Рассмотрим уравнение 
, или, то же самое: 
. Здесь «эн» может принимать любое натуральное значение, которое больше единицы. В частности, при 
получается квадратный корень 
. Что касается именно квадратного корня, то он успешно извлекается и «алгебраическим» методом, который рассмотрен на уроке Выражения, уравнения и системы уравнений с комплексными числами. Но то позже – здесь и сейчас мы познакомимся с универсальным способом, пригодным для произвольного «эн»:
Уравнение вида имеет ровно 
корней 
, которые можно найти по формуле:
, где 
– это модуль комплексного числа 
, 
– его аргумент, а параметр 
принимает значения: 
Пример 16
Найти корни уравнения 
Перепишем уравнение в виде 
В данном примере 
, , поэтому уравнение будет иметь два корня: 
и 
.
Общую формулу можно сразу немножко детализировать:
, 
Теперь нужно найти модуль и аргумент комплексного числа :
Число располагается в первой четверти, поэтому:
Напоминаю, что при нахождении тригонометрической формы комплексного числа всегда желательно сделать чертеж.
Еще более детализируем формулу:
,
На чистовик так подробно оформлять, конечно, не нужно, это сделано мной для того, чтобы вам было понятно, откуда что взялось.
Подставляя в формулу значение 
, получаем первый корень:
Подставляя в формулу значение 
, получаем второй корень:
Ответ: 
, 
При желании или требовании задания, полученные корни можно перевести обратно в алгебраическую форму.
Следует отметить, что на практике аргумент подкоренного числа может оказаться не так «хорош», как в рассмотренном примере. В этом случае для извлечения квадратного корня лучше использовать упомянутый выше «алгебраический» метод.
И напоследок рассмотрим задание - «хит», в контрольных работах почти всегда для решения предлагается уравнение третьей степени: 
.
Пример 17
Найти корни уравнения 
, где 
Сначала представим уравнение в виде :
Если , тогда 
Обозначим 
привычной формульной буквой: 
.
Таким образом, требуется найти корни уравнения 
В данном примере 
, а значит, уравнение имеет ровно три корня: , , 
Детализирую общую формулу:
, 
Найдем модуль и аргумент комплексного числа 
:
Число располагается во второй четверти, поэтому:
Еще раз детализирую формулу:
,
Корень удобно сразу же упростить:
Подставляем в формулу значение и получаем первый корень:
Подставляем в формулу значение и получаем второй корень:
Подставляем в формулу значение 
и получаем третий корень:
Очень часто полученные корни требуется изобразить геометрически:
Как выполнить чертеж?
Сначала на калькуляторе находим, чему равен модуль корней 
и чертим циркулем окружность данного радиуса. Все корни будут располагаться на данной окружности.
Теперь берем аргумент первого корня 
и выясняем, чему равняется угол в градусах: 
. Отмеряем транспортиром 
и ставим на чертеже точку .
Берем аргумент второго корня 
и переводим его в градусы: 
. Отмеряем транспортиром 
и ставим на чертеже точку .
По такому же алгоритму строится точка
Легко заметить, что корни расположены геометрически правильно с интервалом 
между радиус-векторами. Чертеж крайне желательно выполнять с помощью транспортира. Если вы отмерите углы «на глазок», то рецензент легко это заметит и процентов 90-95 поставит минус за чертеж.
Уравнения четвертого 
и высших порядков встречается крайне редко, если честно, я даже не припомню случая, когда мне пришлось их решать. В этой связи ограничусь рассмотренными примерами.
Чтобы закрепить материал и узнать много нового, обязательно приходите на практикум Выражения, уравнения и системы уравнений с комплексными числами – будет жарко!
Решения и ответы:
Пример 6: Решение:
Пример 8: Решение:
Представим в тригонометрической форме число 
. Найдем его модуль и аргумент. 
. Поскольку 
(случай 1), то 
. Таким образом: 
– число в тригонометрической форме.
Представим в тригонометрической форме число 
. Найдем его модуль и аргумент. 
. Поскольку 
(случай 3), то 
. Таким образом: 
– число 
в тригонометрической форме.
Пример 11: Решение: Представим число в тригонометрической форме: 
(это число 
Примера 8). Используем формулу Муавра 
:
Пример 13: Решение:
Пример 15: Решение:
, 
Разложим квадратный двучлен на множители: