С учетом (4.6) формулу (4.2) можно записать в виде плоской волны

, (4.8)

соответствующей частице, имеющей импульс и энергию .

Волны де Бройля характеризуются фазовой и групповой скоростями. Фазовая скорость определяется из условия постоянства фазы волны (4.8) и для релятивистской частицы равна

, (4.9)

то есть она всегда больше скорости света[5]. Групповая скорость волн де Бройля равна скорости движения частицы:

. (4.10)

Из (4.9) и (4.10) следует связь между фазовой и групповой скоростями волн де Бройля:

. (4.11)

Каков же физический смысл волн де Бройля и какова их связь с частицами вещества?

В рамках волнового описания движения частицы значительную гносеологическую сложность представил вопрос о ее пространственной локализации. Волны де Бройля (4.2), (4.8) заполняют все пространство и существуют неограниченное время. Свойства этих волн всегда и везде одинаковы: постоянны их амплитуда и частота, неизменны расстояния между волновыми поверхностями и др. С другой стороны, микрочастицы сохраняют свои корпускулярные свойства, то есть обладают определенной массой, локализованной в определенной области пространства. Для того, чтобы выйти из создавшегося положения, частицы стали представлять не монохроматическими волнами де Бройля, а наборами волн с близкими частотами (волновыми числами) – волновыми пакетами:

; (4.12)

при этом амплитуды отличны от нуля лишь для волн с волновыми векторами , заключенными в интервале ().

15.Опыты Дэвиссона и Джермера. Эффект Рамзауэра и его объяснение в квантовой мех-ке Так, в 1921 году Рамзауэр при исследовании рассеяния электронов на атомах аргона обнаружил, что при уменьшении энергии электрона от нескольких десятков электрон-вольт эффективное сечение упругого рассеяния электронов на аргоне s растет (рисунок 4.1).

Но при энергии электрона ~16 эВ эффективное сечение достигает максимума и при дальнейшем уменьшении энергии электрона уменьшается. При энергии электрона ~ 1 эВ значение s становится близким к нулю, а затем начинает снова увеличиваться.

Таким образом, создается впечатление, что электроны, энергия которых ~ 1 эВ, не испытывают с атомами аргона столкновений и пролетают через газ без рассеяния. Такое же поведение характерно и для сечения рассеяния электронов на других атомах инертных газов, а также на молекулах (последнее обнаружено Таунсендом). Этот эффект аналогичен образованию пятна Пуассона при дифракции света на малом экране.

Другой интересный эффект – селективное отражение электронов от поверхности металлов; оно изучалось в 1927 году американскими физиками Дэвиссоном и Джермером, а также независимо от них английским физиком Дж. П. Томсоном.

Параллельный пучок моноэнергетических электронов из электронно-лучевой трубки (рисунок 4.2) направляли на никелевую пластинку . Отраженные электроны улавливались коллектором , соединенным с гальванометром . Коллектор мог быть установлен под любым углом относительно падающего пучка (но в одной плоскости с ним).

В результате опытов Дэвиссона–Джермера показано, что угловое распределение рассеянных электронов имеет такой же характер, как и распределение рентгеновских лучей, рассеянных кристаллом (рисунок 4.3). При изучении дифракции рентгеновских лучей на кристаллах было установлено, что положение дифракционных максимумов определяется по формуле , (4.1)

где – постоянная кристаллической решетки, – порядок дифракции, – длина волны рентгеновского излучения.

Рассеяние нейтронов на тяжелом ядре также сопровождалось возникновением типично дифракционного распределения рассеянных нейтронов, аналогичного наблюдаемому в оптике при дифракции света на поглощающем диске или шарике.

16.Соотношение неопред-ей Гейзенберга. Их физ. толкованиие Волновую функцию частицы движущейся в потенциальном поле, можно представить волновым пакетом. Если при движении частицы локализация сопоставляемого ей волнового пакета характеризуется величиной , то волновые числа парциальных волн, необходимые для образования этого волнового пакета, заключены в интервале . В проекциях на координатные оси декартовой системы координат для величин и можно записать соотношения

(4.18)

или, после умножения на ,

,

(4.19)

Соотношения (4.18), (4.19) называют соотношениями неопределенностей Гейзенберга (или принципом неопределенности). Согласно этому фундаментальному положению квантовой теории, любая физическая система не может находиться в состояниях, в которых координаты ее центра инерции и импульс одновременно принимают вполне определенные, точные значения.

Соотношения, аналогичные записанным, должны выполняться для любой пары так называемых канонически сопряженных величин. Постоянной Планка , содержащейся в соотношениях неопределенностей, устанавливается предел в точности одновременного измерения таких величин. При этом неопределенность в измерениях связана не с несовершенством экспериментальной техники, а с объективными (волновыми) свойствами частиц материи.

Другим важным моментом в рассмотрении состояний микрочастиц является воздействие прибора на микрообъект. В процессе измерения физические параметры состояния микросистемы могут измениться; нижний предел этого изменения также устанавливается соотношением неопределенностей.

Ввиду малости по сравнению с макроскопическими величинами той же размерности действия соотношения неопределенностей существенны в основном для явлений атомных и меньших масштабов и не проявляются в опытах с макроскопическими телами.

Соотношения неопределенностей, впервые полученные в 1927 году немецким физиком В. Гейзенбергом, явились важным этапом в выяснении закономерностей внутриатомных явлений и построении квантовой механики.

Как следует из статистической интерпретации смысла волновой функции, частица может быть с некоторой вероятностью обнаружена в любой точке пространства, в которой волновая функция отлична от нуля. Поэтому результаты экспериментов по измерению, например, координаты носят вероятностный характер. Это означает, что при проведении серии одинаковых экспериментов над одинаковыми системами (то есть при воспроизведении одинаковых физических условий) получаются каждый раз разные результаты. Однако некоторые значения измеряемой величины будут более вероятными, чем другие, и будут появляться чаще. Чаще всего будут получаться те значения координаты, которые близки к значению, определяющему положение максимума волновой функции. Если максимум выражен четко (волновая функция представляет собой узкий волновой пакет), то частица в основном находится вблизи этого максимума. Тем не менее некоторый разброс в значениях координаты (неопределенность порядка полуширины максимума) неизбежен. То же относится и к измерению импульса.

В атомных системах величина по порядку величины равна площади, ограниченной фазовой кривой, которую описывает изображающая частицу точка, и определяемой фазовым интегралом . При его вычислении выявляется, что введенное в теории Бора квантовое число (смотри лекцию 3) удовлетворяет условию

.

В отличие от теории Бора, где имеет место равенство (здесь – скорость электрона на первой боровской орбите в атоме водорода, – скорость света в вакууме, ), при квантово-механическом описании средний импульс в стационарных состояниях определяется размерами системы в координатном пространстве, а отношение составляет только по порядку величины. Таким образом, применяя координаты и импульс для описания микроскопических систем, при оценке значений этих величин необходимо учитывать соотношения неопределенностей.

Несколько иной смысл имеет соотношение неопределенностей для энергии и времени :

. (4.20)

Если система находится в стационарном состоянии, то из соотношения неопределенностей (4.20) следует, что энергию системы даже в этом состоянии можно измерить только с точностью, не превышающей , где – длительность процесса измерения. Соотношение (4.20) справедливо также, если под понимать неопределенность значения энергии нестационарного состояния замкнутой системы, а под – характерное время, в течение которого существенно меняются средние значения физических величин в этой системе.

Из соотношения неопределенностей (4.20) следуют важные выводы относительно возбужденных состояний атомов, молекул, ядер. Такие состояния нестабильны, и энергии соответствующих им уровней не могут быть строго определенными, то есть энергетические уровни обладают некоторой естественной шириной , где – время жизни возбужденного состояния. Ещё одним примером служит альфа-распад радиоактивного ядра. Энергетический разброс испускаемых -частиц связан с временем жизни такого ядра соотношением[6] .

Из соотношений неопределенностей (4.19) следует вывод о том, что в квантовой механике теряет смысл деление полной энергии на кинетическую и потенциальную. Действительно, одна из них зависит от импульсов, а другая – от координат. Эти же переменные не могут одновременно иметь определенные значения. Энергия должна определяться и измеряться лишь как полная энергия, без деления на кинетическую и потенциальную.

17.Корпускулярно-волновой дуализм. Оптико-мех-ая аналогия. Представление о том, что в поведении микрообъектов проявляются как корпускулярные, так и волновые свойства, закреплено в термине «корпускулярно-волновой дуализм» и лежит в основе квантовой теории, где он и получил естественное истолкование.

