Пример выполнения задания № 3 контрольной работы
Пример_1. Число появлений герба при трех бросаниях монеты является дискретной случайной величиной Х. Возможные значения числа появлений герба: 0,1,2,3. Следует найти вероятность появления герба в одном испытании.
Решение. Вероятность появления герба в одном испытании равна р =1/2. Противоположное ему событие: герб не выпал, вероятность этого события по формуле (9a) равна q =1–p=1/2.
Событие 1. «Три раза бросили монету и ни разу герб не выпал». Это сложное событие состоит из появления трёх совместных и независимых элементарных событий: «герб не выпал в одном испытании». Для события «три раза бросили и ни разу герб не выпал», которое обозначим Р (0), вероятность вычисляется по формуле умножения (11) для независимых событий:
.
Событие 2. «Три раза бросили монету и один раз герб выпал». Это сложное событие состоит из появления одного из трёх несовместных и независимых событий: «герб выпал в одном из трёх совместных испытаний». Для события «три раза бросили монету и один раз герб выпал» вероятность будет состоять из суммы несовместных событий по формуле (7), где каждое слагаемое вычисляется по формуле умножения (11) для независимых событий:
.
Событие 3. «Три раза бросили и два раза выпал герб». Для этого события вероятность события будет состоять из суммы событий:
.
Событие 4. «Три раза бросили и все три раза выпал герб». Вероятность этого события совпадает с первым и вычисляется по формуле умножения (11).
.
Здесь: p1, p2, p3 – вероятность выпадения герба в 1, 2, 3 испытаниях.
q1, q2, q3 – вероятность не выпадения герба в 1, 2, 3 испытаниях.
Результаты вычислений вынесены в таблицу 1.
Таблица 1
Результаты вычислений
| Событие Х | герб не выпал | герб выпал 1 раз | герб выпал 2 раза | герб выпал 3 раза |
| хi | ||||
| Вероятность события Р(хi)= рi | 
| 
| 
| 
|
Пример_2. Для задачи в примере 1 найти функцию распределения вероятности F(х) этой случайной величины и построить ее. Построить многоугольник распределения.
Решение.
Если х £ 0, то F(х) = Р (Х < х) = 0.
Если 0 < х £ 1, то F(х) = Р (Х < х) = 1/8.
Если 1 < х £ 2, то F(х) = Р (Х < х) = 1/8 + 3/8 = 0,5.
Если 2 < х £ 3, то F(х) = Р (Х < х) = 1/8 + 3/8 + 3/8 = 7/8.
Если х > 3, то F(х) = Р (Х < х) = 1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8 = 1.
В таблицу 2 внесены значения функции распределения вероятности F(х) случайной величины – х.
Таблица 2
Функция распределения вероятности F(х)
| № | |||||
| хi | >3 | ||||
| функция распределения F(х) | 0,125 | 0,5 | 0,875 |
Для построения многоугольника распределения значения случайной величины х переписаны в другой форме из таблицы 1 в таблицу 3.
Таблица 3
Ряд распределения Р(хi)= рi
| № | ||||
| хi | ||||
| Ряд распределения Р(хi)= рi | 0,125 | 0,375 | 0,375 | 0,125 |
Многоугольник распределения вероятности представлен на рис.6.
Рис.6 Многоугольник распределения
Функция распределения вероятности представлена на рис.7.
Рис.7. Функция распределения
Пример_3. Найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х) и среднее квадратическое отклонение s(Х) дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения в таблице 4.
Таблица 4
| Х | -5 | |||
| р | 0,4 | 0,3 | 0,1 | 0,2 |
Решение.
Математическое ожидание М(Х) вычисляется по формуле (18):
М(Х) = x1· p1 + x2· p2 + … + xn· pn.
М(Х) = - 5× 0,4 + 2× 0,3 + 3× 0,1 + 4× 0,2 = - 0,3.
Дисперсия вычисляется по формуле (20):
D(Х) = М(Х2) - [М(Х)]2.
Закон распределения Х2 представлен в таблице 5.
Таблица 5
| Х2 | ||||
| р | 0,4 | 0,3 | 0,1 | 0,2 |
Математическое ожидание М(Х2) вычисляется по формуле (18):
М(Х2) = 25×0,4 + 4×0,3 + 9× 0,1 + 16×0,2 = 15,3.
Искомая дисперсия:
D(Х) = М(Х2) - [М(Х)]2 = 15,3 -(-0,3)2 = 15,21.
Тогда среднее квадратическое отклонение будет:
.