1. Площадь – это понятие, с которым мы встречаемся в повседневной жизни. В древности сложилось мнение, что площадь – первичное понятие, не требующее опред-я. Однако, все вычисления, связанные с площадью, должны основываться либо на опред-ии, либо на св-вах, заменяющих это определение. Значит, мы должны ответить на 2 вопроса:
- что такое площадь?
- как измерять площадь фигуры?
$2 подхода к опред-ю понятия площади:
- конструктивный (Атанасян);
- аксиоматический (Шарыгин, Погорев, Смирновы)
1)конструктивный подход
Площадь фигуры F – это функция, заданная на классе всех квадрированных фигур и принимающая все числовые значения.
S(F) – число, полученное в результате измерения при условии, что единица измерения фиксирована.
Все основные св-ва док-ся:
– S(F)³0 для " квадрир.фигуры
– S(F) – инвариантна, т.е. площади равных фигур равны
– S(F) – аддитивна, т.е. площадь фигуры равна сумме площадей частей, на которые она разбита
– Единичный квадрат имеет площадь 1.
2)аксиоматический подход
Площадь фигуры S – это фун-я, заданная на классе всех квадрир. Фигур и удовлетворяющая след.усл-ям:
–S(F)³0;
–F1 = F2 Þ S(F1)= S(F2)
–F= F1 ÈF2, F1 и F2 не содержат общих внутр. точек Þ S(F)= S(F1)+ S(F2)
– So=1 ед2
Св-ва 1-4 при этом подходе не док-ся, а вводятся как аксиомы.
Этот подход имеет недостаток: понятие площади опирается на понятие квардрир. Фигуры, а оно, в свою очередь, на понятие площади фигуры.
Полная формулировка понятие площади:
1)Площадь определяется как фун-я, обладающая св-вами 1-4 для многоугольной фигуры.
2)Определяется класс квадрир.фигур
3)Площадь – фун-я со св-вами 1-4 на классе квадрир. Ф-р.
При аксиоматич. подходе нужно док-ть теорему: Ф-ция со св-ваи 1-4 сущ-ет и единственна.
Все остальные св-ва площади док-ся на основе определения.
ПР: Если фигура Q содержится в фигуре R, то площадь Q меньше площади R, т.е. QÌRÞS(Q)<S(R) – св-во монотонности.
2.
|
|
¯
S=a×h=a×bsin1=1/2d1×d2×sin2
¯
S=1/2(a+b)h ® S=1/2d1d2sina
¯
S=pR, p –полупериметр S=S1+S2+S3+S4
¯
Sкр=pR2; Sсек=1/2×a×R2; Sсек=1/2×R2(a-sina)
3. Мет-ка включения уч-ся в деятельность по получению знач-ий включ. d себя след-е:
1)вывод формул по готовым чертежам
Док-ть:
ABCD– параллелограмм
Дано: SADN=SABCD Док-ть: SABCD=SAMD
2) Главный результат проведения док-в – это развитие мыш-я. Уч-ся должны осознать, что они опираются на понятие площади и её св-ва и, как следствие, осознают, для чего делать из параллелограмма прямоуг, достраивать тр-к до параллелограмма и т.д. Можно достраивать тр-к до параллелограмма, а можно до прямоугольника.
дост-е перекраивание
3) Много задач можно и нужно переформулировать в теоремы.
l || AB;
SAC1B=SAC2B=SAC3B=…
S AOB=SCOD
ABCD – трапеция
Площ-дь круга. Чтобы выч-ть S круга, нужно допол-ть опред-е S фиг-ры. Фиг-ра Ф имеет пл-дь S, если $ сод-щие ее прост-е фигуры и сод-иеся в ней простые фигуры с площ-ми, как угодно мало отлич-ся от S.
Ф-круг; Ф1-прав.впис.многоуг.,Ф2-прав.опис.многоуг.. S1=nSAOB; S2=nSEOD;
SAOB=ACRcosa=1/2ABRcosa
Если n®¥, p®C=2pR;
Значит, S1®pR2; S2®pR2;
По введённому определению площади получаем, что площадь круга Sкр=pR2
Площадь сектора
a - центральный угол, который соответствует сектору.
|
Площадь сегмента
Sсег=Sсек-SD=
Отсюда, в частности, ®"a верно нер-во sina