Тема 1.1 Матрицы и определители.
Основные понятия.
Матрицей называется множество чисел, образующих таблицу, которая содержит m строк и n столбцов.
Для обозначения матриц принята следующая запись:
или
Числа 
, входящие в состав данной матрицы, называются ее элементами. В записи первый индекс i означает номер строки, а второй индекс j — номер столбца.
Элемент матрицы будет находиться на пересечении i -той строки и j -того столбца.
У каждого элемента свое местоположение, и изменять их нельзя!
Виды матриц.
В зависимости от размера матрицы, вида и размещения элементов выделяют такие виды матриц:
· Если 
матрица называется прямоугольной размерностью m на n ( m x n).
· Если 
матрица называется квадратной. В этом случае число n называется порядком матрицы.
Например, B - квадратная матрица третьего порядка.
Элементы квадратной матрицы, имеющие одинаковые первый и второй индекс (b11 b22 b33), образуют главную диагональ. Элементы b13 b22 b31 этой матрицы образуют побочную диагональ.
· Если все элементы матрицы, кроме диагональных, равны нулю, матрица называется диагональной.
Например, 
· Если в диагональной матрице элементы равны, то матрица называется скалярной.
Например, 
· Квадратная матрица, независимо от ее порядка, называется единичной матрицей, если элементы ее главной диагонали равны единице, а все остальные элементы равны нулю. Такую матрицу обозначают Е.
Например, 
· Если матрица состоит только из одной строки (столбца), то она называется матрицей-строкой (матрицей-столбцом) или вектором.
Например, 
· матрицу размером 
называют скаляром - 
· Как и у чисел, у матриц существует матрица, выполняющая роль нуля, - нулевая матрица. Это матрица, все элементы которой равны нулю.
· Квадратная матрица, в которой все элементы ниже или выше главной диагонали равны нулю, называется треугольной. Если нули расположены ниже главной диагонали, то матрица верхнетреугольная, а если выше – нижнетреугольная.
Две матрицы считаются равными, если строение матриц (число строк и столбцов) одинаково и равны элементы, лежащие на пересечении соответствующих строк и столбцов, т.е.
Матрица –А, каждый элемент которой является противоположным соответствующим элементам матрицы А, называется противоположной матрице А.
Линейные операции над матрицами.
1. Суммой матрицА и В называют такую матрицу, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В.
Складывать можно только матрицы, имеющие одинаковое строение: или прямоугольные типа m x n, или квадратные порядка n.
Пусть 
Тогда сумма матриц С=А+В имеет вид:
В частности, А-В=А+(-В)
2. Произведением матрицы А на число k называется такая матрица kA, каждый элемент которой равен kaij, т.е. умножение матрицы на число сводится к умножению на это число всех элементов матрицы.
Если 
, то 
Так как сумма (разность) матриц и умножение матрицы на число сводится к сложению (вычитанию) и умножению чисел, то эти операции подчиняются основным законам сложения и умножения:
1) A + B = B + A (коммутативность сложения матриц);
2) (A + B) + C = A + (B + C) (ассоциативность сложения матриц);
3) A + O = A;
4) A + (–A) = O;
5) α⋅(βA) = (α⋅β)A (ассоциативность относительно умножения чисел);
6) (α+β)A = αA+ βA (дистрибутивность умножения на матрицу относительно сложения чисел);
7) α(A + B)= αA+ αB (дистрибутивность умножения на число относительно сложения матриц);
8) E⋅A = A.
Пример.
Даны матрицы 
; 
.
Найти 2 А + В.
Решение.
,
.