Площадь треугольника (параллелограмма)
Векторным произведением вектора 
на вектор 
называется третий вектор 
определяемый следующим образом:длина его равна площади параллелограмма, построенного на векторах и , т.е. 
, где 
– угол между векторами и ;
S =1/2 ab sin γ.
12. Объем параллелепипеда (пирамиды). Модуль векторного произведения равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. labcl=V парал.
1/6labcl=V пирамиды
13. Каждый не равный нулю вектор, лежащий на данной прямой или параллельный ей, называется направляющим вектором этой прямой.
14. Необходимое и достаточное условие -параллельности двух прямых состоит в равенстве их угловых коэф: k1 = k2.
-перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.
15. Условие параллельности двух плоскостей.
Две плоскости α 1 и α 2 параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы 
и 
параллельны, а значит 
.
Итак, две плоскости параллельны друг другу тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих координатах пропорциональны:
или 
Условие перпендикулярности плоскостей.
Ясно, что две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы перпендикулярны, а следовательно, 
или 
.
Таким образом, 
.
Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости
Рассмотрим прямую L: 
и плоскость α: Ax+By+Cz+D=0.
Прямая L и плоскость α:
а) перпендикулярны друг другу тогда и только тогда, когда направляющий вектор 
прямой и нормальный вектор 
плоскости коллинеарны,
т. е. 
б) параллельны друг другу тогда и только тогда, когда векторы 
и 
перпендикулярны, т. е. 
и Am + Bn + Ср = 0.
Уравнение линии на плоскости.
Определение. Уравнением линии (или кривой) на плоскости Оху называется такое уравнение F(x;y) = 0 с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты x и у каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.
18. Уравнение прямой на плоскости.
Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе координат удовлетворяют уравнению:
F(x, y, z) = 0.
19. Поверхностью второго порядка называется поверхность, определяемая уравнением
где 
-- вещественные числа, причем хотя бы одно из чисел 
отлично от нуля.
Эллипсоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид 
Однополостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид 
Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид 
Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид 
Поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат задается уравнением 
называется эллиптическим цилиндром.
Поверхность, которая задается уравнением
называется гиперболическим цилиндром; а которая задается уравнением 
называется параболическим цилиндром.
20. Для раскрытия неопределённостей типа 
используется следующий алгоритм:
1. Выявление старшей степени переменной;
2. Деление на эту переменную как числителя, так и знаменателя.
Для раскрытия неопределённостей типа 
существует следующий алгоритм:
1. Разложение на множители числителя и знаменателя;
2. Сокращение дроби.
Для раскрытия неопределённостей типа 
иногда удобно применить следующее преобразование:
Пусть 
и 
21. Если 
, 
или 
, то говорят, что предел бесконечен.
Условная запись 
обозначает, что для любого E > 0 справедливо неравенство:
|f(x)| > E, если только 0 < |x - a| < δ (E).
22. Символы Ландау. «O» большое и «o» малое (O и o) — математические обозначения для сравнения асимптотического поведения функций. Используются в различных разделах математики, но активнее всего — в математическом анализе, теории чисел и комбинаторике, а также при оценке сложности алгоритмов. В частности, фраза «сложность алгоритма есть O(n!)» означает, что при больших n время работы алгоритма (или общее количество операций) не более чем C · n!, где C — некая положительная константа (обычно в качестве параметра n берут объём входной информации алгоритма).
Пусть f(x) и g(x) — две функции, определенные в некоторой проколотой окрестности точки x0, причем в этой окрестности g не обращается в ноль. Говорят, что:
f является «O» большим от g при 
, если существует такая константа C > 0, что для всех x из некоторой окрестности точки x0 имеет место неравенство 
;
f является «о» малым от g при 
, если для любого ε > 0 найдется такая проколотая окрестность 
точки x0, что для всех 
имеет место неравенство 
Иначе говоря, в первом случае отношение | f | / | g | в окрестности точки x0 ограничено сверху, а во втором оно стремится к нулю при .
27. Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество n столбцов.
28. Строки (столбцы) матрицы называются линейно зависимыми, если существует их линейная комбинация, не все коэффициенты в которой равны 0, равная нулевой строке (столбцу).
23. Таблица производных
24. Производные высоких порядков (примеры).
1. Найти вторую производную функции y = x4
Р е ш е н и е: Имеем y' = (x4)' = 4x3
далее: y'' = (y')' = (4x3)' = 12x2
2. Найти вторую производную функции y = 3cos(x)
Р е ш е н и е: Имеем y' = (3cos(x))' = -3sin(x)
далее: y'' = (y')' = (-3sin(x))' = -3cos(x)
25.Дифференциалом n -го порядка функции f называется дифференциал от дифференциала (n - 1)-го порядка этой же функции. Таким образом,
dnf (x) = d (dn -1 f (x)), d 0 f (x) = f (x), n ϵ N.
Если x - независимая переменная, то
dx = const и d 2 x = d 3 x =... = dnx = 0.
В этом случае справедлива формула
dnf (x) = f (n)(x)(dx) n.
26. Разложения по формуле Маклорена 
Каждая матрица представляет собой совокупность векторов (одного и того же пространства). Две такие матрицы — две совокупности. Если каждый вектор одной совокупности линейно выражается через векторы другой совокупности, то на языке теории матриц этот факт описывается при помощи произведения матриц:
если строки матрицы C линейно зависят от строк матрицы B, то C = AB для некоторой матрицы A;
если столбцы матрицы C линейно зависят от столбцов другой матрицы A, то C = AB для некоторой матрицы B.
29 Фундаментальная система решений (ФСР) представляет собой набор линейно независимых решений однородной системы уравнений
30. Пусть Â: Xn → Xn — линейный оператор.
Вещественное число λ называется собственным значением оператора Â, если существует ненулевой вектор x ε Xn такой, что Â x = λ x.
Вектор x называется собственным вектором оператора Â, соответствующим собственному значению λ.
Замечание. Из определения следует, что образ собственного вектора коллинеарен его прообразу.