Параллельный колебательный контур и резонанс токов




Простейший параллельный колебательный контур с потерями в ветвях R 1 и R 2 имеет вид, изображенный на рисунке 1.21, а.

Комплексная входная проводимость такого контура:

Y = + = G 1 + G 2 j(B 1 B 2 ) = G – jB, (1.93)

где = G 1 jB 1; = G 2 jB 2 комплексные проводимости ветвей с индуктивностью и емкостью соответственно.

Рисунок 1.21 – Параллельный колебательный контур с потерями

и векторные диаграммы

Из условия резонанса токов имеем j = arctg (B/G) = 0. Отсюда следует:

B = B 1 B 2 = { wL/[R12 + (wL)2]} – { (1/wC)/[R22 + (1/wC)2]} = 0. (1.94)

Решив (1.94) относительно w, получим уравнение резонансной частоты

. (1.95 )

Резонанс в параллельном контуре возможен лишь в случае неотрицательности подкоренного выражения (т. е. при R1 < r и R 2 < r или R 1 > r и R 2 > r).

Реактивные составляющие токов в ветвях при резонансе равны друг другу:

I p1 = UB 1 = I p2 = UB 2. (1.96)

При этом ток в неразветвленной части цепи определяется из уравнения:

i0 = U/R0э, (1.97)

где активное сопротивление R называют эквивалентным резонансным сопротивлением параллельного контура.

Входной ток контура совпадает по фазе с приложенным напряжением. Величину R можно найти из условия резонанса токов. При резонансе токов В = 0, а эквивалентное резонансное сопротивление контура равно:

R0э = (r 2 + R1R2)/(R1 + R 2). (1.98)

Контур без потерь. Для контура без потерь (R1 = R2 = 0)уравнение резонансной частоты принимает вид:

wр = w0 = 1/ , (1.99)

т. е. совпадает с выражением для последовательного контура. Эквивалентное сопротивление контура без потерь R = µ и входной ток равен нулю, а добротность обращается в бесконечность.

Контур с малыми потерями. (R1 << r; R2 << r ).Резонансная частота для этого случая будет приближенно совпадать с частотой w0. Для контура с малыми потерями можно принять, что r2 >> R1R2, тогда:

R » r 2/(R1 + R2) = r 2/R = Q2R, (1.100)

где R = R1 + R2.Ток в неразветвленной части цепи: I0 = U/R = U/(Q2R), а действующие значения токов в ветвях:

I1 = I2 = U/r = U/(QR). (1.101)

Отношение токов в ветвях к току в неразветвленной части цепи равно добротности контура: I1/I0 = I2/I0 = Q, т. е. ток в реактивных элементах L и С при резонансе в Q раз больше тока на входе контура (отсюда термин «резонанс токов»). На рисунке 1.21, визображена векторная диаграмма токов для этого случая.

При R1 = R 2 = r для wр получаем неопределенность, при этом входное сопротивление контура будет носить чисто активный характер на любой частоте (случай безразличного резонанса).

Частотные зависимости параметров параллельного контура без потерь от частоты имеют вид:

BL(w) = 1/(wL); BC(w) = wC; B(w) = (1/wL) – wC; X(w) = 1/B(w). (1.102)

На рисунке 1.22 изображены графики этих зависимостей. Из рисунка следует: при w < w0входное сопротивление контура Х носит индуктивный, а при w > w0ёмкостной характер, причём вследствие отсутствия потерь при переходе через частоту w = w0 ФЧХ контура изменяется скачком от –p/2 до p/2, а входное реактивное сопротивление контура претерпевает разрыв ( | Х| = µ). Комплексное эквивалентное сопротивление контура с малыми потерями можно определить уравнением:

. (1.103)

Рисунок 1.22 – Частотные зависимости параллельного контура без потерь

На рисунке 1.23 изображены нормированные относительно R частотные характеристики Rэ/R, Xэ/R и Zэ/R как функции обобщенной расстройки x.

Рисунок 1.23 – Нормированные частотные характеристики

параллельного контура

Фазочастотная характеристика цепи определится уравнением:

j = –arctg(Xэ/Rэ) = –arctgx. (1.104)

Анализ полученных зависимостей показывает, что по своему виду частотные характеристики контура с потерями существенно отличаются от характеристик контура без потерь. Прежде всего, зависимости реактивного сопротивления контура от частоты: для контура с потерями при резонансе оно оказывается равным нулю, а в контуре без потерь терпит разрыв (рисунок 1.22).

Колебательный контур подключается обычно к источнику с задающим напряжением и определённым внутренним сопротивлением RГ. При этом напряжение на контуре определяется:

. (1.105)

При резонансе токов: . (1.106)

Определяя частотную зависимость и вводя понятие эквивалентной добротности контура, которая определяется выражением

, (1.107)

могут быть получены АЧХ и ФЧХ относительно напряжения на контуре, нормированного к напряжению UКР:

; . (1.108, 1.109)

На рисунке 1.24 показан характер этих зависимостей при различных сопротивлениях RГ источника.

Рисунок 1.24 – Частотные характеристики параллельного контура

Полоса пропускания параллельного контура определяется как полоса частот, на границах которой напряжение на контуре уменьшается в раз относительно UКР. Параллельный контур в общем случае имеет более широкую полосу, чем последовательный. И только при Rг = ¥ их полосы пропускания будут равны. Таким образом, для улучшения избирательных свойств параллелью контура его необходимо возбуждать источником тока. Параллельный контур нельзя использовать для усиления напряжения, так как всегда Uк.р < Uг.

Электрические фильтры

Фильтры применяются для выделения или подавления определенных колебаний, разделения частотных каналов, формирования спектра сигналов. Электрическим фильтром называется четырёхполюсник, пропускающий без ослабления или с малым ослаблением колебания определенных частот и пропускающий с большим ослаблением колебания других частот.

Полоса частот, в которой ослабление мало, называется полосой пропускания. Полоса частот, в которой ослабление велико, называется полосой непропускания (задерживания). Между этими полосами находится переходная область.

По расположению на шкале частот полосы пропускания различают следующие фильтры:

а) нижних частот (ФНЧ), в которых полоса пропускания располагается на шкале частот от ω = 0 до некоторой граничной частоты ω = ωср, а полоса непропускания (задерживания) – от частоты ω = ωср до бесконечно больших частот (рисунок 1.25, а);

Рисунок 1.25 – Электрические фильтры

б) верхних частот (ФВЧ) с полосой пропускания от частоты ω = ωср до бесконечно больших частот и полосой непропускания от частоты ω = 0 до ω = ωср (рисунок 1.25, б);

в) полосовые (ПФ) – в них полоса пропускания от ωсрн до ωсрв располагается между полосами непропускания 0–ωЗ1 и ωЗ2–µ (рисунок 1.25, в);

г) заграждающие (режекторные), в которых между полосами пропускания 0–ωсрн и ωср –µ находится полоса непропускания ωсрн–ωсрв (рисунок 1.25, г);

д) многополосные, имеющие несколько полос пропускания.

На рисунке 1.25 показаны также условные графические обозначения фильтров каждого типа в соответствии с ГОСТ. Исторически первыми (и все еще наиболее широко применяемыми) являются пассивные фильтры, содержащие элементы L и С. Во многих случаях на практике требовалась крайне высокая избирательность (различие ослаблений в полосах пропускания и непропускания в десятки тысяч раз). Это привело к появлению фильтров с механическими резонаторами: кварцевых, магнито-стрикционных, электромеханических.

Требования микроминиатюризации аппаратуры заставили отказаться от использования индуктивностей, которые имеют большие габаритные размеры, особенно на низких частотах. Появились активные RС-фильтры, состоящие из резисторов, конденсаторов и активных приборов (например, транзисторов). Эти фильтры могут быть выполнены в виде интегральной схемы.

Разработка цифровых систем стимулировала создание фильтров на базе элементов цифровой и вычислительной техники - цифровых фильтров.

Требования к электрическим характеристикам фильтров. Избирательность фильтра определяется крутизной характеристики рабочего ослабления. Чем больше крутизна этой характеристики и чем сильнее ослабление в полосе непропускания, тем лучше избирательность фильтра и меньше уровень помех от подавляемых колебаний. Требования к электрическим характеристикам фильтров задаются в виде допустимых пределов изменения этих характеристик. Так,

а) рабочее ослабление в полосе пропускания не должно превышать некоторого максимального допустимого значения Аp max, а в полосе непропускания не должно быть ниже некоторого минимально допустимого значения Аp min.

Помимо требований к частотной зависимости рабочего ослабления (а значит, ик АЧХ) могут задаваться также требования:

б) к фазочастотной характеристике фильтра (допустимые отклонения от линейного закона) и величине;

в) к нелинейным искажениям (обусловленных наличием ферромагнетика в катушках индуктивности). Могут предъявляться требования и к другим характеристикам и параметрам фильтра.

Идеальные частотные характеристики фильтра заведомо нереализуемы. Частотные характеристики реальных фильтров могут лишь приближаться к ним с той или иной степенью точности в зависимости от сложности схемы фильтра.

Необходимо сделать два замечания. В теории фильтров принято иметь дело не с обычной угловой частотой w, а с нормированной частотой Ω = w/wн, где wн - нормирующая частота. Обычно в качестве нормирующей частоты выбирают граничную частоту полосы пропускания wср, так что Ω = wср /wн = wср /wср = 1.

