ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
Для студентов 1 курса специальности «Документоведение и информационная деятельность»
Дневной формы обучения
- В задачах 1-10 даны координаты вершин пирамиды
. Средствами векторной алгебры найти:
1) угол между ребрами 
и 
;
2) площадь грани 
;
3) проекцию вектора 
на вектор 
;
Объем пирамиды.
1. 
.
2. 
3. 
.
4. 
.
5. 
.
6. 
.
7. 
.
8. 
.
9. 
.
10. 
.
- В задачах 11-20 даны координаты точек
. Найти:
1) уравнение прямой, проходящей через точки 
и 
,
2) угол между прямыми и 
,
3) расстояние от точки 
до прямой ,
4) уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой ,
5) уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой .
11. 
.
12. 
.
13. 
.
14. .
15. 
.
16. 
.
17. 
.
18. 
.
19. 
.
20. 
.
- В задачах 21-30 найти все точки пересечения трех следующих плоскостей:
1) плоскости 
, заданной общим уравнением 
;
2) плоскости 
, проходящей через точки ,
3) плоскости 
, проходящей через точку 
перпендикулярно вектору 
.
| № | А | B | C | D |
|
|
|
|
|
| 21. | -3 | (-5;0;0) | (0;-1;0) | (6;1;1) | (0;-4;0) | 
| |||
| 22. | -4 | (-1;0;1) | (3;0;0) | (0;-1;1) | (0;-2;0) | 
| |||
| 23. | -1 | (0;0;0) | (-1;1;1) | (-3;0;2) | (1;1;2) | 
| |||
| 24. | -1 | (0;0;-1) | (0;-1;0) | (2;-2;2) | (0;0;1) | 
| |||
| 25. | (1;1;0) | (1;0;1) | (0;-2;1) | (6;0;0) | 
| ||||
| 26. | (0;3;0) | (-1;1;2) | (5;1;-4) | (1;-1;0) | 
| ||||
| 27. | -2 | (0;1;1) | (1;1;0) | (-3;0;0) | (0;0;2) | 
| |||
| 28. | -1 | (0;0;0) | (1;1;1) | (3;-2;0) | (1;1;-2) | 
| |||
| 29. | -1 | (-10;0;0) | (-1;3;0) | (-2;0;-4) | (-1;0;-2) | 
| |||
| 30. | -1 | (-2;0;-1) | (0;1;1) | (2;2;0) | (1;0;1) | 
|
- В задачах 31-40 дана точка
, плоскость и прямая. Найти:
1) точку 
, симметричную точке относительно данной плоскости,
2) точку 
, симметричную точке относительно данной прямой,
Угол между данными прямой и плоскостью,
4) точки пересечения прямой, параллельной заданной и проходящей через точку , с координатными плоскостями.
31. 
.
32. 
.
33. 
.
34. 
.
35. 
.
36. 
.
37. 
.
38. 
.
39. 
.
40. 
.
РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИ. ИНДИВИДУАЛЬНОГО ЗАДАНИЯ.
Задача 1. Пусть пирамида задана вершинами 
. Средствами векторной алгебры найти:
1) угол между ребрами и ;
2) площадь грани ;
3) проекцию вектора на вектор ;
Объем пирамиды.
Решение.
1) Угол между ребрами и равен углу между векторами 
и 
.
Так как 
, то
Поэтому:
, так что 
.
2) Грань есть треугольник, площадь которого равна половине площади параллелограмм, построенного на векторах 
. Найдем сначала векторное произведение
.
Тогда 
.
3). Проекция вектора 
на вектор 
находится по формуле 
. В нашем случае
.
Поэтому 
.
4). Пирамида 
построена на векторах 
. В п.2 найдено векторное произведение 
. Тогда 
. Так как объем пирамиды есть 
часть объема параллелепипеда, построенного на векторах 
то 
Задача 2. На плоскости заданы точки 
. Найти:
5) уравнение прямой, проходящей через точки и ,
6) угол между прямыми и 
,
7) расстояние от точки до прямой ,
8) уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой ,
9) уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой .
Решение.
1) Уравнение прямой, проходящей через точки 
, имеет вид
. В нашем случае: 
, т.е. 
Это и есть уравнение прямой, проходящей через точки и .
2) Угол между прямыми и равен углу между векторами 
, который может быть найден из формулы 
.
Так как 
, то
.
Поэтому 
.
3) Расстояние 
от точки 
до прямой 
находится по формуле:
. В нашем случае нужно найти расстояние от точки 
до прямой 
, имеющей уравнение 
Имеем:
.
4) Запишем сначала уравнение прямой в виде 
, из которого находим ее угловой коэффициент 
. Так как прямая должна проходить через точку параллельно прямой , то ее уравнение должно иметь вид:
, т.е. 
или 
- уравнение прямой, проходящей через точку 
параллельно прямой .
5) Угловой коэффициент 
прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой , связан с угловым коэффициентом последней соотношением 
. Отсюда 
. Поэтому 
.
- это уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой .
Задача 3. Найти все точки пересечения трех следующих плоскостей:
1) плоскости 
, заданной уравнением 
;
2) плоскости 
, проходящей через точки 
;
3) плоскости 
, проходящей через точку 
перпендикулярно вектору , если известно, что 
.
Решение.
Плоскость определяется уравнением 
. Для нахождения уравнения плоскости воспользуемся тем фактом, что уравнение плоскости, проходящей через точки 
, имеет вид
.
В нашем случае 
, т.е. 
.
Раскрыв этот определитель, получим:
или 
.
Уравнение плоскости, прохоедящей через точку 
перпендикулярно вектору
имеет вид: 
. Значит, уравнение плоскости есть: 
т.е. 
.
Из уравнений плоскостей , , составим систему:
которую и нужно решить. Для решения воспользуемся правилом Крамера. Для этой цели вычислим определители:
, 
, 
, 
.
Значит, 
. Следовательно, плоскости , , пересекаются в единственной точке 
.
Задача 4. Дана точка 
, плоскость 
и прямая 
. Найти:
1) точку , симметричную точке относительно данной плоскости,
2) точку , симметричную точке относительно данной прямой,
угол между данными прямой и плоскостью,
4)точки пересечения прямой, параллельной заданной и проходящей через точку , с координатными плоскостями.
Решение.
1).Запишем уравнение прямой, проходящей через точку и перпендикулярной данной плоскости. Так как в качестве направляющего вектора такой прямой можно взять нормальный вектор плоскости 
, то уравнение прямой запишется в виде:
. Найдем точку 
пересечения этой прямой и данной плоскости, которая будет проекцией точки на данную плоскость. Для этого надо решить совместно систему уравнений:
, .
Перепишем каноническое уравнение прямой в параметрической форме, вводя параметр 
: 
, т.е. 
. Подставляя эти выражения для 
в уравнение плоскості, получим 
, откуда 
- координаты точки .
Так как точка является серединой отрезка 
, то координаты 
симметричной точки найдутся из формул 
, откуда
. Следовательно, 
.
3).Найдем уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной данной прямой. Так как в качестве нормального вектора такой плоскости можно взять направляющий вектор 
данной прямой, то уравнение плоскости запишется в виде: 
или 
.
Найдем точку 
пересечения этой плоскости и заданной прямой, которая будет проекцией точки на данную прямую. Для этого надо решить систему уравнений:
, . Как и в п.1 записываем уравнение прямой в параметрическом виде: 
и подставляем в уравнение плоскости 
или 
. Отсюда 
и 
.
Координаты 
симметричной точки 
находим, используя формулы для координат середины отрезка, т.е.
, откуда 
. Следовательно, 
.
3).Угол 
между плоскостью 
и прямой вычисляется по формуле 
, откуда 
.
4). Уравнение прямой, проходящей через точку , параллельно прямой записывается в виде 
. Чтобы найти точку 
пересечения этой прямой с плоскостью 
, надо в уравнениях прямой положить 
: 
, откуда 
. Следовательно, 
.
Аналогично, полагая в уравнениях прямой 
, получаем координаты точки пересечения прямой и плоскости 
: 
, откуда 
. Следовательно, 
.
Для получения координат точки 
пересечения прямой и плоскости 
, полагаем в уравнениях прямой 
: 
, откуда 
. Следовательно, 
.