Поверхности второго порядка
Понятие алгебраической поверхности
Определение. Алгебраической поверхностью называют множество точек 
пространства, координаты которых относительно некоторой аффинной системы координат удовлетворяют уравнению
, (1.1)
где 
- целая рациональная функция (многочлен) степени 
от переменных 
.
Степень называют порядком поверхности.
Если уравнение (1.1) не является алгебраическим, то поверхность называют трансцендентной.
Если 
, то поверхность первого порядка – плоскость:
.
Если 
, то общее уравнение поверхности второго порядка относительно некоторой аффинной системы координат записывают в виде
(1.2)
причем очевидно, что 
.
Первые шесть слагаемых уравнения (1.2) называют его старшими членами, а их коэффициенты – старшими коэффициентами.
Для изучения поверхностей используют так называемый метод параллельных сечений.
Определение. Сечениями называют линии пересечения плоскостей с поверхностью.
Для определения формы поверхности по ее уравнению проводят ряд равноотстоящих друг от друга секущих плоскостей, как правило, частного расположения относительно системы координат (плоскостей, параллельных координатным плоскостям). В таком случае сечения называют линиями уровня изучаемой поверхности. Далее линии уровня проецируют на соответствующие координатные плоскости – получают так называемую карту. По форме и расположению линий на карте делают вывод о форме изучаемой поверхности.
Цилиндрические поверхности
Пусть в некоторой аффинной системе координат заданы в плоскости 
некоторая линия 
уравнением
(2.1)
и некоторый ненулевой вектор 
: 
Определение. Множество всевозможных прямых, параллельных вектору 
и пересекающих линию , называют цилиндрической поверхностью.
Линию называют при этом направляющей поверхности, а параллельные прямые – образующими.
(
- образующая) 
.
Очевидно, что векторы 
и коллинеарны. Следовательно, справедливы соотношения
.
Отсюда имеем 
.
Рис. 1. Цилиндрическая поверхность.
Подставляя эти равенства в (2.1), получаем соотношение
. (2.2)
Этому равенству удовлетворяют координаты тех и только тех точек, которые лежат на поверхности 
. Следовательно, (2.2) – уравнение цилиндрической поверхности.
Теорема 2.1. Если образующие цилиндрической поверхности параллельны оси 
, то уравнение такой поверхности по внешнему виду совпадает с уравнением ее направляющей.
► Действительно, если 
, то 
. Тогда соотношение (2.2) равносильно уравнению
, (2.3)
которое по внешнему виду полностью совпадает с уравнением (2.1) направляющей . ◄
В связи с этим можно дать другое определение цилиндрической поверхности.
Определение. Алгебраическую поверхность называют цилиндрической, если в некоторой аффинной системе координат ее можно задать алгебраическим уравнением, не содержащим одну из координат.
Теорема 2.2. Сечения цилиндрической поверхности параллельными плоскостями, пересекающими ее образующие, принадлежат одному и тому же аффинному классу кривых, к которому принадлежит ее направляющая.
Определение. Цилиндрическую поверхность называют поверхностью второго порядка, если ее направляющей является линия второго порядка.
◊ Для каждого из девяти видов линий второго порядка существует цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными одной из координатных осей.
Примеры цилиндрических поверхностей второго порядка.
Рис. 2. Эллиптический цилиндр Рис. 3. Гиперболический цилиндр
Рис. 4. Параболический цилиндр 
Эллипсоид.
Определение. Множество точек пространства, координаты которых в некоторой прямоугольной декартовой системе координат удовлетворяют уравнению
, (3.1)
называют эллипсоидом.
Будем считать, что 
.
Из уравнения (3.1) следует, что если на эллипсоиде лежит точка 
, то на нем лежат и точки 
с любым набором знаков 
и 
. Это означает, что для поверхности (3.1) начало координат – точка 
– является ее центром симметрии и называется центром эллипсоида; оси координат являются осями симметрии и их называют главными осями; координатные плоскости являются плоскостями симметрии и называются главными плоскостями поверхности.
Если 
, то эллипсоид (3.1) называют трехосным.
Рассмотрим сечения поверхности (3.1) плоскостями, параллельными координатным плоскостям.
1) Сечения эллипсоида плоскостями 
определяются уравнениями
или 
(3.2)
а) Если 
, то система (3.2) действительных решений не имеет. Это означает, что плоскость в этом случае не пересекает поверхность (3.1).
б) Если 
, то система (3.2) имеет одно единственное решение 
при 
и одно единственное решение 
при 
.
Точки и пересечения поверхности (3.1) с осью называют вершинами эллипсоида.
в) Если 
, то уравнения (3.2) равносильны системе
(3.3)
Уравнения (3.3) определяют эллипс, расположенный в плоскости 
. Его центр находится в точке 
, оси параллельны координатным осям 
и 
. Длины полуосей
и 
изменяются от 
и 
до 
при изменении 
от до 
соответственно. Если 
, то сечением поверхности (3.1) является самый большой из эллипсов (3.3):
(3.4)
2) Сечения поверхности (3.1) плоскостями 
и 
рассматриваются совершенно аналогичным образом. При этом точки 
, 
и 
, 
пересечения эллипсоида с координатными осями и соответственно также называют вершинами эллипсоида.
Из приведенных выше рассуждений следует, что эллипсоид целиком расположен внутри параллелепипеда, вершины которого находятся в точках 
. Каждая грань этого параллелепипеда имеет с поверхностью (3.1) только одну общую точку – его вершину.
Приведенные рассуждения и сделанные при этом выводы позволяют получить представление о форме рассматриваемой поверхности (Рис. 5).
Рис. 5. Эллипсоид.
Если 
, то эллипсоид (3.1) называют вытянутым эллипсоидом вращения; он получается вращением эллипса 
вокруг его большой оси (Рис. 6).
Рис. 6. Вытянутый эллипсоид вращения.
Если 
, то эллипсоид (3.1) называют сжатым эллипсоидом вращения; он получается вращением эллипса 
вокруг его малой оси (Рис. 7).
Рис. 7. Сжатый эллипсоид вращения.
Если 
, то эллипсоид (3.1) является сферой радиуса 
с центром в начале координат (Рис.8).
Рис. 8. Сфера.