Проверка гипотез о равенстве средних

Среди статистических гипотез центральное место занимают гипотезы о равенстве средних.

Эти гипотезы имеют место в случаях, если необходимо обосновать предположение что среднее значение некоторого показателя в двух группах различается или что показатель в одной группе с течением времени под влиянием каких-то факторов в среднем изменился.

Выборки, по которым проверяется гипотеза, называются связанными, если каждому значению одной выборки x_i соответствует элемент y_i из другой выборки характеризующие показатели для одного и того же тестируемого, но в различных условиях.

Несвязанные выборки как правило характеризуют различные группы респондентов, например экспериментальную группу сравнивают с контрольной.

Параметрический критерий Стьюдента

Это наиболее мощный критерий сравнения средних для связанных и несвязанных выборок объема n и m, однако, он применяется для случаев, когда показатели, представленные выборками имеют закон распределения близкий к нормальному. В основе критерия лежит сравнение основных выборочных параметров (средних и дисперсий), поэтому он называется параметрическим. Рассмотрим случай когда выборки независимы и несвязны.

Рассматриваются две генеральные совокупности и , выборки из них .

- средние значения равны. - средние значения различны.

Задается уровень значимости α.

Рассчитывается.

На первом этапе по выборкам вычисляются выборочные средние и дисперсии:

= (x₁+x₂+…+x_n), = ,

= (y₁+y₂+…+y_m), = .

На втором этапе сравниваются дисперсии. Для этого вычисляется F = , как отношение большей дисперсии к меньшей. Это число сравнивается с критическим значением , взятым из приложения 3 по Теме 8. При этом , если и , если . Если , то дисперсии можно считать равными, если , то дисперсии различны.

На третьем этапе вычисляется статистика критерия Стьюдента:

где , (3)

если дисперсии равны и

(4)

если дисперсии различные.

По таблице обратного распределения Стьюдента (ПРИЛОЖЕНИЕ1) находят критическое значение статистики . Если , то средние значения показателей для выборок не различаются.

Задача. Произведены две выборки урожая пшеницы: при своевременной уборке урожая и уборке с некоторым опозданием. В первом случае измерялась урожайность 14 участков; во втором – 12 участков. Значения урожайности (ц/га) приведены в таблице. На уровне значимости .выяснить влияние своевременности уборки урожая на среднее значение урожайности. Использовать параметрический критерий Стьюдента.

Решение.

Первый этап. Объемы выборок равны n = 14; m = 12. Вычисляем выборочные средние и дисперсии.

= (x₁+x₂+…+x_n);

= (23+25+23+22+23+24+28+16+18+23+29+26+31+19) = 23,5;

= ,

= (23²+25²+23²+22²+23²+24²+28²+16²+18²+ +23²+29²+26²+31²+19²- 14(23,5)²) = 20,96,

= (y₁+y₂+…+y_m),

= (6+27+29+24+17+24+30+33+23+26+20+34) = 25,2,

= ,

= (16²+27²+29²+24²+17²+24²+30²+33²+23²+

+26²+20²+34²- 12(25,2)²) = 36,04.

Второй этап. Проверяем, можно ли считать средние равными:

F = = = 1,7,

По табл. ПРИЛОЖЕНИЯ 3 находим F_кр = F (11; 13) = 2,65.

Видно, что F < F_кр (т.к. 1,7 < 2,65), то есть дисперсии можно считать равными. Исходя из этого на третьем этапе применяем формулу (3).

Третий этап. Вычисляем статистику критерия:

.

По табл. Стьюдента (1 ПРИЛОЖЕНИЯ) находим критическое значение критерия:

t_кр = t_1-a (n+m-2)=t _0,95(24)=1,711

Видно, что t < t_кр (т.к. 0,838 < 1,711), следовательно для выборок средние показатели различаются и можно говорить, что для данных выборок показатели агрессивности у мужчин и женщин можно считать статистически равными, а предположение о том, что агрессивность в среднем у мужчин и женщин в данных группах различна отвергается по выборочным данным.

Критерий знаков

Используется только для связанных выборок.

Для его применения выписывают пары значений первой и второй выборок , затем находят разности между элементами первой и второй выборок в каждой паре и считают число положительных разностей r. При этом l – число ненулевых разностей.

Если предполагается, что средний показатель первой выборки больше чем у второй, то это предположение можно считать справедливым, если выполняется неравенство:

, (1)

где k ₁=2(l-r +1), k ₂=2 r,

Если же предполагается, что средний показатель выше у второй выборке, то это считается справедливым, если выполняется неравенство

, (2)

где k₁ =2(r +1), k₂ =2(l-r).

Здесь - обратное распределение Фишера, его значения находят по статистическим таблицам (см. табл. приложения 3).

Если оба неравенства (1)-(2) не выполняются, то значения показателя в обеих выборках в среднем равны.

ЗАДАЧА. Технолог разработал новую технологию, позволяющую, по его мнению, увеличить производительность оборудования. Для проверки этого предположения были измерены показатели 14 оборудований до x и после y внедрения технологии. Можно ли с вероятностью 0,95 говорить о том, что разработанная технология действительно приводит к увеличению производительности, используя критерий знаков.

Решение. Используем критерий знаков. Присвоим каждой паре значений обоих выборок знаки по следующему правилу:

если x_i > y_i знак «+ »,

если x_i < y_i знак «- »,

если x_i = y_i знак «0».

l = 12 (число ненулевых разностей);

r = 5 (число разностей со знаком «+»);

доверительная вероятность р =0,95, следовательно уровень значимости a=1-0,95=0,05.

Так как предполагается, что средний показатель второй выборки выше, чем средний показатель у первой, то вычисляется левая часть неравенства (2) по формуле:

F = .

Правая часть этого неравенства вычисляется по таблице ПРИЛОЖЕНИЯ 3 по теме:

,

Видно, что F < F_kr, то есть можно считать, что средние показатели для выборок из обеих групп статистически не различаются, т.е. методика не привела к увеличению уровня внимательности.

Если выборки являются независимыми и не связаны, то существует несколько критериев решения данной задачи. Рассмотрим основные из них.