Как уже отмечалось, на практике только что рассмотренный признак сравнения применяют редко. Настоящей «рабочей лошадкой» теории числовых рядов является предельный признак сравнения, по распространенности применения с ним может конкурировать разве что признак Даламбера.
Предельный признак сравнения: Рассмотрим два положительных числовых ряда 
и 
. Если предел отношения общих членов этого ряда равен конечному, отличному от нуля числу 
: 
, то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.
Важные примечания:
1) Если речь идёт о двух сходящихся рядах, то предел может быть равен и нулю (но не бесконечности).
2) Если речь идёт о двух расходящихся рядах, то предел может быть равен и бесконечности (но не нулю).
Когда применяется предельный признак сравнения? Предельный признак сравнения применяется тогда, когда «начинкой» ряда у нас являются многочлены. Либо один многочлен в знаменателе, либо многочлены и в числители и в знаменателе. Один или оба многочлена также могут находиться под корнем.
Сразу рассмотрим пример, для которого не сработал только что рассмотренный признак сравнения.
Пример 10
Исследовать ряд на сходимость 
Сравним данный ряд со сходящимся рядом 
. Используем предельный признак сравнения. Известно, что ряд – сходится. Если нам удастся показать, что 
равен конечному, отличному от нуля числу, то будет доказано, что ряд 
– тоже сходится.
Получено конечное, отличное от нуля число, значит, исследуемый ряд сходится вместе с рядом .
Почему для сравнения был выбран именно ряд ? Если бы мы выбрали любой другой ряд из «обоймы» обобщенного гармонического ряда, то у нас не получилось бы в пределе конечного, отличного от нуля числа (можете поэкспериментировать).
Примечание: когда мы используем предельный признак сравнения, не имеет значения, в каком порядке составлять отношение общих членов, в рассмотренном примере отношение можно было составить наоборот: 
– это не изменило бы сути дела.
Предельный признак сравнения применим почти для всех рядов, которые мы рассмотрели в предыдущем пункте:
, 
, 
, 
.
Данные ряды по только что рассмотренной трафаретной схеме нужно предельно сравнить соответственно со сходящимися рядами:
, 
, 
, 
.
Пример 11
Исследовать ряд на сходимость 
Это пример для самостоятельного решения.
Что делать, если многочлены находятся и в знаменателе, и в числителе? Алгоритм решения почти такой же – нам нужно подобрать для сравнения подходящий ряд из «обоймы» обобщенного гармонического ряда.
Пример 12
Исследовать ряд на сходимость 
Мы видим, что и в числителе и в знаменателе у нас многочлены, причем, в знаменателе многочлен находится под корнем. Подбираем ряд для сравнения 
.
1) Сначала нужно найти старшую степень знаменателя. Если бы не было корня, то, понятно, что старшая степень знаменателя равнялась бы четырем. Что делать, когда есть корень? Мысленно или на черновике отбрасываем все члены, кроме старшего: 
. Если есть константа, её тоже отбрасываем: 
. Теперь извлекаем корень: 
. Таким образом, старшая степень знаменателя равна двум.
2) Выясняем старшую степень числителя. Очевидно, что она равна единице.
3) Из старшей степени знаменателя вычитаем старшую степень числителя: 2 – 1 = 1
Таким образом, наш ряд нужно сравнить с рядом 
, то есть, с расходящимся гармоническим рядом.
По мере накопления опыта решения эти три пункта можно и нужно проводить мысленно.
Само оформление решения должно выглядеть примерно так:
”
Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом 
. Используем предельный признак сравнения:
Получено конечное, отличное от нуля число, значит, исследуемый ряд расходится вместе с гармоническим рядом .
”
(1) Составляем отношение общих членов.
(2) Избавляемся от четырехэтажности дроби.
(3) Раскрываем в числителе скобки.
(4) Неопределенность 
устраняем стандартным способом деления числителя и знаменателя на «эн» в старшей степени.
(5) В самой нижней строке подготавливаем 
для внесения под корень: 
(6) В знаменателе организуем общий корень.
Примечание: на практике пункты 5,6 можно пропустить, я их очень подробно разжевал для тех, кто не очень понимает, как обращаться с корнями.
(7) Почленно делим числители на знаменатели. Помечаем члены, которые стремятся к нулю.
Пример 13
Исследовать ряд на сходимость 
Это пример для самостоятельного решения.
По мере накопления опыта решения примеров, вы будете сразу видеть, сходится такой ряд или расходится. Например, рассмотрим ряд 
. Ага, 3 – 1 = 2, значит, ряд нужно сравнить со сходящимся рядом , и сразу можно сказать, что наш исследуемый ряд тоже сходится. Дело за малым – осталось аккуратно оформить стандартное рутинное решение.
Вот, пожалуй, и все начальные сведения о положительных числовых рядах, которые потребуются вам при решении практических примеров. Следующий урок по теме числовых рядов – Признаки сходимости рядов. Признак Даламбера. Признаки Коши
Желаю успехов!
Решения и ответы:
Пример 2: 
Примечание: обратите внимание, что переменная-«счётчик» в данном примере «заряжается» со значения 
Пример 5: 
Пример 7:
Делим числитель и знаменатель на 
Исследуемый ряд расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.
Пример 9:
Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом 
.
Используем признак сравнения:
Если , то 
Если 
, то 
Если 
, то 
Таким образом, для всех членов ряда выполнено неравенство 
, значит, по признаку сравнения исследуемый ряд расходится вместе с гармоническим рядом .
Примечание: И здесь есть неформальный смысл. Доказано, что гармонический ряд расходится, следовательно, сумма его членов: 
. Мы показали, что члены ряда 
ещё больше членов ряда , и совершенно понятно, что сумма ряда не может быть меньше бесконечности.
Пример 11:
Сравним данный ряд с расходящимся рядом 
. Используем предельный признак сравнения:
Получено конечное, отличное от нуля число, значит, исследуемый ряд расходится вместе с рядом .
Пример 13:
Эти 3 пункта выполняем мысленно или на черновике:
1) Старшая степень знаменателя:4
2) Старшая степень числителя: 1
3) 4 – 1 = 3
Сравним данный ряд со сходящимся рядом 
. Используем предельный признак сравнения:
Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд сходится вместе с рядом .
Автор: Емелин Александр