КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
По дисциплине
«Математическое моделирование »
_____________________
(отметка о зачете)
Рецензент: Ридель В.В. Студент: Орехов А.А.
Группа: ЗЗБ-191
Шифр: 1510-Пим-0567
_____________________ _____________________
подпись подпись
дата: ________________ дата: ________________
Москва 2016
Тема №1 «Математические модели в виде обыкновенных дифференциальных уравнений»
Задание.
Построить математическую модель всплытия подводной лодки. Пусть лодка водоизмещением V = 1500 т движется горизонтально со скоростью υ = 17 км/ч = 4,72 м/с на глубине H = 310 м от поверхности моря. Средняя плотность лодки ρ1 = 0,55∙10-3 кг/м3. В момент t 0 = 0 лодка начинает всплытие. Сопротивлением воды можно пренебречь.
Определить:
1) время t 1, когда лодка всплывет на поверхность моря;
2) расстояние L, которое пройдет лодка в горизонтальном направлении до момента всплытия;
3) вертикальную скорость u лодки;
4) траекторию движения подводной лодки в координатах (l, h);
5) тип соответствующей кривой.
Плотность воды принять равной ρ0 = 10-3 кг/м3. Сделать чертеж.
Выполнение
Математическое моделирование - моделирование, которое осуществляется средствами математики и логики.
Математическая модель описывающая ситему S (x1,x2,...,xn; R), имеет вид: М=(z1,z2,...,zm; Q), где ziÎZ, i=1,2,...,n, Q, R - множества отношений над X - множеством входных, выходных сигналов и состояний системы и Z - множеством описаний, представлений элементов и подмножеств X, соответственно.
Модель включает в себя: объект О, субъект (не обязательный) А, задачу Z, ресурсы B, среду моделирования С.
Модель М называется статической, если среди xi нет временного параметра t. Статическая модель в каждый момент времени дает лишь "фотографию" сиcтемы, ее срез.
Модель - динамическая, если среди xi есть временной параметр, т.е. она отображает систему (процессы в системе) во времени.
Модель - дискретная, если она описывает поведение системы только в дискретные моменты времени.
Модель - непрерывная, если она описывает поведение системы для всех моментов времени из некоторого промежутка времени.
Модель - имитационная, если она предназначена для испытания или изучения, проигрывания возможных путей развития и поведения объекта путем варьирования некоторых или всех параметров xi модели М.
Модель - детерминированная, если каждому входному набору параметров соответствует вполне определенный и однозначно определяемый набор выходных параметров; в противном случае - модель недетерминированная, стохастическая (вероятностная).
Анализ объекта моделирования
Объектом моделирования подводная лодка. Для упрощения процесса моделирования не рассматривается внутренее строение лодки. Она рассматривается как материальная точка, в которой расположен центр масс лодки, с некоторой плотностью(по условию задачи средняя плотность лодки ρ1 составляет 0,55∙10-3 кг/м3).
В исходной точке непосредственно перед началом всплытия лодка имеет постоянную скорость υ и двигается в направлении вектора этой скорости. Лодка двигается горизонтально, при это не учитываются боковые течения, которые могли бы менять направление движения лодки в поперечной плоскости. Таким образом траектория движения подлодки во время всплытия лежит в продольной плоскости, совпадает по направлению с вектором скорости и описывается координатами глубины и расстояния, которое лодка пройдёт за время всплытия.
Сила сопротивления воды не учитывается поскольку мы рассматриваем подводную лодку как материальную точку, таким образом форма корпуса подводной одки не рассматривается.
Плотность воды считается постоянной, поскольку температура и состав воды постоянны.
Технические впросы связанные с процессами, обеспечивающими всплытие лодки, таких как откачка воды, не рассматриваются ввиду того, что время протекания этих процессов мало по сравнению с временем всплытия лодки. Поэтому масса воды в массе лодки не учитывается.
Формирование модели
Для формирования модели рассотрим, какие силы действуют на подводную лодку в плоскости траектории движения. Введём декартову систему координат. Началом отсчёта является начальное положение лодки. Ось X направлена в сторону направления вектора скорости лодки в начальный момент. Ось Y направлена в сторону всплытия подводной лодки. Схема всплытия лодки в декартовой системе координат изображена на рисунке 1:
Рисунок 1. Схема всплытия подводной лодки в декартовой системе координат.
На подводную лодку действуют силы:
- сила Архимеда 
- сила тяжести 
Сумма сил действующих на лодку:
Рассмотрим проекции суммарной силы действующей на подводную лодку на оси координат.
Проекция на ось X:
max = 0
Проекция на ось Y:
may = FA – P
Получим систему уравнений, описывающих силы, действующие на подводную лодку в декартовой системе координат:
По заданию необходима возможность определения координат лодки в любой момент во время её всплытия. Поскольку ускорени является второй производной по координате, получим:
(1)
Система уравнений (1) является математической моделью, описывающей процесс всплытия подводной лодки, записанной с использованием диффренциальных уравнений.
Перепишем уравнение (1) в координатах l и h:
(2)
Найдём уравнение, для нахождения координаты глубины подводной лодки. Для этого во втором уравнения системы уравнений (2) выразим 
, и перепишем:
Перепишем уравнение:
Запишем уравнение глубины в зависимости от времени:
(3)
При этом из условия:
h (0) = H - глубина в начальный момент
- вертикальная скорость в начальный момент
Решим дифференциальное уравнение (3) с учётом приведённых ограничений из условия задания в программном пакете maxima:
Получаем, что:
(4)
Уравнение (4) описывает движение лодки в вертикальной проекции, позволяющую определить координаты глубины в любой момент всплытия.
Найдём время всплытия t1, исходя из того, что в момент всплытия координата h = 0:
Найдём расстояние пройденное L лодкой в горизонтальной проекции за время всплытия.
Это расстояние находится по формуле:
l(t) = v t (5)
Уравнение (5) описывает движение лодки в горизонтальной проекции и позволяет определить её координаты в горизонтальной проекции в любой момент времени.
Определим расстояние пройденное лодкой в горизонтальной проекции за время всплытия:
L = v t1
L = 4,72 · 8,79 = 41,5 м
Для определения скорости подводной лодки в вертикальной проекции возьмём первую производную уравнения (4). Получим:
Для построения графика зависимости координат дальности и глубины выразим из уравнения (5) время и подставим в уравнение (4):
Из вида уравнения мы можем сделать вывод, что траектория всплытия – парабола. Построим график зависимости координаты h от l:
Тема №2. «Стохастические модели»
Задание.
Провести идентификацию эмпирической математической модели.
А) Предполагается, что процесс описывается одномерным уравнением 2-го порядка
W = a 0 + a 1 x + a 2 x 2, 0 £ x £ 10.
Б) Предполагается, что процесс описывается одномерным уравнением 3-го порядка
W = a 0 + a 1 x + a 2 x 2+ a 3 x 3 0 £ x £ 10.
Считаем, что величина х измеряется точно, а W – с ошибкой e, имеющей нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией М (e) = 0, s2(e) = 1. Проверить адекватность модели методом Фишера и сравнить модели А) и Б) графически с моделью линейной регрессии (simple_linear_regression(…)).
| № Вар.\ № точки | ||||||||||||
| ||||||||||||
| W | 15,7 | 14,8 | 21,4 | 22,3 | 30,6 | 32,7 | 38,4 | 36,5 | 39,9 | 49,4 | 49,1 |
Выполнение
Важнейшим классом математических моделей являются так называемые эмпирические модели.
Исходными данными для разработки эмпирических моделей являются экспериментальные данные, полученные в результате проведения экспериментов с целью выявления значений параметров исследуемых явлений, процессов или объектов.
Пусть изучается система двух количественных случайных признаков некоторого процесса, явления или объекта, когда обе величины или одна из них подвержены действию случайных факторов. В этом случае между величинами имеет место стохастическая зависимость. Требуется установить аналитическое выражение этой зависимости, то есть составить математическую модель процесса.
Чтобы получить заданную зависимость, необходимо иметь выборку её наблюдений. Такой выборкой являются результаты n независимых экспериментов, представленные n парами случайных значений экспериментальных (статистических) данных.
Таким образом необходимо решить задачу восстановления математического описания некоторого процесса по результатам эксперимента, то есть поизвести идентификацию эмпирической математической модели. При решении задачи будет использовано несколько форм математической модели. Идентификация будет сводится к определению коэффициентов этой модели. Для поиска коэффициентов будет испольоваться метод наименьших квадратов, заключается в том, что искомые коэффициенты должы минимизировать собой функцию, представляющую собой сумму квадратов невзяок ej:
