Лекция 3
2.1. СИСТЕМЫСЧИСЛЕНИЯ В ЦИФРОВОЙ ЭЛЕКТРОНИКЕ
Все современные системы счисления (кроме некоторых римских цифр) являются позиционными, т.е. в них одна и та же цифра в разных позициях (слева, справа) имеет разное значение. Например, в десятичном числе 55 левая цифра означает 50, а правая, – только 5. В общем виде в позиционной системе счисления с основанием системы Х число А можно представить в виде:
,
где n – количество разрядов числа А, аi – коэффициенты каждого разряда, которые могут принимать значения от 0 до Х – 1.
При необходимости основание системы счисления указывается внизу после числа в виде нижнего индекса.
2.1.1. Позиционные системы счисления, используемые в цифровых устройствах.
· Четырехразрядное десятичное число:
568510 = 5×103 + 6×102 + 8×101 + 5×100,
где Х = 10, – основание системы счисления, а 0 = 5, а 1 = 8, а 2 = 6,
а 3 = 5, – коэффициенты в каждом разряде, n = 4, – количество разрядов числа А.
· Трехразрядное восьмеричное число:
3728 = 3×82 + 7×81 + 2×80 = 25010
где Х = 8 (восьмеричная система счисления), коэффициенты в разрядах числа A: а 0 = 2, а 1 = 7, а 2 = 3; n = 3, – количество разрядов числа А.
· Двухразрядное шестнадцатеричное число:
4E16 = 4×161 + 14×160 = 7810
где Х = 16 (шестнадцатеричная система счисления), коэффициенты в разрядах числа А а 0 = E = 14, а 1 = 4 (шестнадцатеричные цифры от 0 до 9 записываются так же, как и соответствующие десятичные цифры, а шестнадцатеричные цифры 10, 11, 12, 13, 14, 15 записываются заглавными латинскими буквами А, В, С, D, Е, F соответственно); n = 2, – количество разрядов числа А.
· Четырехразрядное двоичное число:
11012 = 1×23 + 1×22 + 0×21 + 1×20 = 1310
где X = 2, – двоичная система счисления, коэффициенты в разрядах числа А: а 0 = 1, а 1 = 0, а 2 = 1, а 3 = 1, n = 4, – количество разрядов числа А.
Двоичный разряд, который может принимать только два значения: 0 или 1, называют "бит", происходящее от сокращения BIT английских слов
BI NARY DIG IT – "двоичная цифра". В английском языке слово bit означает также кусочек.
Десятичная система, к которой мы привыкли, основана на количестве пальцев рук и для применения в цифровой технике неудобна. В цифровой аппаратуре устройства обычно имеют два рабочих состояния и в них применяют двоичную систему счисления. Чем меньше основание системы счисления, тем менее компактный вид имеет запись какого-то числа, поэтому для сокращенной записи двоичных чисел обычно используют восьмеричную или шестнадцатеричную системы счисления. Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления применяются в вычислительной технике из–за удобства представления больших двоичных чисел, поскольку их основания являются степенями двойки. Они являются как бы компромиссными между двоичной и десятичной системами счисления.
2.1.2. Преобразование чисел из одной системы счисления в другую. Кодирование сигналов.
Преобразовать десятичное число в двоичное можно путем деления на 2 сначала самого числа, а затем каждого промежуточного частного. При этом каждый неделимый остаток дает очередную цифру соответствующего разряда искомого двоичного числа. Первый полученный таким образом остаток даст цифру младшего разряда, а последний, – старшего разряда двоичного числа. Например, десятичное число 5310 преобразуем в двоичное:
53: 2 = 26 + 1
 |
26: 2 = 13 + 0
13: 2 = 6 + 1
 |
6: 2 = 3 + 0
 |
3: 2 = 1 +1
 |
1: 2 = 0 +1
1 1 0 1 0 12
Рис.2.1. Пример преобразования десятичное число 5310 в двоичное
Аналогично можно преобразовывать числа с другими основаниями.
На основе двоичной системы счисления в цифровой технике разработаны различные формы представления чисел, которые иногда называют кодами. Естественную запись двоичного числа называют двоичным кодом.
Так же, как большие десятичные числа для удобства чтения разбивают при записи на тройки, так и большие двоичные числа обычно разбивают на четверки, – тетрады. Две тетрады или восемь двоичных цифр называют байт, – BYTE. Число 210 = 1024 называют в цифровой технике словом "килобит" в нарушение точного значения данного слова, – 1000.
В цифровой аппаратуре, в основном при индикации показаний десятичными цифрами или при задании параметров десятичными задатчиками, широко применяются различные двоично–десятичные коды.
Самый распространенный из них BCD -код (сокращенное BINARY CODED DECIMAL, – двоично-кодированная десятичная цифра), который порой называют позиционным 8421–кодом, или натуральным двоично–десятичным кодом. В этом коде каждая десятичная цифра представляется своей отдельной тетрадой, – четверкой двоичных цифр, например:
5 2 6
526 10 = 0101 0010 0110 BCD
С помощью 4-х битов можно составить 16 различных сочетаний единиц и нулей, а для десятичных цифр достаточно 10 сочетаний. 6 сочетаний избыточны, поэтому возможны различные позиционные двоично-десятичные коды. Отличаются эти коды порядком следования степеней основания в представлении десятичных цифр. Так BCD -код имеет следующие веса разрядов:
23, 22, 21, 20 = 8421.
Другой позиционный двоично–десятичный код, – код Эйкена имеет следующие веса разрядов:
21, 22, 21, 20 = 2421.
Десятичное число 910 , записанное в BCD –коде, равно 1001BCD, а это же число, записанное в коде Эйкена, имеет следующий вид: 1111ЭЙКЕН.
Еще один распространенный двоично–десятичный код, – код с избытком 3 (EXCESS – 3 CODE). В нем каждая десятичная цифра кодируется двоичной тетрадой, в которой взвешенная сумма разрядов больше этой десятичной цифры на три. Так, десятичная цифра 9 записывается тетрадой 1100, для которой взвешенная сумма разрядов 8×1 + 4×1 + 2×0 + 1×0 = 12, что на 3 больше 9.
Этот код называют самодополняющимся до 10, т.е. его младшие 5 цифр (от 0 до 4) являются зеркальным отражением, инверсией старших 5 цифр (от 5 до 9); например, число 0 = 0011EX3 является инверсным числу 9 = 1100EX3, число 1 = 0100EX3 является инверсным числу 8 = 1011EX3 и т.д. Достоинством кода с избытком 3 является его повышенная надежность при передаче информации в канале связи, поскольку количество единиц в его числах в среднем равно количеству нулей.
В двоично–кодированных датчиках перемещения или угла поворота часто применяется код Грея (GRAY CODE). В этом коде комбинации двоичных цифр, представляющие числа, соседние по величине, отличающиеся лишь в одной кодовой позиции, т.е. при последовательном переходе от одного числа к другому всегда изменяется только один из двоичных разрядов.
Число B, записанное в двоичном коде, можно преобразовать в число G в коде Грея с помощью следующего выражения:
Gi = Bi Å Bi+1.
Число G, записанное в коде Грея, можно преобразовать в число B в двоичном коде с помощью следующего выражения:
Bi = Gi Å Bi+1.
Здесь знак Å означает сумму по модулю два, которая равна единице, если входные слагаемые разные, или, – нулю, если они одинаковые, т.е.:
0 Å 0 = 0
0 Å 1 = 1
1 Å 0 = 1
1 Å 1 = 0
Число в коде Грея можно также получить из двоичного кода следующим образом:
двоичный код 1 1 0 1 0 1
 | |||
 | |||
 |
Å Å Å Å Å
 | |||
|
код Грея 1 0 1 1 1 1
Рис.2.2. Пример преобразования двоичного числа в код Грея
Обратное преобразование кода Грея в двоичный код производят по похожей схеме:
код Грея 1 0 1 1 1 1
| |||
| |||
|
Å Å Å Å Å
 | |||||
 | |||||
|
двоичный код 1 1 0 1 0 1
Рис.2.3. Пример обратного преобразования числа в коде Грея в двоичное
Свойство кода Грея изменяться только в одном разряде при последовательном переходе от одного числа к другому ближнему определяет его преимущество перед другими кодами при использовании этого кода для построения кодирующих дисков и пластин. Очевидно, что такое свойство кода уменьшает число переключений считывающих устройств и снижает неоднозначность считывания кода. Код Грея нельзя отнести к позиционным кодам, поскольку в нем весовые значения единиц в различных позициях нельзя однозначно определить по формуле, приведенной в начале данного раздела.