Кинематический анализ движения жидкости.

Виды движения жидкой частицы. Кинематика жидкой среды существенно отличается от кинематики системы материальных то­чек или кинематики твердого тела. Движение твердого тела в об­щем случае складывается из поступательного перемещения вместе с полюсом (мгновенным центром вращения) и вращения относи­тельно мгновенной оси, Проходящей через полюс. Движение жидко­сти значительно сложнее, поскольку частица кроме указанных пе­ремещений может деформироваться.

Изучим возможные формы движения жидкой частицы, рассмат­ривая для начала ради простоты плоское движение в плоскости ху. Будем обозначать составляющие вектора скорости в данной точке через w_x, w_y, w_z. Для рассматриваемого плоского течения w_z = 0. Пусть частица в форме квадрата с «полюсом» в точке А перемести­лась за некоторое время А' в соседнее положение, изображенное на рис. 4.1 параллелограммом. Точка А при этом заняла положение А'. Очевидно, перемещение части складывается из следующих со­ставляющих: а) перемещение полюса; б) вращение около полюса; в) деформация частицы.

Скорость поступательного движения полюса, как и в случае движения твердого тела, определяется компонентами вектора ско­рости w_x, w_y

Вращательное движение жидкой частицы существенно отличается от вращения твердого тела. Действительно, вращение жид­кой частицы нельзя охарактеризовать угловой скоростью какого-либо одного отрезка, выбранного в этой частице. Например, угловая скорость w ребра АВ может быть определена из разности скоростей изменения составляющих скорости в направлении оси у:

.

Угловая скорость ребра AD равна

.

По предложению Гельмгольца, за угловую скорость жидкой ча­стицы принимается средняя алгебраическая величина из угловых скоростей сторон прямоугольника

. (4. 1)

Индекс z в выражении (4. 1) показывает, что определяется состав­ляющая вектора угловой скорости относительно оси z, нормаль­ной к плоскости ху. Угловая скорость считается положительной, если вращение происходит против часовой стрелки.

Рис.4.1

Деформация жидкой частицы может быть двоякого рода. Во-первых, это деформация растяжения-сжатия, характе­ризующаяся удлинением сторон исходной частицы. Очевидно, что такое удлинение определяется изменением соответствующих ком­понент скорости по координатным осям:

, .

Во-вторых, возможна деформация скоса ребер жидкой частицы, т. е. заострение (или затупление) исходных углов. Такую деформа­цию можно охарактеризовать поперечной изменчивостью скорости течения, или средней арифметической из угловых скоростей вращения ребер:

.

Приведенные соображения позволяют сформулировать тео­рему Гельмгольца: скорость жидкой частицы склады­вается из скорости полюса, скорости вращательного движения около оси, проходящей через полюс, и скорости деформационного движе­ния, состоящего в свою очередь из линейной деформации растяже­ния-сжатия и угловой деформации скашивания ребер частицы.

Теорема Гельмгольца справедлива и для более общего случая пространственного движения. При этом появляются новые члены, характеризующие движение: деформация растяжения – сжатия в на правлении оси z, т. е. , и угловые скорости и деформации скоса относительно осей у и х. Приведем выражения для этих величин без вывода. Угловые скорости:

, ,

(4.2)

деформации скоса:

, ,

. (4.3)

Индексы х, у, z при ε в последних выражениях не следует понимать как символы проекции: они указывают лишь направление перпен­дикуляра к площадке, в которой происходит перекашивание грани. Вообще в отличие от угловой скорости w, которая, как и в меха­нике твердого тела, имеет векторный характер, деформация скоса ε является скаляром.

Вихревое и безвихревое движение. Если при движении жидкости ее частицы вращаются и составляющие угловой скорости ω _x, ω _y, ω _z не равны нулю, движение называется вихревым. Наличие вращательных движений в двухмерном потоке может быть установ­лено таким простейшим экспериментом: в поток вводят поплавок со стрелкой-индикатором, причем его размер мал по сравнению с радиусом кривизны линий тока. Если при движении поплавка стрелка-индикатор не остается параллельной самой по себе, а из­меняет свое направление с некоторой угловой скоростью w, то дви­жение — вихревое и угловая скорость поплавка совпадает с угло­вой скоростью жидкой частицы.

Необходимо отметить, что вихревым может быть течение и при прямолинейных траекториях частиц. Например, если частицы дви­жутся параллельно оси x (рис. 4.2), причем скорости изменяются по закону w_x = ay + b, где а и b — постоянные, то угловая ско­рость равна

;

Мы имеем вихревое течение, и поплавок, помещенный в поток, будет вращаться по часовой стрелке. Течение вязкой жидкости в трубах постоянного сечения — также вихревое, причем угловая скорость вращения частиц нарастает с приближением к стенке трубы.

Рассмотрим один частный случай движения жидкости, когда вращение частиц отсутствует. В этом случае ω _x =ω _y = ω _z = 0. Такое движение называется безвихревым.

Важность этого частного случая движения определяется тем обстоятельством, что, как показывает опыт, при обтекании тела с плавными обводами вращение частиц наблюдается только в тон­кой пристенной области и за кормой. Во всем остальном потоке движение осуществляется практически без вращения частиц. Поэ­тому безвихревое движение имеет особое значение для теории удобообтекаемых тел (таких, как современные самолеты, ракеты, ко­рабли, проточные части турбомашин). Особенно большое значение имеет теория безвихревого движения для решения за­дачи о распределении давлений на по­верхность обтекаемого тела.

При плоском (двухмерном) течении равенство нулю угловой скорости вра­щения приводит к выражению:

.

Если обратиться к рис. 4.1, то угловая скорость ребра АВ при этом будет и положительна (ребро АВ вращается против часовой стрелки). Угловая скорость ребра AD будет и отрицательна (ребро AD вращается по часовой стрелке). Средняя скорость вращения:

,

равная угловой скорости биссектрисы исходного прямого угла, в случае безвихревого движения равна нулю; частица перемещается без вращения, несмотря на наличие деформационного движения. В этом случае поплавок, опущенный в жидкость, будет переме­щаться вместе с потоком таким образом, что стрелка-индикатор остается все время параллельной самой себе.

Безвихревое циркуляционное течение. Интересным и практи­чески важным примером безвихревого движения является круго­вое течение, в котором скорость обратно пропорциональна расстоя­нию от оси вращения частиц (рис. 4.3):

. (4.4)

Хотя линии тока этого течения криволинейны, но поток является безвихревым — частицы деформируются, но не вращаются.

Течение, в котором скорость подчиняется закону (4.4), называют безвихревым циркуляционным потоком (иногда – менее точно – плоским вихрем).

Рассмотрим безвихревое циркуляционное течение с непрерывно убывающим радиусом. Скорость течения и ее градиент вблизи оси вращения должны непрерывно нарастать и в пределе стать беско­нечно большими (рис. 4.3). В реальной жидкости это невозможно из-за действия вязкости; опыт показывает, что центральная область вихря приходит во вращение и вращается как твердое тело с угло­вой скоростью ω. За пределами этого ядра вихря (заштрихованный круг на рис. 4.3) скорость изменяется по закону (4.4).

Приме­рами подобных потоков являются круговые течения у отверстия стока воды в ванне, атмосферные смерчи и т. д. Возрастание ско­рости с приближением к оси потока приводит к понижению давле­ния, поэтому свободная поверх­ность жидкости принимает воронко­образную форму. В свою очередь, и местное понижение давления в жидкости приводит через неко­торое время к формированию та­кого поля скоростей, которое при­ближается к безвихревому цирку­ляционному течению.

Важным примером использова­ния в технике безвихревого цир­куляционного течения является движение газов в спиральной ка­мере с тангенциальным подводом газа (рис. 4.4). Газовый поток вра­щается в камере; выход газов осу­ществляется через окна прорезан­ные в торцевых стенках камеры вблизи от ее оси. Хотя линии тока являются спиралями, но радиусы их кривизны приближенно можно считать равными радиусу соответствующей окружности r, прове­денному из оси камеры. Распределение скоро­стей оказывается близким к заданному форму­лой (4.4). Скорость сильно возрастает с при­ближением к оси камеры.

Возрастание скорости с приближением к оси спиральной камеры позволяет использо­вать ее в качестве циклонной уста­новки для сепарации твердых частиц из газо­вого потока — центробежные силы; действую­щие на частицы при движении с большой скоростью по криволинейным траекториям, отбрасывают их к стенкам камеры.

Другое применение спиральной камеры — так называемые ре­циркуляционные печи, используемые при термической обработке крупных поковок или отливок. Обрабатываемое изделие (садка) размещается у оси камеры. За счет большой скорости газов, обте­кающих поверхность садки, происходит интенсивный теплообмен между потоком и поверхностью, что позволяет сократить сроки термообработки.

Замечания руководителя