34. На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5 и 10 см соответственно. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет также и в кольцо, образованное построенными окружностями. Предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от ее расположения.
А={попадание точки в кольцо, образованное построенными окружностями}
Согласно геометрическому определению вероятности, Р(А) равна отношению площади кольца к площади большого круга:
Ответ: 0,75
35. В ящике содержится 12 деталей, изготовленных на заводе № 1, 20 деталей - на заводе №2 и 18 деталей - на заводе №3. Вероятность того, что деталь, изготовленная на заводе № 1, отличного качества, равна 0,9; для деталей, изготовленных на заводах № 2 и №3, эти вероятности соответственно равны 0,6 и 0,9. Найти вероятность того, что извлеченная наудачу деталь окажется отличного качества.
По формуле полной вероятности:
Ответ: 0,78
36. Для случайной величины 
, заданной плотностью распределения вероятности 
найдите значение параметра с, 
, 
, 
,
если a= 4, b=5, d=0.7.
Ответ: 
; 
; 
; 
37. Случайный вектор 
равномерно распределен в треугольнике ABC. Найдите плотность распределения вектора и ковариацию его координат.
| A | B | C |
| (1;3) | (2;3) | (1;5) |
Ответ: 
; 
38. Для случайной величины , заданной плотностью распределения вероятности найдите значение параметра с, , , если a= 4, b=5, d=0.7.
Ответ: ; ; ;
39. 4. Случайный вектор равномерно распределен в треугольнике ABC. Найдите условную плотность распределения 
.
| A | B | C |
| (1;3) | (2;3) | (1;5) |
Ответ:
40. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадает только один из стрелков.
p1 = 0,7 - вероятность попадания первого стрелка при одном выстреле
p2 = 0,8 - вероятность попадания второго стрелка при одном выстреле
А={при одном залпе в мишень попал только один из стрелков}
Ответ: 0,38
Численные методы
41. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа по таблице функции:
Запишем формулу для интерполяционного многочлена в форме Лагранжа:
Подставим в формулу табличные значения:
Ответ: интерполяционный многочлен Лагранжа имеет вид 
42. Локализовать корни уравнения 
и привести фрагмент программного кода на одном из универсальных языков программирования (C++, Pascal, Java и т. п.) для нахождения этих корней методом бисекций с точностью 
.
корень между нулем и единицей
43. Построить интерполяционный кубический сплайн 
по таблице функции: 
,
при граничных условиях 
, 
.
с0=0, с2=1
Обозначим: 
Формулы для вычисления коэффициентов сплайна:
Найдем коэффициенты сплайна:
Тогда
при х1=0
Ответ: 
44. Напишите фрагмент программного кода на одном из универсальных языков программирования (C++, Pascal, Java и т. п.) для приближенного вычисления интеграла 
методом парабол с разбивкой области интегрирования на 100 частичных отрезков.
45. Напишите фрагмент программного кода на одном из универсальных языков программирования (C++, Pascal, Java и т. п.) для численного решения задачи Коши 
методом Рунге-Кутта 4-го порядка на отрезке 
с шагом 
.
Const
n=20;
Var
k1,k2,k3,k4,x,y: array [0..n] of real;
h: real;
i: integer;
function f(x,y: real): real;
Begin
f:=(x*sin(y));
end;
Begin
h:=0.1;
y[0]:=1;
for i:=0 to n do
x[i]:=i*h;
for i:=0 to n-1 do
Begin
k1[i]:=f(x[i],y[i]);
k2[i]:=f(x[i]+h/2,y[i]+h*k1[i]/2);
k3[i]:=f(x[i]+h/2,y[i]+h*k2[i]/2);
k4[i]:=f(x[i]+h,y[i]+h*k3[i]);
y[i+1]:=y[i]+h/6*(k1[i]+2*k2[i]+2*k3[i]+k4[i]);
end;
for i:= 0 to n do
writeln('x[',i:2,'] = ',x[i]:0:1,' y[',i,'] = ',y[i]:0:4);
readln;
end.
Получили
x[ 0] = 0.0 y[0] = 1.0000
x[ 1] = 0.1 y[1] = 1.0042
x[ 2] = 0.2 y[2] = 1.0169
x[ 3] = 0.3 y[3] = 1.0383
x[ 4] = 0.4 y[4] = 1.0687
x[ 5] = 0.5 y[5] = 1.1086
x[ 6] = 0.6 y[6] = 1.1584
x[ 7] = 0.7 y[7] = 1.2187
x[ 8] = 0.8 y[8] = 1.2900
x[ 9] = 0.9 y[9] = 1.3725
x[10] = 1.0 y[10] = 1.4664
x[11] = 1.1 y[11] = 1.5712
x[12] = 1.2 y[12] = 1.6860
x[13] = 1.3 y[13] = 1.8089
x[14] = 1.4 y[14] = 1.9377
x[15] = 1.5 y[15] = 2.0692
x[16] = 1.6 y[16] = 2.2000
x[17] = 1.7 y[17] = 2.3268
x[18] = 1.8 y[18] = 2.4465
x[19] = 1.9 y[19] = 2.5567
x[20] = 2.0 y[20] = 2.6559