Двоичная система счисления

Лекция №2

СИСТЕМЫСЧИСЛЕНИЯ

1. Позиционные системы счисления

Система счисления - принятый способ записи чисел и сопоставления этим записям реальных значений.

Все системы счисления можно разделить на два класса: позиционные и непозиционные. Для записи чисел в различных системах счисления используется некоторое количество отличных друг от друга знаков. Число таких знаков в позиционной системе счисления называется основанием системы счисления. Рассмотрим некоторые позиционные системы счисления и перечень знаков (цифр), из которых образуются в них числа.

В позиционной системе счисления число может быть представлено в виде суммы произведений коэффициентов на степени основания системы счисления:

A_nA_n-1A_n-2…A₁A₀ , A_-1A_-2…=An*+A_n-1*B^n-1+…+ A₁*B¹+A₀*B⁰+ A_-1*B^-1+A_-2*B^-2+…

(знак «точка» отделяет целую часть числа от дробной; знак «звездочка» здесь и ниже используется для обозначения операции умножения).

Таким образом, значе­ние каждого знака в числе зависит от позиции, которую занимает знак в записи числа. Именно поэтому такие системы счисления называют позиционными.

Приме­ры (десятичный индекс внизу указывает основание системы счисления):

23,43₍₁₀₎ = 2* 10¹+ 3* 10⁰ + 4* 10^-1 + 3* 10^-2

(в данном примере знак «3» в одном случае означает число единиц, а в другом - число сотых долей единицы);

692₍₁₀₎=6*10²+9*10¹+2

(«Шестьсот девяносто два» с формальной точки зрения представляется в виде «шесть умножить на десять в степени два, плюс девять умножить на десять в степени один, плюс два»),

1101₍₂₎= 1*2³+ 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰;

112₍₃₎= 1*3² + 1*3¹+ 2*3°;

341,5₍₈₎ = 3*8² + 4*8¹+ 1*8⁰+ 5*8^-1;

AlF,4₍₁₆₎ = A*16²+ 1*16¹ + F*16⁰ + 4*16^-1.

При работе с компьютерами приходится параллельно использовать несколько позиционных систем счисления (чаще всего двоичную, десятичную и шестнадцати­ричную), поэтому большое практическое значение имеют процедуры перевода чисел из одной системы счисления в другую.

Заметим, что во всех приведенных, выше примерах результат является десятичным числом, и, таким образом, способ перевода чисел из любой позиционной системы счисления в десятичную уже проде­монстрирован.

Чтобы перевести целую часть числа из десятичной системы в систему с основа­нием В, необходимо разделить ее на В. Остаток даст младший разряд числа. Полученное при этом частное необходимо вновь разделить на В - остаток даст следующий разряд числа и т.д.

Для перевода дробной части ее необходимо умножить на В. Целая часть полученного произведения будет первым (после запятой, отделяющей целую часть от дробной) знаком. Дробную же часть произ­ведения необходимо вновь умножить на В. Целая часть полученного числа будет следующим знаком и т.д.

Отметим, что кроме рассмотренных выше позиционных систем счисления суще­ствуют такие, в которых значение знака не зависит от того места, которое он занимает в числе. Такие системы счисления называются непозиционными. Наиболее известным примером непозиционной системы является римская. В этой системе используется 7 знаков (I, V, X, L, С, D, М), которые соответствуют следующим величинам:

1(1) V(5) X(10) L(50) С (100) D(500) М(10ОО)

Примеры: III (три), LIX (пятьдесят девять), DLV (пятьсот пятьдесят пять).

Недостатком непозиционных систем, из-за которых они представляют лишь ис­торический интерес, является отсутствие формальных правил записи чисел и, соответственно, арифметических действий над ними (хотя по традиции римскими числами часто пользуются при нумерации глав в книгах, веков в истории и др.).

Двоичная система счисления

Особая значимость двоичной системы счисления в информатике определяется тем, что внутреннее представление любой информации в компьютере является двоичным, т.е. описываемым наборами только из двух знаков (0 и 1).

Конкретизируем описанный выше способ в случае перевода чисел из десятичной системы в двоичную. Целая и дробная части переводятся порознь. Для перевода целой части (или просто целого) числа необходимо разделить ее на основание системы счисления и продолжать делить частные от деления до тех пор, пока частное не станет равным 0. Значения получившихся остатков, взятые в обратной последовательности, образуют искомое двоичное число.

Например:

Остаток

25:2 = 12 (1),

12:2 = 6 (0),

6:2 = 3 (0),

3:2=1 (1),

1:2 = 0 (1).

Таким образом, 25₍₁₀₎=11001₍₂₎.

Для перевода дробной части (или числа, у которого «0 » целых) надо умножить ее на 2. Целая часть произведения будет первой цифрой числа в двоичной системе. Затем, отбрасывая у результата, целую часть, вновь умножаем на 2 и т.д. Заметим, что конечная десятичная дробь при этом вполне может стать бесконечной (периодической) двоичной. Например:

0,73 * 2 = 1,46 (целая часть 1),

0,46 * 2 = 0,92 (целая часть 0),

0,92 * 2 = 1,84 (целая часть 1),

0,84 * 2 = 1,68 (целая часть 1) и т.д.

В итоге

0,73(10) = 0,1011...₍₂₎.

Над числами, записанными в любой системе счисления, можно производить раз­личные арифметические операции. Так, для сложения и умножения двоичных чисел необходимо использовать табл.

Таблицы сложения и умножения в двоичной системе

Заметим, что при двоичном сложении 1 + 1 возникает перенос единицы в стар­ший разряд точь-в-точь как в десятичной арифметике:

1001 1001

+ 11* 11

=1100 111

+ 111.

= 10101