Во-вторых, имеет смысл подробно изучать только фильтры нижних частот, так как остальные типы фильтров (верхних частот, полосовые и заграждающие) могут быть легко получены из ФНЧ с помощью замены переменной (частоты).

Фильтры типа k и m. Фильтром типа k называются лестничные схемы с взаимно обратными сопротивлениями плеч . Элементарным фильтром типа k является Г-образная схема, представленная на рисунке 1.26, а. Сопротивление r = называется номинальным характеристическим сопротивлением фильтра. Из двух Г-образных фильтров можно образовать симметричные Т-образные и П-образные фильтры.

Фильтры типа k обладают двумя существенными недостатками. Во-первых, они имеют малую крутизну характеристики ослабления Ас, во-вторых, частотная зависимость характеристических сопротивлений в полосе пропускания не позволяет удовлетворительно согласовать фильтр с нагрузкой и генератором. Это приводит к потерям энергии за счет ее отражения, особенно на краях полосы пропускания, где рассогласование наибольшее.

Рисунок 1.26 – Фильтр типа k (Г-образная схема)

Чтобы избежать этих недостатков, используют фильтры типа m (рисунок 1.27), которые дают всплески ослабления Ас на частоте резонанса контуров Wµ.

Рисунок 1.27 – Фильтры типа m

Значения элементов фильтра типа m определяются значениями фильтра типа k и параметра . Фильтры типа m обладают меньшей частотной зависимостью характеристических сопротивлений в полосе пропускания и лучше согласуются с генератором и нагрузкой. Но фильтры типа т имеют в полосе непропускания глубокий спад ослабления Ас.

Обычно используют каскадное соединение фильтров типа т и k. Фильтры типа k увеличивают ослабление в полосе непропускания, а фильтры типа т поднимают крутизну характеристики ослабления вблизи частоты среза. Ввиду того, что фильтры типа т лучше согласуются с генератором и нагрузкой, их ставят по краям, а звенья типа k в середине составного фильтра.

Вопросы для самотестирования

1 Как ведёт себя полоса пропускания колебательного контура, если возрастает его добротность?

2 Как соотносятся между собой реактивные сопротивления в последовательном колебательном контуре на резонансной частоте?

3 Какой характер носит сопротивление последовательного колебательного контура на резонансной частоте?

4 Напишите формулу для определения резонансной частоты последовательного колебательного контура.

5 Могут ли вносить нелинейные искажения в передаваемый сигнал пассивные фильтры?

1.10 Переходные процессы в цепи RC

Значительный практический интерес представляют нестационарные явления, возникающие при заряде и разряде емкости. Предположим, что цепь на рисунке 1.28 в момент t = 0 подключается к источнику внешнего напряжения. Запишем для этой цепи второй закон Кирхгофа в следующем виде:

uс + ur = e(t), t ³ 0. (1.110)

Рисунок 1.28 – Заряд ёмкости через сопротивление

Учитывая, что ток в цепи i = С и ur = ir = rC , формулу (1.110) можно записать следующим образом:

. (1.111)

Полученное равенство представляет собой линейное дифференциальное уравнение первого порядка с неизвестной функцией uc. Общее решение уравнения можно записать в виде суммы свободной uсв и вынужденной ив составляющих напряжения:

, (1.112)

где tц = rC постоянная времени цепи .

Рассмотрим пример переходного процесса, если цепь rС подключается к источнику постоянного напряжения U0, а функция е(t) имеет вид скачка напряжения. Величина ив в этом случае должна быть равна внешнему напряжению U0, так как при t ® µ емкость заряжается до напряжения источника питания. Следовательно,

. (1.113)

Для определения постоянной интегрирования А введем начальные условия. Будем иметь uc(0+) = uc(0–) = 0, откуда вытекает, что А = –U0. Таким образом, при t ³ 0:

; . (1.114, 1.115)

Из последнего выражения видно, что напряжение на емкости в процессе заряда возрастает по экспоненциаль ному закону, стремясь к величине U0 (рисунок 1.29).

Рисунок 1.29 – Переходной процесс в rC цепи

при включении постоянного напряжения

Скорость заряда ем кости зависит от постоянной временя цепи: чем больше величина емкости и активного сопротивления, определяющих tЦ, тем медленнее растет напряжение uc. Ток

(1.116)

с течением времени убывает по экспоненте. Аналогично изменяется и напряжение на активном сопротивлении:

. ( 1.117 )

Если напряжение на емкости к моменту включения равно Uн, начальные условия должны быть записаны в виде: Uc (0 +) = Uc (0– ) = Uн. В этом случае напряжение uc определяется формулой

. (1.118)



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-04-20 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: