Методика расчета цепи методом контурных токов

В методе контурных токов за неизвестные величины принимаются расчетные (контурные) токи, которые якобы протекают в каждом из независимых контуров. Таким образом, количество неизвестных токов и уравнений в системе равно числу независимых контуров цепи.

Расчет токов ветвей по методу контурных токов выполняют в следующем порядке:

1 Вычерчиваем принципиальную схему цепи и обозначаем все элементы.

2 Определяем все независимые контуры.

3 Произвольно задаемся направлением протекания контурных токов в каждом из независимых контуров (по часовой стрелке или против). Обозначаем эти токи. Для нумерации контурных токов можно использовать арабские сдвоенные цифры (I11, I22, I33 и т. д.) или римские цифры.

4 По второму закону Кирхгофа, относительно контурных токов, составляем уравнения для всех независимых контуров. При записи равенства считать, что направление обхода контура, для которого составляется уравнение, совпадает с направлением контурного тока данного контура. Следует учитывать и тот факт, что в смежных ветвях, принадлежащих двум контурам, протекают два контурных тока. Падение напряжения на потребителях в таких ветвях надо брать от каждого тока в отдельности.

5 Решаем любым методом полученную систему относительно контурных токов и определяем их.

6 Произвольно задаемся направлением реальных токов всех ветвей и обозначаем их. Маркировать реальные токи надо таким образом, чтобы не путать с контурными. Для нумерации реальных токов можно использовать одиночные арабские цифры (I1, I2, I3 и т. д.).

7 Переходим от контурных токов к реальным, считая, что реальный ток ветви равен алгебраической сумме контурных токов, протекающих по данной ветви.

При алгебраическом суммировании без изменения знака берется контурный ток, направление которого совпадает с принятым направлением реального тока ветви. В противном случае контурный ток умножается на мин

Метод контурных токов можно применить для расчета сложных электриче­ских цепей, имеющих больше двух узловых точек. Сущность метода контурных токов заключается в предположении, что в ка­ждом контуре проходит свой ток (контурный ток). Тогда на общих участках, расположенных на границе двух соседних контуров, будет протекать ток, равный алгебраической сумме токов этих контуров.

Метод узловых потенциалов (напряжений). Методом узловых потенциалов составляются и решаются уравнения только первого закона Кирхгофа. Все источники ЭДС преобразуются в эквивалентные источники тока. Метод эффективно используется тогда, когда мало узлов, но много ветвей. Если число уравнений первого закона Кирхгофа меньше числа уравнений второго закона Кирхгофа, то этот метод эффективен.

Найдем токи ветвей (рис. 1.14), считая известными потенциалы узлов и проводимости ветвей:

Составим уравнения первого закона Кирхгофа:

В полученные уравнения подставим заранее найденные токи:

(1.11)

Из уравнений (1.11) сформируем уравнения узловых потенциалов:

(1.12)

Обозначим коэффициент при потенциале первого уравнения системы (1.12) , а коэффициент при второго уравнения - и назовем их узловыми проводимостями.

Из уравнений (1.12) видно, что узловые проводимости состоят из суммы проводимостей всех ветвей, принадлежащих узлу.

Остальные коэффициенты уравнений (1.12) называют межузловыми проводимостями и обозначают: и .

Узловые токи источников тока , равны соответственно правым частям уравнений (1.12).

С учетом введенных обозначений уравнения (1.12) примут вид:

(1.13)

Метод узловых потенциалов, как и метод контурных токов, требует совместного решения меньшего числа независимых уравнений по сравнению с методом узловых и контурных уравнений (применением двух законов Кирхгофа), что сокращает расчеты. Он основан на применении первого закона Кирхгофа.

Для расчета токов методом узловых потенциалов, кроме первого закона Кирхгофа, применяется обобщенный закон Ома.

8. Метод суперпозиции. Воздействие нескольких источников, на какой либо элемент цепи можно рассматривать как результат воздействия на этот элемент каждого из источников в отдельности независимо от других: то есть ток в любой ветви рассматривают как результат наложения токов, получающихся от отдельных источников, действующих независимо друг от друга.

Метод суперпозиции. Источник ЭДС Е₂ заменяется его внутренним сопротивлением (в рассматриваемой задаче приняты идеальные источники ЭДС, то есть их внутренние сопротивления равны 0)

Принцип наложения формулируется следующим образом: ток в k -ветви равен алгебраической сумме токов, вызываемых каждой из ЭДС схемы в отдельности. Этот принцип справедлив для всех линейных электрических цепей.

Принцип наложения положен в основу метода расчета, получившего название метода наложения.

При расчете цепей данным методом поступают следующим образом: поочередно рассчитывают токи, возникающие от действия каждой из ЭДС, мысленно удаляя остальные из схемы, но оставляя в схеме внутренние сопротивления источников, и затем находят токи в ветвях путем алгебраического сложения частичных токов. Заметим, что методом наложения нельзя пользоваться для подсчета выделяемых всопротивлениях мощностей как суммы мощностей от частичных токов, поскольку мощность является квадратичной функцией тока (Р = RI²).

9. Метод эквивалентного генератора. Если в электрической цепи необходимо определить ток только в одной из ветвей, то используют метод эквивалентного генератора. Метод основан на теореме о двухполюснике, в соответствии с которой любой активный двухполюсник можно представить реальным источником ЭДС.

Если в любой электрической цепи выделить черный ящик А (рис. 1.15) и назвать его активным двухполюсником (рис. 1.16), для которого , то найти этот ток не представляет труда.

Докажем теорему об активном двухполюснике. Для этого в выделенную ветвь введем два последовательно включенных источника Е (рис. 1.17). При этом в схеме ничего не изменится, так как эти одинаковые источники включены встречно.

Далее применим метод наложения и представим схему (рис. 1.17) двумя схемами (рис. 1.18). В цепи (рис 1.17) выбрано значение ЭДС Е таким, что а это возможно только в том случае, если Е = Е_Г, тогда в соответствии с принципом наложения , т.е. истинный ток будет равен: , или после вычислений:

.

Таким образом, любой активный двухполюсник можно заменить последовательно соединенными и Е_Г. Для того чтобы определить и достаточно проделать опыт холостого хода и короткого замыкания.

Холостой ход: .

Режим короткого замыкания: .

10. Энергетический баланс в электрических цепях. При протекании токов по сопротивлениям в последних выделяется теплота. На основании закона сохранения энергии количество теплоты, вы-деляющееся в единицу времени в сопротивлениях схемы, должно равняться энергии, доставляемой за то же время источником питания. Если направление тока I, протекающего через источник ЭДС E, совпадает с направлением ЭДС, то источник ЭДС доставляет в цепь энергию в единицу времени (мощность), равную EI, и произведение EI входит в уравнение энергетического баланса с положительным знаком.
Если же направление тока I встречно направлению ЭДС Е, то источник ЭДС не поставляет энергию, а потребляет ее (например, заряжается аккумулятор), и произведение EI войдет в уравнение энергетического баланса с отрицательным знаком.
Уравнение энергетического баланса при питании только от источников ЭДС имеет вид

Когда схема питается не только от источников ЭДС, но и от источников тока, т. е. к отдельным узлам схемы подтекают и от них утекают токи источников тока, при составлении уравнения энерге-тического баланса необходимо учесть и энергию, доставляемую источниками тока. Допустим, что к узлу а схемы подтекает ток I от источника тока, а от узла b этот ток утекает. Доставляемая источником тока мощность равна U_abJ. Напряжение U_ab и токи в ветвях схемы должны быть подсчитаны с учетом тока, подтекающего от источника тока. Последнее проще всего сделать по методу узловых потенциалов (см. § 2.22). Общий вид уравнения энергетического баланса:

Для практических расчетов электрических цепей разработаны методы, более экономичные в смысле затраты времени и труда, чем метод расчета цепей по законам Кирхгофа. Рассмотрим эти методы.

11.Режимы работы электрической цепи Известно, что электрическая цепь – это совокупность определённых устройств, которые обеспечивают постоянное, непрерывное прохождение электрического тока. Работа цепи невозможна, если в ней отсутствуют какие-либо элементы; в обязательном порядке должны присутствовать как источники энергии, так и её проводники, а приёмники, как правило, - это основные устройства, образующие данную цепь. Выделяют три основных режима работы: нагрузочный (или согласованный), режим короткого замыкания, а также режим холостого хода. Они отличаются друг от друга нагрузкой на электрическую цепь. Нагрузочный, или согласованный режим работы. Если к источнику энергии в электрической цепи подключается какой-либо приёмник, то он обладает неким сопротивлением. Таким приёмником может быть любое устройство, например электрическая лампочка. Если есть напряжение, то действует закон Ома, таким образом, ЭДС источника получается из суммы напряжений внешнего участка цепи и на внутреннем сопротивлении источника. Падение напряжение во внешней цепи будет равным напряжению на зажимах источника. Оно зависит от нагрузочного тока: чем меньше сопротивление нагрузки, тем больше ток и, соответственно, меньше напряжение на зажимах источника питания цепи. Другими словами можно сказать, что нагрузочный или согласованный режим работы представляет собой режим, при котором происходит передача нагрузки повышенной мощности от источника. В этом режиме сопротивление нагрузки равно внутреннему сопротивлению источника, при этом расходуется максимальная мощность. Однако, такой режим не рекомендуется использовать, так как при длительном превышении номинальных значений устройства могут выйти из строя. Режим работы холостого хода. Этот режим работы электрической цепи характеризует разомкнутое её состояние – ток отсутствует, и все элементы отключены от источника питания. В таком состоянии цепи внутреннее падение напряжение равно нулю, а напряжение на зажимах источника питание совпадает с ЭДС источника. Т. е., можно сказать, что режим холостого хода характеризует электрическую цепь, когда она находится в разомкнутом состоянии, а сопротивление нагрузки отсутствует полностью или отключено. Такое состояние цепи можно использовать для измерения ЭДС источника питания. Режим короткого замыкания. Этот режим работы считается аварийным, электрическая цепь не может работать нормально. Короткое замыкание возникает при соединении двух различных точек цепи, разница потенциалов которых отличается. Такое состояние не предусмотрено изготовителем устройства и нарушает его нормальную работу.

В этом режиме работы зажимы источника энергии замкнуты проводником («закорочены»), при этом его сопротивление близко к нулю. Часто, короткое замыкание происходит в тех случаях, когда соединяются два провода, которые связывают между собой источник и приёмник в цепи, как правило, их сопротивление незначительно, так что его можно назвать нулевым. При возникновении режима короткого замыкания, ток в цепи значительно превышает номинальные значения (из-за отсутствия сопротивления). Это может привести в непригодное состояние источник энергии и приёмники в электрической цепи. В некоторых случаях это является результатом неправильных действий со стороны персонала, работающего с электротехническим оборудованием.

12. Синусоидальный ток и основные характеризующие его величины. Синусоидальным током называют ток, изменяющийся во времени по синусоидальному закону (рис. 2.1):

Ток i(t) называют мгновенным. Максимальное значение тока называют амплитудой и обозначают . Период – это время, за которое совершается одно полное колебание. Частота равна числу колебаний в секунду , единица частоты - герц (Гц).

Угловая частота , единица угловой частоты рад/с или . Аргумент синуса, т.е. , называют фазой. Фаза характеризует состояние колебания в данный момент времени .

Начальная фаза тока - .