Определение функции, ее свойства.
Определение 1. Переменная величина y называется функцией переменной величины x, если каждому значению переменной x из некоторой области D по определенному закону f ставится в соответствие единственное значение переменной y из области E.
В этом случае записывают 
. Переменная x называется независимой переменной или аргументом, y - зависимой переменной или функцией, f - характеристикой функции.
Определение 2. Множество D значений x, при которых функция определена, называется областью определения функции и обозначается 
или 
, множество E значений, которые принимает функция y, называется областью изменения функции и обозначается 
.
Если функция обозначена через f(x), то через f(x0) обозначают то значение функции, которое соответствует значению аргумента х0. Для обозначения характеристики функциональной зависимости используют различные буквы и символы: sin, lg, arccos,lntg4 и т.д.
Пример 1. a) функция 
имеет своей областью определения множество значений 
.
б) областью изменения функции 
является отрезок 
, то есть 
.
Существует три основных способа задания функций.
1) Аналитический (зависимость между переменными определяется с помощью формулы, в качестве примера приведем формулу 
).
2) Табличный (соответствующие значения аргумента и функции вносятся в таблицу, примером табличного задания функций могут служить таблицы тригонометрических функций, таблицы логарифмов и так далее).
3) Графический (соответствие между переменными x и y задается посредством графика). Графический способ задания нашел широкое применение в различных самопишущих технических приборах.
Элементарные функции.
К основным элементарным функциям относятся:
1) константная функция 
, 
;
2) степенная функция 
, х >0 (
- вещественное число);
3) показательная функция 
, 
;
4) логарифмическая функция 
, 
;
5) тригонометрические функции: 
, 
, 
, 
;
6) обратные тригонометрические функции: 
, 
, 
, 
.
Определение 3. Класс элементарных функций составляют все функции, полученные из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических действий, а также суперпозицией (наложением) функций. Например,
; 
.
Таким образом, функция считается заданной, если указано правило, следуя которому для каждого заданного значения аргумента можно найти соответствующее значение функции.
Определение 4. Функция f(x) называется возрастающей, если из 
. Функция f(x) называется строго возрастающей, если из 
.Функция f(x) называется убывающей, если из 
. Функция f(x) называется строго убывающей, если из 
. Возрастающие и убывающие функции называются монотонными функциями, строго возрастающие и строго убывающие функции называются строго монотонными функциями.
Предел функции в точке.
Пусть функция 
определена в некоторой окрестности точки 
, за исключением, быть может, самой этой точки.
Определение. Число А называется пределом функции 
в точке , если для любого числа 
существует зависящее от него число 
такое, что для всех 
, 
, удовлетворяющих неравенству 
, выполняется 
.
Обозначение: 
или 
при 
. (2)
Замечание 1. Используя символы математической логики, можно записать:
.
Замечание 2. Второе определение называют также определением «на языке 
» (определением по Коши).
Предел функции на бесконечности. Односторонние пределы.
Определение предела может быть обобщено на случай, когда 
неограниченно возрастает (соответственно убывает), в предположении, что область определения функции не ограничена. Это позволяет выяснить характер поведения функции на бесконечности.
Определение 3. Число А называется пределом функции при 
, (
), если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента, члены 
которой положительны (отрицательны), соответствующая последовательность значений функции сходится к А.
Определение 4. Пусть область определения функции не ограничена сверху (снизу). Число А называется пределом функции при , (), если для любого существует такое 
, что для всех 
(
) выполняется 
.
Обозначение: 
(
). (3)
Иногда важно знать поведение функции справа (соответственно слева) от точки 
, так что целесообразно ввести следующие определения.
Определение 5. Число А называется правосторонним (левосторонним) пределом функции в точке , если для любой сходящейся к последовательности 
, члены которой больше (меньше) , соответствующая последовательность значений функции 
сходится к числу А.
Обозначение: 
(
). (4)
Замечание. Запись 
(
) означает, что аргумент стремится к справа (слева), то есть оставаясь все время больше (меньше) .
Определение 6. Число А называется правосторонним (левосторонним) пределом функции в точке , если любого числа существует число такое, что для всех , удовлетворяющих неравенству 
(
), выполняется .
Левосторонний и правосторонний пределы функции в точке называются односторонними пределами.