Площади фигур. Методика изучения темы «Площади фигур»




1. Площадь – это понятие, с которым мы встречаемся в повседневной жизни. В древности сложилось мнение, что площадь – первичное понятие, не требующее опред-я. Однако, все вычисления, связанные с площадью, должны основываться либо на опред-ии, либо на св-вах, заменяющих это определение. Значит, мы должны ответить на 2 вопроса:

- что такое площадь?

- как измерять площадь фигуры?

$2 подхода к опред-ю понятия площади:

- конструктивный (Атанасян);

- аксиоматический (Шарыгин, Погорев, Смирновы)

1)конструктивный подход

Площадь фигуры F – это функция, заданная на классе всех квадрированных фигур и принимающая все числовые значения.

S(F) – число, полученное в результате измерения при условии, что единица измерения фиксирована.

Все основные св-ва док-ся:

– S(F)³0 для " квадрир.фигуры

– S(F) – инвариантна, т.е. площади равных фигур равны

– S(F) – аддитивна, т.е. площадь фигуры равна сумме площадей частей, на которые она разбита

– Единичный квадрат имеет площадь 1.

2)аксиоматический подход

Площадь фигуры S – это фун-я, заданная на классе всех квадрир. Фигур и удовлетворяющая след.усл-ям:

–S(F)³0;

–F1 ­= F2 Þ S(F1)= S(F2)

–F= F1 ÈF2, F1 и F2 не содержат общих внутр. точек Þ S(F)= S(F1)+ S(F2)

– So=1 ед2

Св-ва 1-4 при этом подходе не док-ся, а вводятся как аксиомы.

Этот подход имеет недостаток: понятие площади опирается на понятие квардрир. Фигуры, а оно, в свою очередь, на понятие площади фигуры.

Полная формулировка понятие площади:

1)Площадь определяется как фун-я, обладающая св-вами 1-4 для многоугольной фигуры.

2)Определяется класс квадрир.фигур

3)Площадь – фун-я со св-вами 1-4 на классе квадрир. Ф-р.

При аксиоматич. подходе нужно док-ть теорему: Ф-ция со св-ваи 1-4 сущ-ет и единственна.

Все остальные св-ва площади док-ся на основе определения.

ПР: Если фигура Q содержится в фигуре R, то площадь Q меньше площади R, т.е. QÌRÞS(Q)<S(R) – св-во монотонности.

2.

S=a2
S=ab
®

 

¯

S=a×h=a×bsin1=1/2d1×d2×sin2

¯

S=1/2(a+b)h ® S=1/2d1d2sina

¯

S=pR, p –полупериметр S=S1+S2+S3+S4

¯

Sкр=pR2; Sсек=1/2×a×R2; Sсек=1/2×R2(a-sina)

3. Мет-ка включения уч-ся в деятельность по получению знач-ий включ. d себя след-е:

1)вывод формул по готовым чертежам

 

Док-ть:

ABCD– параллелограмм

 

Дано: SADN=SABCD Док-ть: SABCD=SAMD

 

 

2) Главный результат проведения док-в – это развитие мыш-я. Уч-ся должны осознать, что они опираются на понятие площади и её св-ва и, как следствие, осознают, для чего делать из параллелограмма прямоуг, достраивать тр-к до параллелограмма и т.д. Можно достраивать тр-к до параллелограмма, а можно до прямоугольника.

дост-е перекраивание

3) Много задач можно и нужно переформулировать в теоремы.

 

l || AB;

SAC1B=SAC2B=SAC3B=…

 

S AOB=SCOD

 

ABCD – трапеция

 

Площ-дь круга. Чтобы выч-ть S круга, нужно допол-ть опред-е S фиг-ры. Фиг-ра Ф имеет пл-дь S, если $ сод-щие ее прост-е фигуры и сод-иеся в ней простые фигуры с площ-ми, как угодно мало отлич-ся от S.

Ф-круг; Ф1-прав.впис.многоуг.,Ф2-прав.опис.многоуг.. S1=nSAOB; S2=nSEOD;

SAOB=ACRcosa=1/2ABRcosa

Если n®¥, p®C=2pR;

Значит, S1®pR2; S2®pR2;

По введённому определению площади получаем, что площадь круга Sкр=pR2

Площадь сектора

a - центральный угол, который соответствует сектору.

Площади двух секторов относятся, как их центральные углы. Площадь круга Sкр=pR2, кругу соответствует центр.угол 2p.   Сегмент- это часть круга, ограниченная хордой и соответствующей дугой.  

Площадь сегмента

 

Sсег=Sсек-SD=

Отсюда, в частности, ®"a верно нер-во sina



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-12-07 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: