Неявные функции и дифференцируемые отображения
Неявные функции
Неявные функции одной и двух переменных. Пусть функция двух переменных определена на некотором множестве плоскости переменных . Тогда, если существует функция одной переменной , определенная на множестве , такая, что выполняется равенство то, этом случае функция , называется неявно заданной функцией уравнением .
Пусть в трехмерном пространстве задан цилиндр (рис.5)
и в этом цилиндре определена функция . Тогда, если существует функция двух переменных , определенная на множестве такая, что выполняется равенство , то функция называется неявно заданной функцией уравнением .
|
Примеры. 1) Уравнение задает неявно бесконечное множество функций, определенных на (рис.6).
2)Рассмотрим функцию . Пусть – некоторая окрестность точки , и координаты точки удовлетворяют уравнению , . Тогда существует единственная неявная функция, такая, что ее график содержится в (рис.7).
|
|
3) Уравнение задает бесконечное множество неявных функций, определенных при , т.е. – круг радиусом . В самом деле, формула , в которой для каждой из точек знак перед корнем выбирается произвольно, определяет неявную функцию. Заметим, что функции и заданные в , непрерывны в и дифференцируемы в .
Следующие четыре теоремы даются для уравнения .
Теорема 14 (существование неявной функции). Пусть функция определена в цилиндре , непрерывна по при фиксированных и , и выполняется неравенство . Тогда существует, по крайней мере, одна неявная функция , заданная уравнением
, (38)
определенная на множестве .
Пусть произвольная точка принадлежащая . По условию теоремы функции , при фиксированных значениях , непрерывна на . В силу теоремы Коши (из свойств функций непрерывных на отрезке) функция принимает любое промежуточное значение между и . Так как и имеют различные знаки, то принимает и нулевое значение, т.е. существует хотя бы одна точка , в которой . Положим, . Таким образом построена неявная функция , определенная на . <
Теорема 15 (единственность). Пусть определена в цилиндре , при фиксированных и из области и строго монотонна по переменной . Тогда не может существовать более одной неявной функции , определенной на .
Предположим, что существуют две различные функции и , заданные уравнением (38). Тогда найдется такая хотя бы одна точка , что . Однако из сделанного предположения, имеем . Последнее невозможно, так как строго монотонна по , т.е. . Получаем противоречие с условием. Следовательно, функция единственна. <
Следствие. Пусть функция непрерывна по переменной в цилиндре и для точки . Пусть также дифференцируема по в открытом цилиндре , причем сохраняет знак в этом цилиндре. Тогда уравнение (38) задает единственную неявную функцию, определенную на множестве .
По теореме 1 существует, по крайней мере, одна неявная функция . Так как сохраняет знак в открытом цилиндре, то строго монотонна по на . Следовательно, по теореме 15 неявная функция определена единственным образом. <
Теорема 16 (непрерывность неявной функции). Пусть функция непрерывна в цилиндре ; для любой точки выполняется условие ; функция дифференцируема в открытом цилиндре и в . Тогда уравнение (1) определяет единственным образом неявную функцию , которая непрерывна на множестве .
Существование и единственность неявной функции определяются следствием и теоремой 15. Для доказательства непрерывности функции рассмотрим разность . Применяя формулу конечных приращений Лагранжа, получаем
(39)
Положим , тогда . Следовательно, . Используя условие , из (39) получаем
. (40)
Переходя в неравенствах (40) к пределу при в силу непрерывности функции , имеем
.
Следовательно, неявно заданная функция непрерывна в любой точке .
<
Теорема 17 (дифференцирование неявной функции). Пусть функция непрерывна в цилиндре , где открытое множество; выполняется условие ; функция дифференцируема в открытом цилиндре и . Тогда уравнение (38) определяет единственным образом неявную функцию , которая дифференцируема на и справедливы равенства
, , (41)
где .
Существование и единственность неявной функции вытекает из теорем 14 и 15. При этом непрерывна на по теореме 16. Так как функция трех переменных дифференцируема на открытом множестве , то
(42)
где при .
Положим , тогда для точки имеем и
, . (43)
Из (42) и (43) получим
.
Так как , то
. (44)
Поскольку непрерывна, то при . Следовательно, так как , и при , то по теореме о пределе отношения двух функций получаем
, .
Отсюда следует, что
, (45)
где при .
Из (44) и (45) следует
.
Таким образом, дифференцируемая функция в произвольной точке и
, ,
где . <
Замечания.
1) Аналогичные теоремы имеют место для функционального уравнения
. (46)
Областью здесь является интервал , т.е. – прямоугольник на плоскости (рис. 8). Здесь неявная функция , а ее производные вычисляются по формуле
. (47)
|
2) Важным в теореме 17, а, следовательно, в формуле (41) и в формуле (47) является отличие от нуля производной стоящей в знаменателе. Например, если , то уравнение (46) может иметь не единственное решение относительно функции в точке , а может не иметь ни одного, решения. Например, для уравнения получаем , , а . Очевидно, что в окрестности точки (1, 0) при , уравнение не имеет решения относительно , т.е. неявная функция не существует. А при , уравнение имеет два решения и , т.е. задает две неявные функции.
Вместе с тем, надо отметить, что условия (или ) являются лишь достаточными. Если они не выполняются, то неявная функция может существовать. Например, для уравнения в точке (0, 0) они не выполняется, однако, в окрестности точки (0, 0) существует единичная неявная функция .
Пример. Доказать, что уравнение
определяет единственную неявную функцию , и найти производные .
Решение. Обозначим . Так как , то при любом фиксированном значении функция является возрастающей функцией переменной . Кроме того, для любого фиксированного значения при достаточно больших значениях , очевидно, выполняются неравенства: при и при . Поскольку - непрерывная функция, то существует единственное такое, что , следовательно, уравнение определяет единственную неявную функцию .
Теперь найдем производные. Так как - дифференцируемая функция и , то и функция дифференцируема на всей числовой прямой. Для нахождения воспользуемся формулой (47):
= .
Дифференцируя . Найдем
.
Чтобы найти значения в какой либо точке, нужно сначала вычислить соответствующее значение в этой точке. Пусть . Нетрудно проверить, что решением уравнения (49) при является , т.е. . Подставляя в полученные общие формулы, получаем .
Неявные функции n переменных. Пусть задано уравнение
(48)
или в векторном виде
.
Функцию будем предполагать заданной в цилиндре :
.
Если существует функция n переменных , определенная на множестве , такая, что , при , то говорят, что неявная функция, заданная уравнением (48).
Имеют место следующая теорема.
Теорема 18 (о неявной функции n переменных). Пусть выполняются следующие условия:
а) ;
б) дифференцируема в ;
в) непрерывна в ; .
Тогда найдутся и , что в некоторой окрестности точки уравнение (48) имеет единственное решение удовлетворяющее условию , причем дифференцируемая и справедливы формулы:
. (49)
Пример. Найти в точке частные производные функции , заданной уравнением .
Решение. Из уравнения найдем значение функции в данной точке .
Функция равна 0 в точке (1, 1, 2) и непрерывна в ее окрестности. Функции
непрерывны, причем . Следовательно, данное уравнение в окрестности точки (1, 1, 2) определяет единственную непрерывно дифференцируемую функцию , частные производные которой можно найти по формулам (48):
,
.
Теперь рассмотрим систему уравнений:
или в векторном виде:
, (50)
где .
Пусть – фиксированные точки.
Теорема 19 (о существовании решения системы неявных функций). Пусть выполняются условия:
а) ;
б) функции дифференцируемы в окрестности точки ;
в) частные производные непрерывны в ;
г) .
Тогда существуют и такие, что для система уравнений имеет единственное решение:
.
При этом удовлетворяют условиям , и функции – дифференцируемы.
Векторные отображения
Пусть точка множества и пусть на заданы следующие функции n - переменных:
Таким образом, для каждого фиксированного можно рассматривать вектор . В этом случае говорят, что имеет место векторное отображение или векторная функция .
У векторной функции , каждая координата является функцией n -переменных . Функции называют координатными функциями отображения , где записывают так .
Если , то пространства и можно считать совпадающими и функцию можно интерпретировать как отображение в . Такое отображение часто называют векторным полем,заданным на множестве . Важным классом векторных отображений являются линейные отображения или линейные векторные функции. Векторное отображение называют линейным если и , выполняется:
.
Из определения следует, что при линейном отображении любая линейная комбинация векторов отображается в такую же линейную комбинацию образов этих векторов
.
Линейные отображения называют также линейными операторами.
В физических приложениях имеет место следующий частный случай векторных отображений. Пусть , т.е. и . Рассмотрим отображение , т.е. векторное поле
,
где – три скалярных функции трех переменных или . Таким образом, каждой точке трехмерного геометрического пространства ставится в соответствие вектор этого же пространства. Примерами физических векторных полей являются:
- поле гравитации;
- электрическое поле ;
- магнитное поле
- поле скорости жидкости .
Пусть и является предельной точкой множества , а . Отображение задано функцией . Определим расстояние в пространстве как
.
Расстояние в пространстве определяется следующим образом:
.
Определение 25. Вектор называют пределом отображения при , если для любого положительного найдется такое неотрицательное число , что из выполнения условия будет следовать выполнение неравенства , т.е. .
Предел отображения обозначается:
.
Очевидно, что для любого справедливы неравенства
.
Тогда ясно, что из условия (14) следует .
Определение 26. Пусть и является его предельной точкой. Отображение называется непрерывным в точке , если оно определено в точке и существует предел при равный , т.е. .
Если – изолированная точка множества , то считается непрерывной в точке .
Ясно, что отображение непрерывно в точке каждая функция непрерывна в точке как функция n -переменных.
Определение 27. Отображение , определенное на открытом множестве называется дифференцируемым в точке , если каждая функция дифференцируема в точке .
Так как каждая функция n - переменных дифференцируемая в точке , то ее полное приращение в этой точке имеет вид
,
где ; .
Эти полные приращения представляют собой m скалярных равенств, и их можно записать в векторном виде в пространстве
, (51)
где
, (52)
.
Более подробно (51) можно записать так:
.
Определение 28. Векторы (52) называют частными производными отображения в точке по переменным .
Определение 29. Выражение , линейное относительно переменных называют дифференциалом отображения в точке и обозначают
. (53)
Заметим, что – дифференциал независимой переменной . Формулы (51) и (53) можно записать в матричной форме:
, (54)
где матрица
называется матрицей Якоби, а соответствующие векторы - столбцы имеют вид:
; .
Матрица Якоби называется также производной вектор-функции в точке , и обозначается одним из способов:
.
Заметим, что градиент функции переменных есть частный случай матрицы Якоби при , и поэтому его также являют производной этой функции.
Определение 30. Отображение называется непрерывно дифференцируемым на открытом множестве , если частные производные – непрерывны на множестве .
Если , то матрица Якоби квадратная размерностью n:
.
Определитель такой матрицы Якоби называется якобианом и обозначается
.
Примеры. 1) Найти дифференциал отображения в точке , где .
Решение. Для функций , , найдем матрицу Якоби
в точке . Получаем
.
Тогда
.
2) Найти якобиан отображения
Решение.
.
Снова рассмотрим случай, когда . Здесь – вектор-функция определенная на открытом множестве . Будем интерпретировать как векторное поле на .
Определение 31. Векторное поле называется потенциальным на множестве X, если существует такая дифференцируемая функция n -переменных , что выполняются условия:
.
Функция называется потенциалом векторного поля . В силу дифференцируемости функции следует:
,
или
.
Таким образом, потенциал векторного поля есть функция , градиентом некоторой является функции , т.е. само векторное поле.
Из определения следует, что потенциал векторного поля определяется с точностью до постоянного числа С. Если и два потенциала векторного поля , то .
Теорема 20. Для того чтобы дифференцируемое векторное поле, определенное в , было потенциальным, необходимо выполнение следующих условий:
.
Пусть – потенциал поля , тогда . Из дифференцируемости векторного поля следует, что дважды дифференцируема на . Тогда в силу теоремы о равенстве смешанных производных
. ■
Замечание. Для векторного поля на плоскости и необходимое условие имеет вид:
.
Для векторного поля в прост