Отношение эквивалентности в ИВ




Определим эквивалентность формул в исчислении высказываний.

Определение 1. Формулы U и B называются эквивалентными, что обозначается |- , если

|- (1)

Рассмотрим некоторые простые свойства отношения эквивалентности.

1. Рефлексивность: |- .

2. Симметричность: если |- , то |- .

3. Транзитивность: если |- и |- , то |- .

Задание 1. Доказать свойство симметричности отношения эквивалентности.

Решение.

1. |-

2. |-

3. |-

Из свойств отношения эквивалентности следует, что множество формул исчисления высказываний разбивается на непересекающиеся классы эквивалентных друг другу формул (классы эквивалентности). Следовательно, все теоремы исчисления высказываний образуют один класс эквивалентных формул.

В исчислении высказываний имеют место следующие эквивалентности, которые соответствуют аналогичным свойствам отношения эквивалентности алгебры высказываний.

1. |- .

2. |-

3. |-

4. |-

5. |-

6. |-

7. |-

8. |-

9. |-

10. |-

11. |-

12. |-

Для того чтобы доказать эквивалентность |- в исчислении высказываний достаточно построить выводы |- и |- . Покажем, что если |- и |- , то |- .

1. |- по условию
2. |- по условию
3. |- 5 (1)
4. |- 5 (2)
5. , |-  
6. |- 4 (3, 4, 5)

Последняя формула, в силу определения, означает ú- .

Теорема эквивалентности. Если и - формулы, полученные заменой некоторых (одних и тех же) вхождений какой-либо высказывательной переменной в формуле U соответственно формулами и , то

|- .

Следствие. Если есть некоторая подформула формулы U и эквивалентна формуле , то формула, полученная заменой в формуле U на , эквивалентна U. Иными словами, если , то .

Свойства 2, 4, 10 и теорема эквивалентности позволяют формулу, составленную из высказывательных переменных лишь с помощью операции дизъюнкции, преобразовать к виду

.

Аналогично формула, составленная из с помощью операции конъюнкции эквивалентна формуле

.

Это позволяет дать определение понятиям нормальных форм исчисления высказываний, которые совпадают с соответствующими определениями алгебры высказываний.

Теорема 3.1. Для каждой формулы исчисления высказываний существуют эквивалентные ей дизъюнктивная и конъюнктивная нормальные формы.

Исчисление секвенций ИС

Исчисление высказываний генценовского типа называется исчислением секвенций ИС.

Алфавит ИС состоит из символов алфавита ИВ, дополненных символом |-. Допустимые последовательности символов – формулы определяются также как и в ИВ, кроме того, в ИС вводится понятие секвенция.

Пусть U1, U2,..., Un, V – формулы ИС. Секвенциями называются конечные последовательности следующих двух видов:

1) U1, U2,..., Un |- V (из истинности U1, U2,..., Un следует истинность V);

2) U1, U2,..., Un |- (система формул U1, U2,..., Un противоречива).

Множество аксиом ИС определяется единственной схемой секвенций U |- U. Правила вывода ИС определяются следующими записями, где T, T 1 – конечное множество формул (возможно пустое).

1. (введение Ù).

2. (удаление Ù).

3. (удаление Ù).

4. (введение Ú).

5. (введение Ú).

6. (удаление Ú или правило разбора двух случаев).

7. (введение ®).

8. (удаление ®).

9. (удаление Ø или доказательство от противного).

10. (выведение противоречия).

11. (перестановка посылок).

12. (уточнение или правило лишней посылки).

Исчисления ИВ и ИС эквивалентны.




Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-03-31 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: