На рисунке 1.18 изображена схема последовательного контура с реактивными элементами L и С и активным сопротивлением R, характеризующим потери в контуре.
Рисунок 1.18 – Последовательный колебательный контур
Приложим к контуру гармоническое напряжение с частотой w.Комплексное входное сопротивление контура на данной частоте определяется согласно уравнению:
= R + jX = R + j(w L - 1 /w C). (1.81)
Фазовый сдвиг между током и приложенным напряжением
j = arctg 
= arctg X / R. (1.82)
При резонансе j = 0, что возможно, если X = w L – ( 1 /w C) = 0. Отсюда получаем уравнение резонансной частоты w0:
w = w0 = 
. (1.83)
На резонансной частоте комплексное сопротивление носит чисто активный характер, т. е. = R, ток совпадает по фазе с приложенным напряжением и достигает максимального значения 
. Реактивные сопротивления контура на резонансной частоте w0 будут равны друг другу:
XL 0 = XC 0 = w 0 L = 1/(w 0C) = 
= r. (1.84)
Величина r носит название волнового (характеристического) сопротивления контура. Резонансные свойства контура характеризуются добротностью контура: Q = r /R.
Найдем отношение действующих значений напряжений на реактивных элементах (L и С) к действующему значению приложенного напряжения при резонансе:
UL 0 /U = UC 0 /U = (I 0w0 L) / U = I 0/(w0 CU) = r/ R = Q. (1.85)
Таким образом, добротность Q показывает, во сколько раз резонансные напряжения на реактивных элементах превышают приложенное напряжение. Отсюда следует и термин «резонанс напряжений». Энергия источника расходуется только на покрытие тепловых потерь в элементе активного сопротивления R; реактивная мощность при резонансе не потребляется.
Анализируя характер уравнений напряжений и токов в RLC–цепи, фазовых сдвигов между ними при гармоническом воздействии, видно, что они являются частотно-зависимыми. Эта зависимость вытекает непосредственно из зависимости сопротивлений реактивных элементов ХL и ХC от частоты w. На рисунке 1.19 изображены зависимости ХL(w), ХC(w), Z(w), j (w), определяемые формулами:
ХL (w) = w L; ХC (w) = 1/(w C); Х (w) = w L – 1/w C; (1.86)
; (1.87)
j (w) = arctg{ [wL - 1/(wC)]/R}. (1.88)
Зависимости ХL (w), ХC (w), X (w), Z (w) носят название частотных характеристик параметров цепи, а зависимость j (w) – фазо-частотной характеристики.
Рисунок 1.19 – Зависимость сопротивлений и фазы от частоты
в последовательном колебательном контуре
Из представленных характеристик следует, что при w < w0 цепь имеет емкостной характер (Х<0; j<0) и ток опережает по фазе приложенное напряжение; при w > w0 характер цепи индуктивный (X> 0; j>0) и ток отстает по фазе от приложенного напряжения; при w = w0 наступает резонанс напряжений (X =0; j=0) и ток совпадает по фазе с приложенным напряжением. Зависимость действующего значения тока от частоты можно найти по формуле:
. (1.89)
Действующие значения напряжений на реактивных элементах можно найти, согласно закону Ома:
UL (w) = I (w) XL (w) = 
. (1.90)
UC (w) = I (w) XC (w) = 
. (1.91)
Зависимости I (w), UL (w), UC (w) называются амплитудно-частотными характеристиками (АЧХ) относительно тока и напряжений, или резонансными характеристиками (рисунок 1.20). Важной характеристикой колебательного контура является полоса пропускания. Полосой пропускания принято называть полосу частот вблизи резонанса, на границе которой ток снижается в 
раз относительно I0. Абсолютная полоса пропускания D fA определяется как разность граничных частот f 2 и f 1:
D fA = f2 – f1 = f 0 /Q; (1.92)
Поскольку с увеличением потерь R добротность контура падает, то подключение к контуру сопротивления нагрузки или источника с внутренним сопротивлением приводит к расширению полосы пропускания.
Рисунок 1.20 – АЧХ и полоса пропускания последовательного
колебательного контура