T=2π√J/mga (14)
Приведенный длиной физического маятника называется длина такого маятника, у которого период колебания совпадает с периодом данного физического маятника.
Колебания тел под действием упругой и квазиупругой сил называются свободными или собственными колебаниями.
СВЯЗАННЫЕ КОЛЕБАНИЯ.
В технике на ряду со свободными колебаниями часто встречаются связанные колебания. Совокупность двух или нескольких тел (маятников), каким-либо образом связанных между собой, представляет связанную систему. Простейшим примером связанной системы является два физических маятника с массами m1 и m2, соединённые жёсткой пружиной П (рис.5).
(рис. 5)
Система двух маятников является системой с двумя степенями свободы. Каждый маятник массой m, взятой в отдельности, находится в колебательном движении с собственной частотой колебаний 
0, которая называется ПАРЦИАЛЪНОИ ЧАСТОТОИ. При наличии пружины колебания одного маятника возбудят через связь колебания второго. При любом способе возбуждения собственные колебания связанных маятников представляют собой сложение двух гармонических колебаний. Собственные колебания связанных систем 1 и 2 называются НОРМАЛЬНЫМИ ЧАСТОТАМИ КОЛЕБАНИЯ. Нормальные частоты зависят от физических параметров маятников: длины, массы грузов, жёсткости пружины и места её прикрепления к маятнику.
В связанных системах наиболее часто встречаются синфазные и антифазные колебания. Синфазные колебания можно наблюдать, если отклонить оба маятника на один и тот же угол и одновременно отпустить. Антифазные колебания наблюдаются при отклонении обоих маятников на одинаковое расстояния, но в разные стороны.
В связанных системах происходит передача энергии от одного тела к другому: в начальный момент энергией обладает только первый маятник, при колебаниях массы m1 потенциальная энергия пружин переходит в кинетическую энергию массы m2, первая масса постепенно начинает раскачивать вторую. Амплитуды колебаний тела с массой m1 убывает, а второго m2 — возрастает, через некоторый промежуток времени всё происходит наоборот. Скорость передачи энергии зависит от различия частот нормальных колебаний ( 1 и 2): чем больше их разность, тем быстрее происходит передача энергии.
Колебания в связанных системах при наличии трения становится затухающими.
Под действием гармонической внешней силы F=FSin t, приложенной к одному из связанных маятников, оба маятника будут совершать вынужденные колебания. Амплитуды колебаний будут зависеть от частоты вынуждающей силы. Резкое увеличение амплитуды колебаний (резонанс) будет наблюдаться тогда, когда одна из собственных частот связанных маятников близка к частоте внешней силы. Особый интерес представляет случай, когда при какой-то частоте вынуждающей силы амплитуда А колебаний становится очень малой. Это явление используется для демпфирования (гашения) нежелательных колебаний. Применение свободных колебаний для демпфирования вибраций возможно в тех случаях, когда вредные вибрации имеют постоянную частоту.
Пусть имеется часть машины массой М, колеблющаяся с частотой (рис.6). На машину действует возмущающая внешняя сила:
F=F0Sin t
Сильная раскачка машины очень опасна, колебания необходимо погасить. Гаситель колебаний состоит из малой массы m, связанной через пружину с колеблющейся частью машины М. Собственная частота подбирается равной частоте возмущающейся силы. Малая масса колеблется так, что упругая сила её пружины во всякий момент времени будет равна и противоположна силе F0= Sin t. На массу М при выбранных условиях действует результирующая сила, равная нулю, и она находится в покое.
В технике применяются динамические демпферы для устранения опасных крутильных колебаний коленчатых валов двигателей внутреннего сгорания.
(рис. 6)
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ.
Установка (рис.7) состоит из бифилярного подвеса с математическим маятником и штатива, на котором подвешены два физических маятника, связанных пружиной. Пружина связи легко снимается. Цилиндрические грузы массой m1 и m2 могут перемешаться вдоль стержней. Массы цилиндров указаны на установке.
ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ.
1.ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СИЛЫТЯЖЕСТИ.
I).Измеряют длину математического маятника ℓ.
