Z-преобразование и его свойства

Как уже отмечалось, цифровая обработка сигналов есть не что иное, как обработка последовательностей (дискретных значений сигнала). Для обработки непрерывных функций существует мощный математический аппарат, построенный на базе преобразования Лапласа. Но применение этого преобразования к последовательности невозможно. Оно производится только над функциями. Z-преобразование является, в некотором смысле, аналогом преобразования Лапласа для последовательностей.

Z-преобразование над последовательностью задается следующей формулой:
(3.2.1)

Поясним некоторые моменты. Что такое ? - это обычная комплексная переменная. Предположим, что у нас имеется последовательность, состоящая всего из четырех членов:

(3.2.2)

тогда Z-преобразование этой последовательности согласно формуле (3.2.1) будет таким:

(3.2.3)

Другими словами при помощи Z-преобразования мы получили из дискретной последовательности непрерывную функцию . При этом необходимо заметить, что это не просто функция, а функция комплексного переменного. То есть, определена на комплексной плоскости , и значения - тоже комплексные величины. Данное преобразование называется прямым. Существует и обратное Z-преобразование, когда из функции комплексного переменного может быть получена исходная последовательность , но такое преобразование используется редко, и здесь его рассматривать мы не будем.

Рассмотрим некоторые свойства Z-преобразования.

Свойство 1: линейность.

Это свойство можно описать так: если последовательности соответствует Z-преобразование , а последовательности соответствует Z-преобразование ,

(3.2.4)

то суперпозиции этих последовательностей соответствует суперпозиция их Z-преобразований:

(3.2.5)
и здесь - обычные коэффициенты.

Докажем свойство линейности Z-преобразования. Для этого найдем Z-преобразование последовательности . Согласно формуле (3.2.1) оно может быть получено так:

(3.2.6)

Что и требовалось доказать.

Свойство 2: Z-преобразование задержанной последовательности.

Если последовательности соответствует Z-преобразование

, (3.2.7)

то такой же последовательности, но задержанной на отсчетов соответствует Z-преобразование .

(3.2.8)

То есть задержка последовательности приводит к домножению ее Z-преобразования на . Докажем это. Для этого найдем в соответствии с формулой (3.2.1) Z-преобразование последовательности :

(3.2.9)

Сделаем замену: , . Следовательно, если , то , и если , то .

Получаем:

. (3.2.10)

Что и требовалось доказать.

Свойство 3: Z-преобразование свертки последовательностей.

Если последовательности соответствует Z-преобразование , а последовательности соответствует Z-преобразование

, (3.2.11)
то дискретной свертке последовательностей и соответствует произведение их Z-преобразований:

. (3.2.12)

Докажем это. Для этого найдем в соответствии с формулами (3.2.1) и (2.3.1) Z-преобразование свертки последовательностей и :

(3.2.13)

Меняем порядок суммирования и получаем:

(3.2.14)

Но это есть Z-преобразование от задержанной последовательности и согласно свойству 2 равно . Следовательно:

(3.2.15)

Что и следовало доказать.

Дискретные цепи

Дискретная цепь – это вычислительное устройство в котором выполняются операции над массивом чисел в результате чего получаем массив чисел.

Дискретная свертка. В предыдущих разделах этой главы бала установлена определенная аналогия между соотношениями, суще­ствующими для аналоговых и дискретных сигналов. Подобная ана­логия существует и между методами анализа и синтеза аналоговых и дискретных цепей.

Под дискретной цепью понимают любое устройство, кото­рое преобразует одну последовательность x{k} в другую y{k) (рис. 19.24).

Линейной дискретной цепью называют цепь подчиняющуюся принципу суперпозиции.

Связь между входным дискретным сигна­лом х{ k} (воздействием) и выходным сигналом y{k) (отсчетом) определяется дискретной сверткой (сравни с (8.12)):

 

 

где h(k) — импульсная характеристика дискретной цепи. Она оп­ределяется как отклик дискретной цепи на воздействие в виде еди­ничного импульса (δ-функция, рис. 19.4).

Иногда свертку (19.35) записывают символически: y(k) = x(k)* h(k) (см. теорему свертки, § 19.3).

Вычисления по формуле (19.35) можно выполнить также с помощью про­стого устройства. Запишем последовательности чисел x(k) и h(—k) на отдель­ных полосках бумаги, как показано на рис. 19.27. На обеих полосках пометим маленькими стрелочками точки k = 0. Обратим внимание на то, что h(—k) яв­ляется обратной последовательностью относительно h(k), так что она строится в обратном направлении от k = 0. Будем сдвигать нижнюю полоску относи­тельно верхней в направлении стрелки. Вычисление суммы произведений стоя­щих друг против друга чисел при каждом сдвиге дает последовательность y(k).

других аналоговых цепей. Таким образом формула дискретной свертки (19.35) является достаточно универсальной, пригодной для описа­ния как аналоговых, так и дискретных цепей.

