Замена переменных в двойном интеграле
Рассмотрим двойной интеграл в декартовых координатах . Пусть имеются две гладкие функции двух переменных , , то есть эти функции непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка по переменным и в некоторой замкнутой области плоскости . И пусть эти функции взаимно однозначно и непрерывно отображают область на область . Тогда имеет место равенство
,
если , где – якобиан преобразования в . Определитель назван в честь немецкого математика Якоби. Геометрически выражает элемент площади в области , а – коэффициент изменения элемента площади в области при преобразовании в элемент площади в области .
Координаты называются криволинейными координатами точки .
Интеграл называется двойным интегралом в криволинейных координатах.
Частным случаем криволинейных координат являются полярные координаты .
Двойной интеграл в полярных координатах
Полярные координаты связаны с прямоугольными формулами , (, ). Якобиан преобразования в этом случае равен
,
а – элемент площади в полярных координатах.
Формула перехода от декартовых координат к полярным координатам
.
Если областью является круг или часть круга, то в двойном интеграле удобно перейти к полярным координатам, так как уравнение окружности в полярных координатах приобретает простой вид .
Расстановка пределов в полярных координатах выполняется аналогично случаю декартовых координат.
Пример 1. Вычислить двойной интеграл , где область
: , , .
Решение. Построим область . Так как областью является четверть круга (рис. 1), перейдём к полярным координатам по формулам , , . Точкой входа является полюс (рис. 2), а линией выхода – окружность . Область определяется системой неравенств
Подынтегральная функция в полярных координатах .
.
Замечание. Повторный интеграл в примере 1 свёлся к произведению двух независимых друг от друга определённых интегралов, поскольку результат вычисления внутреннего интеграла есть число.
Пример 2. Перейти в двойном интеграле к полярным координатам и расставить пределы интегрирования, если область ограничена линиями: а) , , (), ();
б) , , .
Решение 2а). Областью является четверть кольца в четвёртой четверти координатной плоскости (, ), между окружностями с радиусами и (рис. 3). В полярной системе координат область определяется системой
.
Решение 4б). Уравнение окружности с центром в точке имеет вид: . Приведём к такому виду уравнение . Перенесём влево и выделим полный квадрат
.
Получим уравнение окружности с центром в точке и радиусом (рис. 4). В полярной системе координат уравнение окружности имеет вид . Уравнение прямой представим к виду , а так как тангенс угла наклона прямой к оси абсцисс , то . Прямая наклонена к оси под углом . Область определяется системой неравенств
.
Пример 3. Найти массу пластинки, имеющую форму четверти круга радиуса , если известно, что поверхностная плотность в каждой точке пластинки пропорциональна расстоянию до этой точки от центра круга.
Решение. Область (рис. 5) в декартовой системе координат определяется неравенствами . Поверхностная плотность в любой точки области определяется уравнением (рис. 6).
|
Перейдём к полярным координатам
.
Пример 4. В условиях задачи 3 найти координаты центра масс точки .
Решение. Статический момент относительно оси
.
Координата точки : .
Статический момент относительно оси
.
Координата точки : .
Ответ: .
Тройной интеграл
Пусть в области пространства задана функция . Выполним следующие построения: 1) разделим область на части плоскостями параллельными координатным плоскостям (объёмы частей); |
2) диаметры частей обозначим , а ;
3) в каждой части выберем произвольно по точке ;
4) составим сумму (интегральную)
Определение. Предел интегральной суммы (4) при называется тройным интегралом по области от функции и обозначается
или .
По определению . элемент объёма. |
Физический смысл можно интерпретировать как массу неоднородного тела с объёмной плотностью .
– элемент массы, – суммарная масса.
Основные свойства.
1º. Свойства линейности. ,
.
2º. Свойство аддитивности. |
3º. Оценка тройного интеграла.
в области .
Правило вычисления.