Борн предложил следующую общепринятую теперь интерпретацию результатов описанных опытов[7]:вероятность попадания электрона в некоторую точку на фотопластинке пропорциональна интенсивности соответствующей волны де Бройля, то есть квадрату амплитуды волнового поля в данном месте экрана. Таким образом, предложено вероятностное (статистическое) толкование природы волн, связанных с микрочастицами: закономерность распределения микрочастиц в пространстве можно установить только для большого числа частиц; для одной частицы можно определить только вероятность попадания в определенную область.

После знакомства с корпускулярно-волновым дуализмом частиц ясно, что для описания механического состояния микрочастиц непригодны те методы, которые используются в классической физике. В квантовой механике для описания состояния нужно применять новые специфические средства. Важнейшим из них является понятие о волновой функции, или функции состояния ( -функции).

Функция состояния есть математический образ того волнового поля, которое следует связывать с каждой частицей. Так, функцией состояния свободной частицы может быть плоская монохроматическая волна де Бройля (4.2) или (4.8). Для частицы, подверженной внешнему воздействию (например, для электрона в поле ядра), это волновое поле может иметь весьма сложный вид, и оно изменяется с течением времени. Волновая функция зависит от параметров микрочастицы и от тех физических условий, в которых частица находится.

Далее мы увидим, что через волновую функцию достигается наиболее полное описание механического состояния микрообъекта, какое только возможно в микромире. Зная волновую функцию, можно определить, с какой вероятностью возможные значения всех измеряемых величин могут наблюдаться на опыте. Функция состояния содержит в неявном виде всю информацию о движении и квантовых свойствах частиц, поэтому говорят о задании с ее помощью квантового состояния.

Согласно статистической интерпретации волн де Бройля, вероятность локализации частицы определяется интенсивностью волны де Бройля, так что вероятность обнаружения частицы в малом объеме в окрестности точки в момент времени равна

. (4.13)

С учетом комплексности функции имеем:

, (4.14)

где символом * отмечена операция комплексного сопряжения.

Для плоской волны де Бройля (4.2)

,

то есть равновероятно обнаружить свободную частицу в любом месте пространства.

Величину

(4.15)

называют плотностью вероятности. Вероятность найти частицу в момент времени в конечном объеме , согласно теореме сложения вероятностей, равна

. (4.16)

Если в (4.16) произвести интегрирование в бесконечных пределах, то будет получена полная вероятность обнаружения частицы в момент времени где-нибудь в пространстве. Это – вероятность достоверного события, поэтому

. (4.17)

Условие (4.17) называют условием нормировки, а -функцию, удовлетворяющую ему, – нормированной.

Подчеркнем еще раз, что для частицы, движущейся в силовом поле, в качестве выступает функция более сложного вида, чем плоская волна де Бройля (4.2).

Так как -функция комплексна, то ее можно представить в виде

,

где – модуль -функции, а – фазовый множитель, в котором – некоторая функция. Из совместного рассмотрения этого выражения и (4.13) ясно, что нормированная волновая функция определена неоднозначно, а лишь с точностью до множителя . Отмеченная неоднозначность принципиальная и не может быть устранена; однако она несущественна, так как не отражается ни на каких физических результатах. Действительно, умножение функции на экспоненту изменяет фазу комплексной функции , но не ее модуль, через который определяют вероятность получения в эксперименте того или иного значения физической величины.

[2] Правилами квантования Бора – Зоммерфельда так называемый адиабатический интеграл выражается через сопряженные импульсы и координаты.

[3] Он невелик. Например, для дейтерия и, следовательно,, где; <<. Тогда разность частот излучения. Например, для резонансных линий водорода и дейтерия составляет 14130 м^-1. Эта разность частот надежно подтверждена экспериментально.

[4] Для электронов, ускоренных электрическим полем с разностью потенциалов В, длина волны де Бройля нм; при кВ =0,0122 нм. Для молекулы водорода с энергией Дж (при = 300 К) =0,1 нм, что по порядку величины совпадает с длиной волны рентгеновского излучения.

[5] Это не противоречит теории относительности, так как фазовая скорость не характеризует скорости переноса энергии и массы частицы.

[6] Для нормального состояния атома, а энергия имеет вполне определенное значение, то есть. Для нестабильной частицыс, и об определенном значении ее энергии говорить не приходится. Если время жизни атома в возбужденном состоянии принять равным с, то ширина энергетического уровня ~10^-26 Дж и ширина спектральной линии, возникающей при переходе атома в нормальное состояние, ~10⁸ Гц.

[7] Известны и другие опыты, в которых проявились волновые свойства микрочастиц, например, опыты Томсона и Тартаковского, Бёрнса, Мелленштадта и Дюкера.