2).Отклоняют маятник на небольшой угол (около 5-60) относительно положения равновесия и отпускают шарик, предоставив ему свободно колебаться.
В момент наибольшего отклонения маятника пускают в ход секундомер и отсчитывают время t, в течении которого маятник совершает 2О-3О(n) колебаний. Измерение времени производится три раза и вычисляют:
tср.=(t1+t2+t3)/3
3) По результатам измерения времени (tср.)n (20-30) полных колебаний рассчитывают период (Т) колебаний математического маятника по формуле:
T=tср./n
4) Все результаты измерений заносят в таблицу 1:
| ℓ | ℓср. | t | tср. | n | Tср. | gср. | ∆g |
5)Вычисляют ускорение силы тяжести g по формуле:
g=4π2ℓ/T2
6).Вычисляют абсолютную и относительную погрешности определения g и результат записывают в виде:
gист.=gср.±∆g
2. ИЗУЧЕНИЕ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА.
1) Закрепляют груз (цилиндр) физического маятника в самое крайнее верхнее положение на стержне.
2) Отклоняют маятник относительно положения равновесия на небольшой угол (до 100) и отпускают его.
3) Измеряют три раза время (t) 20-30 (n) полных колебаний маятника и вычисляют период колебаний по формуле:
T1=tср./n
4) Перемещают цилиндр маятника в среднее положение, а затем в самое крайнее нижнее положение и аналогичным образом определяют период колебаний Т2 и Т3
5) Результаты измерений закосят в таблицу 2.
6) По результатам вычислений Т1,Т2 и Т3 строят график зависимости периода колебаний физического маятника от положения груза.
7) По результатам вычислений периода колебаний Т3 физического маятника (для самого крайнего нижнего положения цилиндра) вычисляют момент инерции по формуле:
J=T32mga/4π2
Таблица 2.
Где m - масса груза (цилиндра) 480 гр.,
g - ускорение силы тяжести.,
a - расстояние от точки подвеса до центра тяжести маятника (среднее из 3-х измерений).
В полученный опытный результат для момента инерции сравнивают с теоретическим значением, определяемым уравнением Штейнера:
J=½mr2+ma2
Где r — радиус сплошного цилиндра маятника.
9) Все результаты измерений и вычислений заносят в таблицу 2.
1О) Рассчитывают абсолютную и относительную погрешность определения З опытного и результат записывают в виде:
J=Jср. ±∆J
3. ИЗУЧЕНИЕ СВЯЗАННЫХ СИСТЕМ.
1) Устанавливают цилиндр второго физического маятника на том же расстоянии a от точки подвеса и определяют период его колебаний Т3 так же, как и для первого маятника.
2) Определяют парциальные частоты колебаний обоих физических маятников формулам:
ω01=2π/T3 и ω02=2π/T3
З) Соединяют два физических маятника пружиной с коэффициентом жёсткости К и определяют частоту синфазных и антифазных колебаний:
ω=2π/Т
Для получения синфазных колебаний отводят оба маятника от положения равновесия в одну сторону на одинаковый угол £=6-80 определяют время 2О-3О колебаний. Антифазные колебания получают, отводя маятники от положения равновесия в разные стороны на одинаковый
угол.
4) Результаты измерений заносят в таблицу 3.
Таблица З
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ.
1. Какие колебания называются гармоническими?
2. Какая разница между упругой и квазиупругой силами?
3. Что такое период, частота и фаза колебания?
4. Какой маятник называется математическим?
5. Что такое физический маятник?
б. Как рассчитывать период колебания физического маятника?
7. Как определить приведённую длину физического маятника?
8. Какие колебания называются связанными?
9. Какие колебания называются синфазными, какие антифазными?
10.Что такое резонанс при вынужденных колебаниях в связанных системах?
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Савельев И.В. Курс общей физики. Учебное пособие: СПБ изд.«Лань» 2006г.
2. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики. СПБ: «Книжный мир» 2003г.
3. Трофимова Т.И. Курс физики. Учебное пособие для ВУЗов. М: «Высшая школа» 2003г.