Пример. На вход цепи поступает сигнал в виде дискретной δ-функции. Рассчитаем выходные последовательности y(k) цепей, имеющих дискретные импульсные характеристики

Все остальные отсчеты выходной последовательности у {k} повторяют соответствующие отсчеты дискретной импульсной характеристики h(k), также как и в двух предыдущих случаях а) и б). Этот вывод очевиден, т. к. им­пульсная характеристика — это реакция цепи на 5-импульс.

Графики y(k) будут такими же, как графики h(k) на рис. 19.29, что яв­ляется очевидным, т. к. h(k) по определению есть реакция цепи на δ-функцию.

Элементы дискретных цепей. Как следует из уравнения (19.35) при вычислении реакции дискретной цепи на заданное воздействие выполняется всего три операции: умножение, задержка и сложение.

На рис. 19.30 эти действия представлены в виде элементов структурной схемы. Операцию умножения дискретного сигнала x(k) на число К можно представить в виде усилителя с коэффици­ентом усиления К. На его выходе получаем сигнал y(k) = K·x(k). Сложение чисел естественно отобразить на схеме в виде сумматора. Получение отсчета x(k - 1) = x(kT - Т) из x(k) =x(kT) можно связать с задержкой последнего на время T, т. е. на один «такт». Действие элемента задержки поясняется на рис. 19.30.

Таким образом, алгоритм вычислений дискретного сигнала y(k), описываемый выражением (19.35), можно представить в виде структурной схемы.

Пример. Составим структурную схему цепи, дискретная импульсная ха­рактеристика которой дана в предыдущей задаче, т. е. h{k) = {—1; 1; 2} (рис. 19.25).

В соответствии с алгоритмом (19.35) и с учетом заданных значений харак­теристики Л(/г) структурная схема цепи приведена на рис. 19.32. По этой схе­ме несложно определить выражение для выходной последовательности

Как следует из рис. 19.30 и рис. 19.31 общим свойством элемен­тов дискретных цепей является их однонаправленное действие, пока­занное на рисунках стрелками. С точки зрения топологии, элементы дискретных цепей представляют собой двухполюсные (элемент за­держки, умножитель) или многополюсные элементы (сумматор).

Общее уравнение дискретных цепей. Из уравнения (19.35), рассмотренных примеров и рис. 19.32 отклик дискретной цепи y(k) на воздействие x(k) можно записать в виде следующего уравнения

 

где a0,a1,a2,…aN -некоторые числа (веса) представляющие со­бой по сути отсчеты импульсной характеристики цепи.

Уравнению (19.37) соответствует дискретная цепь, изображен­ная на рис. 19.33. В литературе эту цепь называют иногда транс-версальным фильтром.

Как следует из (19.37) для получения k-го отсчета выходного сигнала подвергаются обработке (k — N) отсчетов входного сигна­ла с соответствующими весовыми коэффициентами.

Следует однако отметит», что уравнением (19.37) не исчерпы­ваются все возможные алгоритмы работы дискретных цепей. В ча­стности, этот алгоритм может включать обработку не только отсче­тов входного, но и отсчетов выходного сигнала, сдвинутого на оп­ределенное число тактов. Поэтому наиболее общее уравнение дис­кретной цепи имеет следующий вид

где b1 — весовые коэффициенты.

На рис. 19.34 изображена схема дискретной цепи, соответст­вующей алгоритму (19.38).

Принципиальным отличием схемы, изображенной на рис. 19.34 от схемы на рис. 19.33 является наличие цепи обратной связи, поэтому схемы, описываемые уравнением (19.38), получили на­звание рекурсивных, а цепи, описываемые (19.37), — нерекур­сивных.

Для нахождения реакции дискретной цепи необходимо решить разностные уравнения (19.37) и (19.38). Если решение (19.37) обычно не представляет особого труда, то для решения (19.38) не­обходимо использовать специальные методы. По аналогии с реше­нием дифференциальных уравнений, описывающих аналоговую

цепь, решение разностных уравнении можно осуществить как клас­сическим, так и операторным методом. Обычно для решения разностных уравнений в теории дискретных цепей используется опе­раторный метод, причем вместо преобразования Лапласа используют z-преобразование.

Передаточные функции. При анализе и синтезе дискретных систем важнейшую роль играют передаточные или системные функции цепей.

Применим к уравнению (19.38) прямое z-преобразование и учтя основные свойства z- преобразования (см. § 19.3), получим

Сравнение (19.41) и (19.42) показывает, что роль коэффициентов аk играют отсчеты импульсной характеристики /i(k). Нетрудно также видеть, что импульсная характеристика нерекурсивной цепи согласно (19.37) является конечной, а рекурсивной согласно (19.38) бесконеч­ной, поэтому иногда нерекурсивные дискретные цепи называют це­пями с конечной импульсной характеристикой (КИХ), а рекур­сивные — с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ).

 

При а = 1; b= 0 получаем идеальный интегратор с импульсной характери­стикой h{k) = {1, 1,..., 1,...}. По нерекурсивной схеме такую импульсную ха­рактеристику реализовать нельзя.

Анализ (19.40) показывает, что передаточная функция рекур­сивной цепи имеет структуру, аналогичную типичной передаточной функции цепи с ОС (см. гл. 14). H(z) является дробно-рациональ­ной функцией относительно z-1:

Из (19.40) и (19.41) также следует, что H(z) из (19.40) имеет полюса (нули полинома знаменателя), которые могут располагаться в любой точке z-плоскости, а H(z) из (19.41) только полюс кратно­сти N в начале координат.

Пример. Найдем передаточную функцию элемента задержки. Сигнал на его выходе описывается уравнением

Пример. Найдем импульсную характеристику и передаточную функцию дискретной цепи (рис. 19.36), выходная последовательность которой задана выражением y(k) = 4x(k) — 1,5x(k — 1).

Отсчеты дискретной импульсной характеристики h(k) — это отсчеты y(k), рассчитанные при условии, что на вход цепи подается дискретная δ-функция.

Таким образом, отсчеты дискретной импульсной характеристики h{k} = {4; —1,5} соответствуют коэффициентам усиления усилителей в схеме (рис. 19.36).

Для нахождения передаточной функции Я(г) воспользуемся формулой (19.42):

Зная передаточную функцию дискретной цепи H(z) с помощью формулы

 

Y(z) = X(z)H(z) (19.43)

 

можно найти z- изображение выходного сигнала Y(z) по z-изображению входного Y(z).

Для нахождения отсчетов выходного сигнала y(k) по его 2-нзображеншо Y(z) можно точно также как и для аналоговых цепей использовать теорему разложения (см. § 7.2), которая применительно к дискретным цепям для пра­вильной дробно-рациональной функции Y(z) = P(z)/Q(z) (где P(z), Q(z) — полиномы) имеет вид

Следует отметить, что отсчеты y(k) для нерекурсивной цепи мо­гут быть найдены как коэффициенты при отрицательных степенях z в уравнении для Y(z).

Пример. Найдем отсчеты выходного сигнала y(k) дискретной цепи, 2-нзоб-раженпе которой приведено на рис. 19.38, а входной сигнал x{k) = {—2; 1; 2; —1}.

Найдем z- изображение входного сигнала х(k):

 

Из рис. 19.34 следует, что для реализации алгоритмов рекур­сивной обработки сигнала дискретная цепь должна иметь большое количество ячеек памяти, что существенно усложняет схему. Для упрощения дискретной цепи используют, так называемую канони­ческую схему. Каноническая схема может быть получена из (19.40), если представить Y(z) в виде:

Тогда согласно (19.45) алгоритм дискретной обработки сигнала заключается в том, что вначале реализуется рекурсивное преобра­зование (19.46), а затем нерекурсивное (рис. 19.41).

 

Устойчивость рекурсивных цепей. Дискретная цепь считается неустойчивой, если ограниченное по амплитуде входное воздейст­вие вызывает на ее выходе бесконечно нарастающий отклик. На­оборот, дискретная цепь устойчива, когда отклик на ограниченное воздействие также ограничен.

Известно, что у устойчивой аналоговой цепи полюсы передаточ­ной функции располагаются в левой полуплоскости переменной р. При переходе от аналоговой цепи к дискретной и замене преобра­зования Лапласа z-преобразованием точки левой полуплоскости p-плоскости переходят в точки, лежащие внутри единичной окруж­ности z-плоскости (рис. 19.16). Таким образом, полюсы передаточ­ной функции устойчивой дискретной цепи располагаются внутри единичной окружности z-плоскости.

Нерекурсивные цепи всегда устойчивы.

Из (19.47) легко получить амплитудно-частотную и фазо - частотную характеристики дискретной цепи. В частности, амплитудно-частотная характеристика будет представлена выражением

На рис. 19.44 изображен график АЧХ Н(Ω) цепи. Из рисунка видно, что АЧХ с передаточной функцией (19.49) соответствует ФНЧ Баттерворта. Как и следовало ожидать, амплитудно-частотная характеристика дискретной цепи яв­ляется периодической функцией (так как H(jΩ) есть преобразование Фурье от Дискретной импульсной реакции). Ее период равен fд =1/Т или Ω =fд·T = 1. Поэтому она используется в диапазоне частот от 0 до 0,5 fд (или до Ω = 0,5). Цепь устойчива.

 

 

Пример. Изменим коэффициенты усиления в предыдущем примере. Выбе­рем ac= a2 = 1, а1 = — 2. Вновь найдем выражение Н(Ω) и построим график его амплитудно-частотной характеристики.

Заменим в формуле для H(Ω), полученной в предыдущем примере, значе­ния коэффициентов a0, a1 и a2. Получим

График АЧХ изображен на рис. 19.46. Из графика видно, что нерекурсив­ная цепь с такими значениями коэффициентов усиления — это режекторный фильтр.