умножение которых на текущий индекс фиксирует искомую координату.
В пакете MathCAD PLUS 6.0 почти 300 встроенных функций. При всём богатстве встроенных функций пакету MathCAD не хватает функции определения в векторе или в матрице координат минимального (максимального) элемента. Выход из положения - это сумма (для вектора) или двойная сумма (для матрицы) произведений номера текущего элемента на булево выражение. Эту конструкцию так и хочется оформить в виде новой функции с именем imax, например и больше с такой задачей не возиться. Но в новую функцию перекочует и будет замаскирована ошибка - не ясно, что будет возвращать новорождённая функция imax, если в аргументе-векторе (в массиве) два или более максимальных элементов. Из прозрачной формулы с суммой это понятно, а из «затенённой» функции imax - нет. Все эти замечания можно отнести и к встроенным функциям intercept и slope,возвращающим значения коэффициентов линейной регрессии. Всегда остаются сомнения, а нет ли в этих функциях фактической или методологической ошибки. Последнюю можно обнаружить, если подставить в функции intercept и slope аргументы - векторы с двумя или даже одним методом. Через две точки можно всегда провести только одну прямую. Через одну точку прямых можно провести бесчисленное множество. И в том, и в другом случае сумма квадратов отклонений двух точек (одной точки) будет нулевой и требования метода наименьших квадратов будут выполняться абсолютно. Но в первом случае функции можно intercept и slope будут решать простую интерполяционную задачу, для которой в среде MathCAD есть особый математический аппарат. Во втором случае (X и Y - не векторы, а скаляры) функции intercept и slope должны выдавать бесчисленное множество значений, связанных ограничением Y = a + b×X.
В плане выполнимости критерия наименьших квадратов здесь всё безупречно, но методология, заложенная в функции intercept и slope, приводит к тому, что при числе элементов в векторах X и Y, меньше двух, выдаётся сообщение об ошибке. Всё это слабая защита, которую пользователь может легко обойти, подсунув функциям intercept и slope более одной точки, но с повторяющимися значениями аргументов. Резюме: играть можно не только с игровыми программами. На эту роль подходят и серьёзные математические пакеты - было бы желание у пользователя.
2.6 Дифференциальные уравнения
В среде MathCAD до версий PLUS 5.0 дифференциальные уравнения без особых ухищрений можно было решать только методом Эйлера, у которого низкие точность и производительность (плата за простоту). Инструментарий для решения дифференциальных уравнений (систем) различного порядка и различными методами в арсенале MathCAD появился сравнительно недавно. В него входят 13 встроенных функций (Bustoer, bustoer, bvalfit, multigird, relax, Rkadapt, rkadapt, rkfixed, sbval, Stiffb, stiffb, Stiffr и stiffr). Функция rkfixed возвращает в матрицу Z с Р+1 столбцами и n строками (Р - количество уравнений или порядок уравнения) - таблицу решений системы: первый (вернее, нулевой) столбец - это значения аргумента t (их задаёт пользователь), а последующие столбцы - значения ординат решения. В функцию rkfixed заложен широко распространённый метод Рунге - Кутта. Несмотря на то, что это не самый быстрый метод, функция rkfixed почти всегда справляется с поставленной задачей.
2.7 Программирование
Наиболее заметная «изюминка» шестой версии MathCAD, которую сразу оценили пользователи, - это встроенный язык программирования. В MathCAD, по сути, не встроен язык программирования, а просто снято ограничение на использование составных операторов в теле алгоритмических управляющих конструкций выбор иповторение. Кроме того, добавлены цикл с параметром и оператор досрочного выхода break. Алгоритмические конструкции и составные операторы в среде MathCAD вводятся нажимом одной из семи кнопок панели управления:
| Add line | добавить строку программы, тела цикла, плеча альтернативы и т.д. - знак присвоения. |
| While | при нажатии на эту кнопку на экране появляется заготовка цикла с предпроверкой: слово while с двумя пустыми квадратиками. В квадратик правее while нужно записать булево выражение (переменную), управляющее циклом, а во второй квадратик (ниже while) - тело цикла. |
| If | позволяет вводить в программу альтернативу с одним плечом. |
| Otherwise | позволяет превратить неполную альтернативу в полную: C D if A > B, E F otherwise |
| for | кнопка для ввода в программы цикла с параметром. |
| Break | кнопка досрочного выхода из программы или цикла. |
2.8 MathCAD или программы на языках высокого уровня
Итак, система MathCAD позволяет автоматизировать множество математических, инженерных и учебных расчётов. С её помощью можно составлять библиотеки и пакеты из документов, реализующих такие расчёты.
Целесообразна ли, при наличии MathCAD, подготовка программ математических расчётов на языках высокого уровня? Однозначного отрицательного ответа дать нельзя. Система основательно загружает ПК. Интерпретация формул и работа системы всегда в графическом режиме ведёт к потере скорости вычислений. Для ПК без сопроцессоров (класса IBM PC XT) медлительность системы вполне ощутима. Специализированные программы на Паскале и даже на Бейсике обеспечивают намного более высокую скорость вычислений, однако и требуют больше времени для подготовки программ.
Несомненно, важны и такие достоинства системы, как высокая достоверность и надёжность результатов вычислений, наглядность документов и удобные графические средства вывода результатов вычислений.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
И так, перечислим основные достоинства MATHCAD`a.
Во-первых, это универсальность пакета MATHCAD, который может быть использован для решения самых разнообразных инженерных, экономических, статистических и других научных задач.
Во-вторых, программирование на общепринятом математическом языке позволяет преодолеть языковой барьер между машиной и пользователем. Потенциальные пользователи пакета - от студентов до академиков.
И, в-третьих, совместно применение текстового редактора, формульного транслятора и графического процессора позволяет пользователю в ходе вычислений получить готовый документ.
Но в Росси программа Math Cad распространена слабо
Во-первых, это универсальность пакета MATHCAD, который может быть использован для решения самых разнообразных инженерных, экономических, статистических и других научных задач.
Во-вторых, программирование на общепринятом математическом языке позволяет преодолеть языковой барьер между машиной и пользователем. Потенциальные пользователи пакета - от студентов до академиков.
И, в-третьих, совместно применение текстового редактора, формульного транслятора и графического процессора позволяет пользователю в ходе вычислений получить готовый документ.
Но в Росси программа Math Cad распространена слабо
Наверное, это оттого, что люди, живущие в России, ещё не привыкли к тому, что решить систему дифференциальных уравнений из пяти переменных шестого порядка можно не только с помощью карандаша и бумаги, но и с помощью компьютера и MATHCAD`a.
Что вам важнее: потратить несколько дней (а то и недель) на разработку и отладку программы, решающей нужную задачу за десятые доли секунды, или затратить всего десяток минут на составление документа, решающего ту же задачу с помощью системы MathCAD за несколько секунд? Если последний вариант предпочтительнее – вам подходит MathCAD!
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Очков В.Ф. MathCAD PLUS 6.0 для студентов и инженеров. - М.: ТОО фирма «Компьютер Пресс»,1996.
2. Макарычев Ю. Н. Алгебра. – Москва: Просвещение, 2003.
3. Лекции по дисциплине МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ.