ХАРАКТЕРИСТИКИ ФОРМЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Показатели формы распределения помогают понять, как распределены единицы совокупности относительно центра распределения, есть ли существенное смещение вершины эмпирического распределения (модального значения) вправо или влево, либо вверх или вниз относительно вершины кривой нормального распределения. К показателям формы распределения относятся: коэффициент асимметрии, коэффициент эксцесса (куртозис).

Одно из свойств нормального (симметричного) распределения - все показатели центра распределения равны. Если значения характеристик центра распределения не равны, то в распределении присутствует асимметрия. На этой логике основан показатель асимметрии распределения, предложенный Пирсоном:

, (3.9)

где - коэффициент асимметрии; - среднее значение признака в совокупности; - значение моды; - среднеквадратическое (стандартное) отклонение.

Показатель асимметрии характеризует смещение вершины эмпирического распределения вправо или влево относительно вершины нормального распределения. На основе показателя Пирсона легко определить вид асимметрии: если >M_O, то значение коэффициента будет со знаком "плюс", что означает присутствие в распределении положительной, правосторонней асимметрии. Если <M_O, то значение коэффициента будет иметь знак "минус", т.е. в распределении присутствует отрицательная,левосторонняя асимметрия. Наличие правосторонней асимметрии означает вытянутость правой ветви кривой распределения (см. рисунок 3.1), присутствие левосторонней - вытянутость левой ветви кривой распределения. Но при этом, в рамках практических выводов, следует учитывать, что в условиях правосторонней асимметрии модальное значение смещено в область более низких значений показателя, а в условиях левосторонней - в область более высоких значений.

Показатель асимметрии Пирсона в большей степени оценивает асимметрию в центре распределения (поскольку построен на сравнении показателей центра распределения). Чтобы учесть асимметрию и на концах распределения, используют коэффициент асимметрии, рассчитанный на основе центрального момента третьего порядка:

, (3.10)

где - среднеквадратическое отклонение третьей степени; μ₃ - центральный момент распределения третьего порядка, рассчитанный по формуле:

. (3.11)

Напомним, что момент распределения порядка k – это средняя величина отклонений k-й степени индивидуальных значений признака от некоторой постоянной величины А:

(3.12)

Порядок момента распределения (k) определяется степенью, в которую возводится отклонение. От того, что принимают в качестве А, различают центральный (А = ), начальный (А = 0) и условный (А 0 и А ) моменты. В таблице 3.2 приведены формулы расчета моментов распределения.

Таблица 3.2 - Формулы расчета моментов распределения

Порядок	Начальный момент	Центральный момент	Условный момент
	(среднее арифметическое)	=0
		(дисперсия)

Поскольку в нормальном (симметричном) распределении коэффициент асимметрии равен нулю, то отличие фактического значения коэффициента от нуля будет свидетельствовать о наличии асимметрии в изучаемом распределении. Знак при коэффициенте укажет на присутствие право-, левосторонней асимметрии. Для практического анализа важно не только установить наличие асимметрии в распределении, но и понять, существенна ли она, то есть под влиянием каких факторов (случайных или неслучайных) сформировано значение показателя. Для оценки статистической значимости коэффициента асимметрии, рассчитывается стандартизованный коэффициент асимметрии (t - статистика):

, (3.13)

где, - стандартизованный коэффициент асимметрии; - коэффициент асимметрии (берется по модулю, поскольку может быть и положительным, и отрицательным); - стандартная ошибка коэффициента асимметрии, , (в компьютерных программах чаще "вшита" формула: ); n - объем совокупности.

Если стандартизованный коэффициент асимметрии >3, то величина коэффициента асимметрии является статистически значимой, асимметрия признается существенной, то есть сформированной под влиянием не случайных факторов. Если 3, то асимметрия является не существенной, то есть сформированной под влиянием случайных факторов.

Наличие существенной асимметрии распределения (существенного смещения модального значения показателя) важно учитывать на этапе принятия управленческих решений и при выборе характеристик центральной тенденции распределения. Если асимметрия не существенная, то о ее присутствии в практических выводах можно забыть.

Еще один показатель формы распределения – коэффициент эксцесса или куртозис. Этот показатель характеризует выпад вершины эмпирического распределения вверх или вниз относительно вершины кривой нормального распределения. Эксцесс оценивается только при наличии несущественной асимметрии эмпирического распределения.

Коэффициент эксцесса может быть положительным, что будет означать выпад вершины вверх относительно вершины кривой нормального распределения, и отрицательным - выпад вершины вниз относительно вершины кривой нормального распределения.

Определяется коэффициент эксцесса () по формуле:

, (3.14)

где - центральный момент третьего порядка; - стандартное отклонение четвертой степени.

В нормальном распределении отношение . Поскольку эксцесс в нормальном распределении отсутствует, то коэффициент эксцесса равен нулю. Этим объясняется появление цифры "3" в формуле расчета коэффициента.

Для оценки существенности эксцесса рассчитывается стандартизованный эксцесс (куртозиз):

, (3.15)

где - стандартная ошибка коэффициента эксцесса. В компьютерных программах рассчитываетсяпо упрощенной формуле:

Если _> 3, то эксцесс признается существенным, то есть сформированным под влиянием не случайных факторов. Если 3, то эксцесс не существенный. Присутствие существенного положительного эксцесса в эмпирическом распределении означает, что в совокупности есть сформировавшееся ядро, то есть у значительной части единиц совокупности значения признака близки. Если в распределении присутствует существенный отрицательный эксцесс, то в изучаемой совокупности нет сформировавшегося ядра и отсутствует тенденция к его формированию.

Показатели формы распределения по сквозному примеру представлены в таблице 3.3.

Таблица 3.3 - Показатели формы распределения регионов России по величине СДДН в 2013 г.

Коэффициент асимметрии равен 1,37, поскольку его величина заметно больше нуля и положительна, можно говорить о присутствии правосторонней асимметрии в распределении регионов России по среднедушевым денежным доходам населения в 2013 году. Значение t - статистики коэффициента асимметрии 5,07 > 3, следовательно, асимметрия существенная, т.е. сформирована под влиянием не случайных факторов. Существенная правосторонняя асимметрия указывает на то, что модальное значение среднедушевых денежных доходов населения смещено в область низких значений показателя. Наглядно это можно видеть на графике (см. рисунок 3.1).

Рисунок 3.1 - Распределение регионов России по величине СДДН в 2013 г.

Заметим, что правосторонняя асимметрия распределений населения по среднедушевым денежным доходам характерна для всех стран.

Поскольку в рассматриваемом распределении фиксируется существенная асимметрия, коэффициент эксцесса не оценивается.