Прямая, проходящая через две точки окружности, называется секущей, а ее отрезок, лежащий внутри окружности, - хордой. Хорда – это отрезок, соединяющий 2 точки окружности. Хорда, проходящая через центр окружности, точку О, называется диаметром. Диаметр равен двум радиусам. Для изображения окружности на чертеже пользуются циркулем.

2. (п. 34) Свойства прямоугольных треугольников:

1⁰. Сумма двух острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90⁰.

Доказательство: В самом деле, сумма углов треугольника равна 180⁰, а т.к. прямой угол = 90⁰, то сумма двух других углов в треугольнике = 90⁰.

2⁰. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30⁰, равен половине гипотенузы.

Доказательство: Пусть в прямоугольном ∆АСВ ∠В = 30°. Тогда другой его острый угол будет равен 60°. Докажем, что катет АС равен половине гипотенузы АВ.

Продолжим катет АС за вершину прямого угла С и отложим отрезок СМ, равный отрезку АС. Точку М соединим с точкой В. Полученный треугольник ВСМ равен треугольнику АСВ. Мы видим, что каждый угол треугольника АВМ равен 60°, следовательно, этот треугольник – равносторонний. Катет АС равен половине AM, а так как AM равняется АВ, то катет АС будет равен половине гипотенузы АВ. Ч.т.д.

3⁰. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30⁰.

Главная Избранное Популярное Новые добавления Случайная статья Теорема: Вертикальные углы равны. Доказательство: ∠1 + ∠2 = 1800 (смежные), ∠3 + ∠2 = 1800 (смежные), → ∠1 = ∠3. Ч.т.д. 3. В равнобедренном ∆АВС с основанием АС = 37см, внешний угол при вершине В равен 600. Найти расстояние от вершины С до прямой АВ. Дано: ∆АВС – равнобед., внешний ∠НВС = 600, АС = 37см, СН АВ (т.к. это расстояние). Найти: длину СН. Решение: По свойству внешнего угла ∠НВС = ∠А + ∠С = 600. А т.к. ∆АВС – равнобед., то ∠А = ∠С = 600/2 = 300 (углы при основании). В прямоугольном треугольнике АНС, ∠А = 300, значит катет лежащий напротив него равен половине гипотенузы, т.е. Ответ: СН = 18,5см.

Билет. 19 1.Как построить треугольник по трем сторонам. Смотри презентацию, слайд 8.Задача имеет решение только когда выполняется неравенство треугольника, т.е. сумма двух любых сторон должна быть больше третьей стороны. 2. (п.32) В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Дано: ∆АВС, АВ > АС. Доказать, что ∠С > ∠В Доказательство: Отложим на стороне АВ отрезок AD= АС. Так как AD < АВ, то точка D лежит между точками А и В. Следовательно, ∠1 является частью ∠С и, значит, ∠C > ∠1. Угол 2 – внешний угол ∆BDC, поэтому ∠2 > ∠В. ∠1 = ∠2 как углы при основании равнобедренного треугольника ADC. Таким образом, ∠С > ∠1, ∠1 = ∠2, ∠2 > ∠B. Отсюда следует, что ∠С > ∠В. Ч.т.д. 3.Основание равнобедренного треугольника равно 8см. Медиана, проведенная к боковой стороне разбивает треугольник на два треугольника так, что периметр одного треугольника на 2см больше периметра другого. Найти боковую сторону данного треугольника. Решение:

Билет. 20 1.Как построить биссектрису данного угла. Смотри презентацию, слайд 4. 2. (п.18) В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой. Дано: ∆АВС, АВ = ВС, ВО АС (высота). Доказать, что ВО – медиана и биссектриса. Доказательство: Рассмотрим∆ABO и ∆CBO. У них:AB = BC (по условию), ∠A = ∠С = х (углы при основании в равноб. ∆), ∠AВО = ∠СВО = 900 – х (по теореме о сумме углов в ∆). Значит эти треугольники равны по 2 признаку. Следовательно, AO = OС, а значит BO – медиана. Далее, ∠AВО = ∠СВО = 900 – х, значит BO – биссектриса. Ч.т.д.   3. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С внешний угол при вершине А равен 1200, АС + АВ = 18см. Найти АС и АВ. Решение: В ∆АВС: ∠А = 1800 – 1200 = 600 (смежные). ∠В = 1800 – 900 – 600 = 300 (по теореме о сумме углов в ∆). Следовательно, катет лежащий напротив ∠В равен половине гипотенузы, т.е. или АВ = 2 АС. По условию АС + АВ = 18см, значит АС + 2АС = 18см. Отсюда 3АС = 18см, АС = 6см. Тогда АВ = 2АС = 2*6 = 12см. Ответ: АС = 6см, ВС = 12см.

