Первая формулировка принципа оптимальности: для получения оптимального решения многоэтапного процесса решение, принимаемое на отдельном этапе, должно быть оптимальным относительно состояния, в котором система оказалась к началу данного этапа, и не должно зависеть от решений на предыдущих этапах, которые привели систему в данное состояние.
Вторая формулировка принципа оптимальности: для аддитивного функционала любой участок оптимальной траектории оптимален.
Введем дополнительные функции: 
. Их экономический смысл: максимальные значения частных целевых функций 
, вычисляемых по укороченным наборам управляющих переменных 
- справедливо, так как в финальный момент времени изменений нет и экономическая эффективность равна 0.
Принцип оптимальности:
28. Риск, источники риска.
Риск – это любые изменения исхода.
Это сочетание вероятности и последствий наступления неблагоприятных событий.
В зависимости от объекта негативных воздействий можно выделить следующие виды риска: индивидуальный; социальный; технический; предпринимательский; стратегический; экологический.
Источником риска являются различные опасности. Соответственно по источнику воздействия различают риски:
· Природные (природа, включая космос);
· техногенные (техносфера);
· социальные (общество, биосфера);
· политические (государство, мировое сообщество);
· экономические (экономика, бизнес).
По своей методологической сущности управленческий риск - один из источников операционного риска.
29. Полнота и арбитраж.
Арбитраж – это возможность получить прибыль не рискуя.
Основная теорема финансовой математики. Для того, чтобы (B,S) – рынок был безарбитражным, необходимо и достаточно, чтобы множество мартингальных мер было не пусто.
(B,S)-рынок называют полным, если любое финансовое обязательство реплицируемо(осуществимо).С математической точки зрения, свойство полноты обеспечивает доступность всех фигурирующих активов и отсутствие ограничений для инвестирования в эти активы.
Теорема о связи полноты и мартингальности. Для того, чтобы безарбитражный (B,S) – рынок был полон, необходимо и достаточно чтобы множество мартингальных мер состояло из одного элемента.
30. Модель (B,S)-рынка, информационное дерево, пример дискретной и непрерывной модели.
(B,S) рынком называется объект, состоящий из последовательности строго положительных чисел 
и последовательностей строго положительных случайных величин 
k = 1.2…n, на конечном вероятностном пространстве.
В непрерывных моделях фигурирующие в них переменные непрерывны. Это касается и такой независимой переменной, как время tm
Для дискретных моделей переменные, в том числе и время, дискретны, то есть для них определено некоторое множество разрешенных значений (уровней), в частном случае их всего два
1. Дискретная модель 2. Комбинированная дискретно–непрерывная
31. Хеджирование как метод защиты от риска.
Хеджирование — открытие сделок на одном рынке для компенсации воздействия ценовых рисков равной, но противоположной позиции на другом рынке.
Хеджирование на повышение (хеджирование покупкой) представляет собой операцию по покупке срочных контрактов или опционов. Хедж на повышение применяется в тех случаях, когда необходимо застраховаться от возможного повышения цен (курсов) в будущем.
Хеджирование на понижение (хеджирование продажей) — это биржевая операция с продажей срочного контракта. Хеджер, осуществляющий хеджирование на понижение, предполагает совершить в будущем продажу товара, и поэтому, продавая на бирже срочный контракт или опцион, он страхует себя от возможного снижения цен в будущем.
Метод хеджирования рисков подразумевает под собой любые действия, обращенные на ограничение и уменьшение ценовых рисков. В ходе хеджирования применяются разного рода воздействия на балансовую структуру, осуществляется разработка защитной системы от рисков посредством заключения дополнительных сделок, что в совокупности дает возможность снижать финансовые потери в несколько раз. Различают несколько методов хеджирования рисков, направленных на защиту капиталов, отличие которых заключается в технике осуществления процесса минимизации денежных потерь.
Классическое (чистое) хеджирование
Хеджирование путём открытия противоположных позиций на рынке реального товара и фьючерсном рынке. Например, заключается контракт на поставку пшеницы. Но урожай ещё не вырос, есть риск сорвать контракт. Для минимизации рисков покупается опцион на поставку аналогичной партии пшеницы по аналогичной цене. Первый вид хеджирования, который применялся торговцами сельскохозяйственной продукцией в Чикаго (США).
Полное и частичное хеджирование
Полное хеджирование предполагает страхование рисков на фьючерсном рынке на полную сумму сделки. Данный вид хеджирования полностью исключает возможные потери, связанные с ценовыми рисками. Частичное хеджирование страхует только часть реальной сделки.
Предвосхищающее хеджирование
Предвосхищающее хеджирование предполагает покупку или продажу срочного контракта задолго до заключения сделки на рынке реального товара. В период между заключением сделки на срочном рынке и заключением сделки на рынке реального товара фьючерсный контракт служит заменителем реального договора на поставку товара. Также предвосхищающее хеджирование может применяться и путем покупки или продажи срочного поставочного товара и его последующее исполнение через биржу. Данный вид хеджирования наиболее часто встречается на рынке акций.
Селективное хеджирование
Селективное хеджирование характеризуется тем, что сделки на фьючерсном рынке и на рынке реальных товаров различаются по объему и времени заключения.
Перекрестное хеджирование
Перекрестное хеджирование характеризуется тем, что на фьючерсном рынке совершается операция с контрактом не на базовый актив рынка реального товара, а на другой финансовый инструмент. Например, на реальном рынке совершается операция с акцией, а на фьючерсном рынке с фьючерсом на биржевой индекс.
Хеджирование и рехеджирование опционов
Открытие позиций с активом, являющимся базовым для уже открытых позиций по опционам, с целью снижения ценового риска покупателя или продавца опционов. Такая общая позиция называется хеджированной покупкой или соответственно продажей опционов. Однако такое состояние не является постоянным. Изменение цен базового актива или цен опционов часто требует дополнительных корректирующих сделок по покупке или продаже базового актива с целью достижения нового хеджированного состояния — такие действия называются рехеджированием опционов.
32. Модель Марковитца для оптимизации структуры портфеля ценных бумаг как пример оптимизационной модели стохастического типа.
Суть теоремы Г. Марковица о существовании ГЭП сводится к тому, что из всего набора портфелей из n акций всегда можно найти такой, который будет иметь одновременно минимально возможный риск и максимально допустимую ожидаемую доходность.
X – начальный капитал. Данный капитал в начальный момент времени инвестор имеет возможность разместить по акциям 
Стоимость указанных акций в начальный момент времени 
Начальный капитал определяется:
число акций 
стоимостью 
33. Общие сведения о сетях.
Сеть – ориентированный конечный связанный граф, имеющий начальную и конечную вершины.
Основными особенностями сети является:
Сеть является ориентированной - то есть, у нее есть явно заданные начальное и конечное события.
Двигаться по этой сети можно только в одном направлении - к финишу.
Циклы (участки, по которым можно пройти несколько раз) запрещены.
Путь – любая последовательность работ в сетевом графике, в котором конечное событие каждой работы этой последовательности совпадает с начальным событием следующей за ней работой
Критический путь — путь, имеющий наибольшую продолжительность от исходного события до завершающего.
Кратчайший путь - это путь, имеющий наименьшую продолжительность от исходного события до завершающего.
34. Назначение и области применения сетевого планирования и управления.
(СПУ) - система планирования и управления разработкой крупных нар.-хоз. комплексов, научи, исследованиями, стр-вом, реконструкцией и т. д.; осн. на использовании сетевых моделей, в частности сетевых графиков, оптимизируемых при помощи ЭВМ. Позволяет определять оптим. (по времени, стоимости и др.) последовательность планируемых работ, устанавливать её взаимосвязь с полученными результатами, корректировать план. При использовании совр. техн. средств сбора, передачи, переработки и выдачи информации система СПУ превращается в разновидность автоматизированной системы управления.
Сущность СПУ состоит в составлении логико-математической модели управляемого объекта в виде сетевого графика (см. рис.) или модели, находящейся в памяти
Важный элемент разработки сетевого графика — определение продолжительности путей. На рис. пути представлены линиями, образуемыми стрелками взаимосвязанных работ, концы которых указывают на начальные и конечные события. Различают полные и критические пути: полным называется путь, начало которого совпадает с исходным событием сети, а конец — с её завершающим событием; критическим — путь, имеющий наибольшую продолжительность и характеризующий время выполнения всего комплекса работ, проекта в целом, т. е. время достижения конечной цели (на рис. обозначен жирными стрелками).
Критический путь расценивается как самый важный в системе СПУ, т. к. представляет собой основу для выбора оптимального плана и организации контроля за ходом работ. Отношение продолжительности любого пути к продолжительности критического пути характеризует степень его напряжённости. Если критический путь является наиболее продолжительным по времени от начального до конечного события, то все др. события и работы должны лежать на путях более коротких.
35. Порядок и правила построения сетевых графиков.
Правило 1. Сеть имеет только одно начальное событие и только одно конечное событие.
Правило 2. Сеть вычерчивается слева направо. Желательно, чтобы каждое событие с большим порядковым номером изображалось правее предыдущего. Для каждой работы (i–j) должно выполняться i<j. Общее направление стрелок, изображающих работы, также должно быть расположено слева направо, при этом каждая работа должна выходить из события с меньшим номером и входить в событие с большим номером.
Правило 3. Если в процессе выполнения работы начинается другая работа, использующая результат некоторой части первой работы, то первая работа разбивается на две: причем часть первой работы от начала (0) до выдачи промежуточного результата, т. е. начало второй работы и оставшаяся часть первой работы, выделяются как самостоятельные.
Правило 4. Если «n» работ начинаются и кончаются одними и теми же событиями, то для установления взаимно-однозначного соответствия между этими работами и кодами необходимо ввести (n-1) фиктивных работ. Они не имеют продолжительности во времени и вводятся в данном случае лишь для того, чтобы упомянутые работы имели разные коды.
Правило 5. В сети не должно быть событий, в которые не входит ни одной работы, кроме исходного события. Нарушение этого правила и появление в сети, кроме исходного, еще одного события, в которое не входит ни одной работы, означает либо ошибку при построении сетевого графика, либо отсутствие работы, результат которой необходим для начала работы.
Правило 6. В сети не должно быть событий, из которых не выходит ни одной работы, кроме завершающего события. Нарушение этого правила и появление в сети, кроме завершающего, еще одного события, из которого не выходит ни одной работы, означает либо ошибку при построении сетевого графика, либо планирование ненужной работы, результат которой никого не интересует.
Правило 7. События следует нумеровать так, чтобы номер начального события данной работы был меньше номера конечного события этой работы. Данная нумерация называется правильной и используется только она.
Правило 8. В цепи не должно быть замкнутого контура.
36. Временные параметры сетевой модели.