Определение наличия тренда.

Структурный временной ряд и его элементы.

Структурный временной ряд состоит и: , где - систематические компоненты ряда.

1. Тренд:

Тренд – если во временном ряду имеется длительная (по времени) тенденция к изменению показателя, то говорят, что в этом ряду есть тренд.

2. Сезонная компонента:

Если изменения или колебания во временном ряду носят периодический или близкий к этому характер и завершаются в течение года, то эти изменения называются сезонной компонентой.

3. Циклическая компонента:

Если изменения носят периодический характер в течение нескольких лет, то они называются циклической компонентой.

Тренд, сезонная и циклическая компоненты называются регулярными компонентами.

4. Случайная компонента (ряд остатков):

Если из временного ряда вычесть регулярные компоненты, то остаток будет называться случайной компонентой или рядом остатков.

Анализ временных рядов.

Предворительный анализ и сглаживание.

Предварительный анализ – выявление и устранение аномальных значений уровней ряда, а также определение наличия тренда, сглаживание временного ряда и расчет показателей развития динамики ряда.

Аномальный уровень – отдельное значение уровня временного ряда, которое не отвечает потенциальным возможностям исследуемого показателя и оказывает существенное влияние на значение основных характеристик временного ряда. Наличие аномалий может резко искажать результаты моделирования и, следовательно, от них надо избавляться.

Причины аномальных наблюдений (появления аномальных уровней):

1. ошибки первого рода – ошибки технического порядка (при передаче информации, например) – подлежат устранению

2. ошибки второго рода – возникают из-за воздействия факторов, имеющих объективный характер, но проявляющихся эпизодически – устранению не подлежат.

Для выявления аномальных уровней воспользуемся следующим статистическим методом:
Метод Ирвина.

Суть метода состоит в следующем: для всех или только для подозреваемых в аномальности уровней вычисляется величина . Далее сравнивается с (табличное значение).

, где

Если , то уровень считается аномальным и его нужно заменить.

После выявления аномальных уровней определяется их причина. Если известно, что аномальные уровни вызваны ошибкой первого рода, то они заменяются либо средним арифметическим двух соседних значений, либо соответствующими значениями, определенными по кривой аппроксимирующий данный временной ряд.

Определение наличия тренда.

По трендом (или тенденцией) понимается устойчивое систематическое изменение процесса в течение продолжительного времени. Не существует «автоматического», стандартного способа для определения тренда во временном ряду. Но, если тренд является монотонным (постоянно возрастает или постоянно убывает), то анализировать такой ряд легко, бывает достаточно просто визуального просмотра или графического анализа.

Если же временные ряды имеют значительную ошибку, то к ним, для нахождения тренда, можно применить специальные методы.

I метод. Метод проверки разностей средних уровней.

Больше подходит для монотонно изменяющихся рядов.

1. Ряд разбивается на равные части:

+ =

2. Для каждой из частей вычисляются средние и дисперсии:

,

,

3. Проверяется гипотеза о равенстве дисперсий обеих частей с помощью критерия Фишера:

,
где

При уровне значимости находим . Если

4. Критерий Стьюдента:

При заданном уровнем значимости и числом степеней свободы находим табличное значение и сравниваем с расчетным. Если => тренда нет, иначе если => тренд есть.

II метод. Метод Фостера-Стюарта.

Обладает большими возможностями чем предыдущий метод. Он позволяет установить кроме тренда самого ряда еще и тренд дисперсии временного ряда.

1. производится сравнение каждого уровня временного ряда (начиная со второго) со всеми предыдущими и определяются две числовые характеристики.

Для

2. S характеризует изменение временного ряда (принимает значения от 0 до )), d характеризует изменение дисперсии (принимает значения от – ).

3. Этот этап заключается в проверке гипотез: можно ли считать случайными отклонение величины от величины - математического ожидания величины для ряда со случайно расположенными уровнями, и отклонение величины .

Эта проверка производится с помощью расчетных значений и критерия Стьюдента.

,

,

При уровнем значимости и числом степеней свободы , из таблицы значений распределения Стьюдента находим и сравниваем с каждым .

Если , то гипотеза об отсутствии тренда принимается и, соответственно, тренда нет, иначе – тренд есть.