Билет. 21 1.Как построить середину отрезка. Смотри презентацию, слайд 7. 2. (п.25) Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 1800, то прямые параллельны. Дано: прямые а и b, с – секущая, односторонние углы ∠1 + ∠4 = 1800. Доказать, что а || b Доказательство: ∠1 + ∠4 = 1800 (по условию), ∠3 + ∠4 = 1800 (смежные), следовательно ∠1 = ∠3, а это накрест лежащие углы, поэтому а || b. Ч.т.д. 3. В треугольниках АВС и МКЕ отрезки СО и ЕН медианы, ВС = КЕ, ∠В = ∠К и ∠С = ∠Е. Доказать, что ∆АСО = ∆МЕН. Доказательство: По условию: ВС = КЕ, ∠В = ∠К и ∠С = ∠Е, значит, ∆АВС = ∆МКЕ (по 2 признаку). Следовательно у этих треугольников равны соответственные стороны и углы, т.е. АВ = МК, а значит и АО = МН, ∠А = ∠М и АС = МЕ. Тогда ∆АСО = ∆МЕН (по 1 признаку).

Билет. 22 1. (п. 21) Окружность – геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от одной ее точки (центра). Равные отрезки, соединяющие центр с любой точкой окружности, называются радиусами. Любые 2 точки окружности делят её на 2 части. Каждая из этих частей называется дугойокружности. Круг – часть плоскости, лежащая внутри окружности.

3. Найти все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, если один из них равен 42⁰.

Решение: Пусть а ǀǀ b, с – секущая, ∠1 = 42⁰. Тогда ∠3 = ∠1 = 42⁰ (вертикальные),

∠5 = ∠3 = 42⁰ (накрест лежащие), ∠7 = ∠5 = 42⁰ (вертикальные), ∠8 и ∠7 смежные, значит ∠8 = 180⁰ – ∠7 = 180⁰ – 42⁰ = 138⁰, ∠6 = ∠8 = 138⁰ (вертикальные),

∠2 = ∠6 = 138⁰ (соответственные), ∠4 = ∠2 = 138⁰ (вертикальные).

2. (п.32) В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Дано: ∆АВС, ∠С > ∠В. Доказать, что АВ > АС. Доказательство: Предположим, что это не так. Тогда либо АВ = АС, либо АВ < АС. В первом случае получаем, что ∆АВС – равнобедренный, а значит углы при основании равны, т.е. ∠С=∠В, а это противоречит условию, что ∠С > ∠В. Во втором случае получаем, что ∠С < ∠В (т.к. против большей стороны лежит больший угол). Это тоже противоречит условию. Значит, наше предположение неверно, и, следовательно, АВ > АС. Ч.т.д.

3. Найдите углы при основании МР равнобедренного ∆МОР, если МК – его биссектриса и ∠ОКМ = 96⁰.

Решение: ∠РКМ = 180⁰ – 96⁰ = 84⁰ (смежный с ∠ОКМ).

Пусть ∠КРМ = х, тогда ∠КМР = 0,5 х, т.к. МК – биссектриса и ∠М = ∠Р (углы при основании в равноб. ∆). По теореме о сумме углов в ∆МКР:

х + 0,5 х + 84⁰ = 180⁰. Отсюда, 1,5 х = 96⁰, х = 64⁰.

Ответ: углы при основании равны 64⁰.

1. (п. 14) Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, соединенных отрезками. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки – его сторонами. Виды треугольников: 2. (п.25) Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. Дано: прямые а и b, с – секущая, соответственные углы ∠1 = ∠2. Доказать, что а || b Доказательство: ∠1 = ∠2 (по условию), ∠2 = ∠3 (вертикальные), следовательно ∠1 = ∠3, а это накрест лежащие углы, поэтому а || b. Ч.т.д.

3. В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 25см, а другая 10см. Какая из них является основанием?

Решение: В треугольнике каждая сторона должна быть меньше суммы двух других. Тогда, если основание равно 10 см, то каждая сторона удовлетворяет такому условию. Но если основание равно 25 см, то 25 см > 10 см + 10 см - это не верно. Значит, есть только одно правильное решение.

Ответ: основание равно 10 см.

1. (п. 31) Прямоугольный треугольник – это треугольник, у которого один угол прямой, т.е. равен 900. Сторона, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны - катетами. Гипотенуза всегда большего любого из катетов, т.к. лежит напротив большего угла в треугольнике.   2. (п. 30) Сумма углов в треугольнике 1800. Дано: ∆АВС. Доказать, что ∠А+∠В+∠С = 1800. Доказательство: Проведем через вершину В прямую а, параллельную стороне АС Очевидно, что сумма углов 4, 2 и 5 равна развернутому углу с вершиной В, т. е. ∠4 + ∠2 + ∠5 = 180° (*). Углы 1 и 4 являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых а и АС секущей АВ, а углы 3 и 5 – накрест лежащими углами при пересечении тех же параллельных прямых секущей ВС. Поэтому ∠4 = ∠1 = ∠А, ∠5 = ∠3 = ∠С. Отсюда, учитывая равенство (*), получаем: ∠l + ∠2 + ∠3 = 180°, или ∠A + ∠B + ∠C = 180°. Ч.т.д.

3. Прямые АВ и СД пересекаются в точке О, ∠AОС = 58⁰. Найдите ∠ВОД.

Решение: ∠ВОД = ∠AОС = 58⁰, т.к. они вертикальные.

Поиск по сайту: