И «логический квадрат»
Чтобы определить, какие логические отношения существуют между описанными типами простых категорических суждений, уточним условия их истинности, т. е. формально опишем их семантику [12]. Для этого нам понадобятся уже известные круговые схемы.
Общеутвердительные сужденияистинны при двух соотношения S и P:
 |
Все S суть P
S, P P
S
I. II.
Соотношение I можно проиллюстрировать примерами:
Все студенты – суть учащиеся высших гражданских учебных заведений.
Вольфганг Амадей Моцарт – автор «Волшебной флейты».
Последний пример иллюстрирует случай, когда субъект и предикат – фактически единичные термины (первый задан именем собственным, а для второго предполагается необязательная единичность авторства).
Примеры для соотношения II:
Все лошади хвостатые существа.
Росинант был хвостат.
Говоря о частноутвердительных суждениях, заметим сначала, что они истинны при соотношениях I и II. Это может показаться неожиданным и неестественным. Дело здесь в трактовке квантора «некоторые», которая может быть двоякой: слабой и сильной. В повседневной практике мы чаще используем сильную трактовку, как например в высказывании
Некоторые студенты сдали зачёт
Если спросить говорящего, что он хочет этим сказать, то ответ будет таким:
Некоторые студенты сдали зачёт, а некоторые – нет.
Иными словами, сильная трактовка квантора «некоторые» позволяет в одном суждении выразить два. Но сохраняется ли она в этом втором суждении? Конечно нет, и здесь перед нами слабая трактовка, при которой
Некоторые студенты сдали зачёт
означает лишь, что по крайней мере один студент сдал зачёт, а
некоторые – нет,
что по крайней мере один студент зачёта не сдал.
Выражения «по крайней мере», «по меньшей мере», «существует» и т. п. равнозначны слабому квантору «некоторые» и говорят они следующее: существует самое меньшее один предмет, который …
«Сила» и «слабость» выражения в логике связана с объёмом информации, которую это выражение несёт. А сильнее В, когда информация, содержащаяся в А,включает в себя информацию, содержащуюся в В. Например, суждение
Все люди надеются на лучшее
сильнее суждения
Все жители деревни Ложки надеются на лучшее.
Точно так же и сильное «некоторые» позволяет выразить два суждения в одном.
В логике мы должны ориентироваться на более слабые случаи чего бы то ни было, поскольку, если логический вывод удался нам для слабого случая, то для сильного он удастся тем более. Потому семантика квантора «некоторые» у нас будет слабая, т. е. «некоторые» означает «по крайней мере один». Отсюда становится понятным, почему соотношения I и II верны для частноутвердительных суждений, ведь если все S суть P, то и по крайней мере один – тоже.
Итак, частноутвердительные суждения истинны при следующих соотношениях S и P:
Некоторые S суть P
 |
SP SP
I, II, III IV
Примеры для всех четырёх соотношений:
Некоторые студенты – суть учащиеся высших гражданских учебных заведений.
Некоторые лошади хвостаты.
Некоторые лошади участвуют в спортивных состязаниях.
Некоторые европейцы французы.
Семантика общеотрицательных суждений более проста:
Ни одно S не суть P
 |  |
SP
V
Единственное соотношение можно проиллюстрировать примером:
Ни одна лошадь не слон.
При описании семантики частноотрицательных суждений снова помним о слабой трактовке квантора «некоторые». Именно поэтому соотношение V делает частноотрицательное суждение истинным. Кроме него действуют ещё два соотношения:
Некоторые S не суть P
|
SP S P
V, III IV
Примеры для всех трёх соотношений:
Некоторые лошади не слоны.
Некоторые лошади не участвуют в спортивных состязаниях.
Некоторые европейцы не французы.
Суммируем теперь всю информацию об условиях истинности простых категорических суждений с использованием математической символики:
а. Все S суть P истинно Û S Í P или S Ç не- P = Æ
i. Некоторые S суть P истинно Û S Ç P ¹ Æ
e. Ни одно S не суть P истинно Û S Ç P = Æ
о. Некоторые S не суть P истинно Û S Ç не- P ¹ Æ.
Это поможет нам в установлении логических отношений между простыми категорическими суждениями. Но прежде чем мы перейдём к ним, процитируем фрагмент из работы Аристотеля «Об истолковании», в которой создатель логики впервые описывает эти отношения:
Так как одни предметы – общие, а другие – единичные (общим я называю то, что может по природе сказываться о многом, а единичным – то, что не может этого; например, «человек» есть общее, а Каллий –единичное), то необходимо высказывать, присуще или не присуще что-то чему-то как общему или как единичному. Поэтому если об общем высказываются как об общем, что ему нечто присуще или не присуще, то эти высказывания будут противоположными друг другу. Говоря «высказываться об общем как об общем», я разумею, например, «каждый человек бледен – ни один человек не бледен». Когда же высказываются об общем, но не как об общем, такие высказывания не противоположны друг другу, хотя выраженное в них может иногда быть противоположным. Говоря «высказываться об общем не как об общем», я разумею, например, «человек бел – человек не бел»; в самом деле, хотя «человек» есть нечто общее, но в высказывании он не рассматривается как общее, ибо «каждый» означает не общее, а то, что о чем-то высказывают как об общем. Но неправильно об общем сказуемом сказывать как об общем, ибо ни одно утверждение не бывает истинным, в котором об общем сказуемом сказывают как об общем, например «каждый человек есть каждое живое существо».
Итак, я говорю, что утверждение противолежит отрицанию по противоречию, если одно обозначает нечто как общее, а другое – то же не как общее, например: «каждый человек бледен – не каждый человек бледен», «ни один человек не бледен – есть некий бледный человек». По противоположности противолежат друг другу утверждение общего и отрицание общего, например «каждый человек справедлив – ни один человек не справедлив». Вот почему противоположные [высказывания] не могут быть вместе истинными. Противолежащие же [по противоречию] [высказывания] об одном и том же могут иногда быть истинными, например: «не каждый человек бледен» и «есть некий бледный человек». Итак, из противоречащих друг другу [высказываний] об общем, взятых как общие, одно необходимо истинно, а другое ложно. Это относится и к единичным, [противоречащим друг другу] высказываниям, например: «Сократ бел» и «Сократ не бел». Если же высказывания об общем взяты не как общие, то не всегда одно истинно, а другое ложно, ибо в одно и то же время будет правильно говорить, что человек бледен и человек не бледен, что человек красив и человек не красив (ибо если он безобразен, он не красив, и если он становится красивым, он [еще] не красив). С первого взгляда это покажется нелепым, ибо представляется, что высказывание «человек не бледен» означает в то же время, что ни один человек не бледен; однако эти высказывания не означают одного и того же, и они не необходимо [истинны или ложны] в одно и то же время.
Очевидно также, что одному утверждению соответствует лишь одно отрицание, ибо отрицание должно отрицать именно то же, что утверждает утверждение, и именно относительно того же самого, все равно, единичное ли это или общее и взято ли оно как общее или не как общее. Я имею в виду, например, «Сократ бледен – Сократ не бледен». Если же отрицается относительно одного и того же нечто иное или одно и то же, но относительно чего-то иного, то отрицание не противолежит утверждению, оно будет отлично от него. Так вот, [высказыванию] «каждый человек бледен» противолежит [высказывание] «не каждый человек бледен»; [высказыванию] «некий человек бледен» – «ни один человек не бледен»; [высказыванию] «человек бледен» – «человек не бледен».
Итак, сказано, что одному утверждению противолежит по противоречию одно отрицание, и сказано, какие они, а также и то, что противоположные высказывания иные, и какие они, и что не всякое противоречие истинно или ложно, и почему это так, и когда оно истинно или ложно.[13]
Из текста Аристотеля следует, что при некоторых S и P различные составленные из них суждениябудут находиться в следующих соотношениях:
а и е находятся в отношении противоположности (другой термин – контрарности),
i и о находятся в отношении совместимости,
а и о, e и i противоречат друг другу (контрадикторность),
i подчинено а и
о подчинено е.
Удобнее всего изобразить эти отношения в виде схемы, которая получила название «логический квадрат»:
S Ç не- P = Æ a e S Ç P = Æ
S Ç P ¹ Æ i o S Ç не- P ¹ Æ.
Здесь двойной штриховой пунктир обозначает противоположность, сплошная линия – противоречие, точечный пунктир – совместимость, а стрелки – подчинение.
Очевидно, что перечисленные выше отношения между сужениями имеют место. Поясним, тем ни менее, различия между противоречием и противоположностью.
Отношение противоположности является более слабым, нежели отношение противоречия. Суждения, связанные отношением противоположности – а и е, очевидно, не могут быть одновременно истинными, но вполне могут быть одновременно ложными. Так обстоит дело с суждениями «Все лошади белые » и «Ни одна лошадь не бела », которые одновременно ложны. Это значит, что из истинности произвольного общеутвердительного суждения Все S суть Р следует ложность суждения Ни одно S не суть Р, но из его ложности нельзя заключить ничего определённого. Так, например, из ложности суждения «Все лошади белые » не следует, что «Ни одна лошадь не бела », и суждение это также ложно. Но при ложности суждения «Все лягушки разумны » суждение «Ни одна лягушка не есть разумное существо » истинно. Это значит, что однозначно ответить на вопрос о значении е при ложности соответствующего а нельзя. Точно так же обстоит дело и с суждением типа е в отношении сужения типа а.
Отношение противоречия более сильное, поскольку оно связывает суждения, одно из которых обязательно истинно, а другой – обязательно ложно. Противоречие связывает суждения типов а и о, а также е и i – в обоих случая одной из суждений общее, а второе частное, но противоположное по качеству, выступающее в роли контрпримера, опровергающего общее положение. Так, если кто-то утверждает, что
Все студенты прогуливают лекции,
то опровергнуть это утверждение можно, приведя всего один пример студента, который не прогулял ни одной лекции. Но именно благодаря этому студенту окажется истинным суждение
Некоторые студенты не прогуляли ни одной лекции.
Точно так же следует действовать при опровержении общеотрицательных суждений:
Никому из грибников в этом сезоне не удавалось собрать больше
двадцати белых грибов зараз.
Это суждение опровергается единичным примером – неким Петром Петровичем, который был удачливее всех, благодаря чему становится истинным суждение
Некоторым грибникам в этом сезоне удавалось набрать больше
двадцати белых грибов зараз.
Точно так же мы используем отношение противоречия, когда опровергаем утверждения о частных случаях на основании общего закона:
– Вот этот механизм – изобретённый мною вечный двигатель.
– Ни один механизм не является вечным двигателем.
– Может ли быть построена логика без закона тождества?
– Нет, все логические системы включают закон тождества.
Таким образом, если два суждения связаны отношением противоречия, то из истинности одного из них следует ложность другого, а из ложности – истинность.
Отношение подчинения очевидно – из истинности общего сужения следует истинность подчинённого ему частного. Это следует из той «слабой» трактовки квантора «Некоторые», которую мы описали выше. Заметим, что если в качестве общего суждения взято суждение единичное, то нельзя сформулировать подчинённого ему частного суждения.
Частные суждения разного качества – i и о совместимы, т. е. могут быть одновременно истинны: «Некоторые лошади белые » и «Некоторые лошади не белые ».
Руководствуясь логическим квадратом, легко можно формулировать суждения противоречащие, противоположные, подчинённые или совместимые с данным, – в зависимости от вида суждения для него существуют суждения, связанные с ним тем или иным из названных отношений.
Рассмотрим несколько примеров:
Ни один человек не прочёл всех книг.
Это суждение является общеотрицательным, поэтому для него можно сформулировать противоположное, противоречащее и подчинённое ему суждения. Запишем их последовательно в форме, близкой к логической.
Противоположное: Всякий человек суть тот, кто прочёл все книги;
противоречащее: Существуют люди, которые прочитали все книги;
подчинённое: Существуют люди, которые не прочитали всех книг.
Для частных суждений нет противоположных и подчинённых им, а есть только противоречащие и совместимые с ними. Например, для частноутвердительного суждения
Некоторые монархи правили свыше 30 лет.
получаем
противоречащее: Ни один монарх не правил свыше 30 лет;
совместимое: Некоторые монархи не суть те, кто правили свыше 30 лет.
Парадокс лжеца
Давая определение суждению, мы выше сказали, что суждением является мысль, относительно которой имеет смысл говорить, что она истинна или ложна. Суждение при этом в языке выражается предложением, а простое суждение – простым предложением. Однако существуют мысли, а значит, и предложения, которые, имея вид весьма простой, тем ни менее не могут быть квалифицированы ни как истинные, ни как ложные. На их существование обратили внимание ещё древние греки, сформулировавшие «Парадокс лжеца»:
– Если я говорю, что лгу и при этом лгу, лгу я или говорю правду?
– Ты говоришь правду.
– Если я говорю правду и при этом говорю, что лгу, я лгу?
– Очевидно, что ты лжёшь.
– Но если я говорю, что я лгу и при этом лгу, я говорю правду.
Более простыми вариантами этого парадокса является заявление стоящего перед студентами лектора:
То, что я сейчас говорю, – ложь,
или же, в совсем простом виде:
Я лгу,
или, с уточнениями:
На протяжении всей лекции я высказываю только ложные утверждения.
Попытаемся выяснить, истинны эти высказывания или ложны, ведь по своему грамматическому виду они ничем не отличаются от любых других. Будем исходить из закона исключённого третьего, согласно которому высказывание может иметь только два значения – «истина» или «ложь».
Возьмём саму простую форму – «я лгу ». Допустим, что автор высказывания говорит правду. Говорить правду означает высказывать нечто такое, что соответствует действительности. Но тогда соответствует действительности то, что он лжёт. Получается что гипотеза о том, что говорящий высказал истинное утверждение, приводит нас к выводу о том, что он высказал ложное утверждение. Очевидно, что такая гипотеза негодна.
Рассмотрим вторую возможность, а именно, допустим, что представленное высказывание является ложным. Ложным мы называем то, что не соответствует действительности. Значит, утверждение «я лгу » не соответствует действительности, и автор высказывания не лжёт. Снова противоречие: из предположения о том, что автор лжёт, мы получили вывод, что он не лжёт.
Читатель без труда воспроизведёт аналогичные рассуждения для всех прочих формулировок парадокса. Результат будет одинаковым: представленные суждения не являются ни истинными, ни ложными. Гипотеза об их истинности приводит к утверждению их ложности, откуда происходит переход к отрицанию их ложности. В итоге, высказывание и не истинно, и не ложно. Если же считать, что не быть истинным – это значит быть ложным, то мы получим рассуждение, вращающееся по кругу.
Вместе с тем, все представленные высказывания не являются бессмысленными, ведь мы понимаем, что хотим сказать. Парадокс возникает из-за того, что высказывания пытаются утверждать нечто сами о себе. Это не всегда приводит к парадоксам. Высказывание
Это высказывание истинно
говорит само о себе, но ничего странного не происходит: если оно истинно, то оно истинно, а если ложно, то ложно. Правда, нет никаких оснований ни для первого, ни для второго вывода. Такие высказывания называются необоснованными. А вот с утверждением о собственной ложности парадокс возникает. Интересно, что мы умеем как формулировать его, так и объяснять, почему он возник. Соответственно, при желании, можно так ограничить свободу построения высказываний, чтобы парадоксальные высказываний не возникали вовсе. Но это было бы лишним, поскольку у парадоксальных высказываний есть некоторые коммуникативные функции. Произнося парадоксальное высказывание, говорящий стремится спровоцировать слушателя на интеллектуальную активность, побудить его к исследованию феномена парадокса. Заметим, что если говорящий знает о парадоксальности своих слов, то он не делает утверждения, но только имитирует его для слушателей.
Вот ещё несколько вариантов «Лжеца»:
Это утверждение не истинно.
Правильный ответ на этот вопрос – нет?
 |
Высказывание, написанное на этом листе бумаги
и заключённое в рамку, ложно.
Парадокс могут создать и два высказывания или два субъекта:
Высказывание 1. Высказывание 2 ложно.
Высказывание 2. Высказывание 1 истинно.
Фома: То, что сейчас скажет Ерёма, – ложь.
Ерёма: То, что сейчас сказал Фома, – правда.
Допустим, что Фома высказывает истинное утверждение. Тогда Ерёма лжёт, и его утверждение о том, что Фома говорит правду, – ложь, значит, неверно, что Фома высказал истинно утверждение. Получаем противоречие. Допустим теперь, что Фома солгал. В этом случае Ерёма также лжёт, поскольку утверждает, что слова Фомы правда, и получается, что Фома высказал истинное утверждение о Ерёме. Снова получаем противоречие. Заметим, что это рассуждение проходит без закона исключённого третьего.
Упражнения
1. Сформулируйте суждения, противоречащие, противоположные и подчинённые (где это возможно) данным.
1) Ни один матрос не выписывает «Times» на дом.
2) Все садовники читают прессу в библиотеке.
3) Ни одна учащаяся балетной школы не станет читать журнал «Охота и рыболовство».
4) Все кошки опасаются встречи с морской свинкой в неформальных обстоятельствах.
5) Тюлень Роберт подавляет морских свинок в Верховном суде.
6) Никому из прокуроров не удалось переспорить морскую свинку до её подавления.
7) Панцири некоторых морских черепах резонируют как крышка рояля.
8) Речные черепахи поют только хором
9) Не хуже Монсеррат Кабалье пела вчера наша Тартилла.
10) Те, кто видели тысячу белых страусов, устремившихся на юг, испытали потрясение.
11) Все белые страусы очень заносчивы.
12) Перья некоторых страусов по белизне соперничают с лебедиными.
2. Сформулируйте суждения противоречащие и совместимые с данными.
1) Некоторые члены общества борьбы с курением сами тайком курят.
2) Некоторые генералы не читают журнал «Cosmopolitan».
3) Некоторые поступки некоторых монархов свидетельствуют об их участии в интригах.
4) Некоторые озёрные черепахи Псковской области не знают местных народных напевов.
5) Вчера здесь выступали солистки некоторых народных хоров.
6) Прекрасно были исполнены некоторые арии из опер Верди.
7) Некоторые юристы никогда не были на море.
8) Некоторые из них годами сидят за бумагами.
9) Дольше всех просиживают в своих кабинетах некоторые полосатые морские свинки.
10) Некоторым моим друзьям пение этих певцов не понравилось.
11) Некоторые из них вообще плохо разбираются в искусстве.
12) Некоторые произведения народного австралийского композитора Страуса не исполняются в полнолуние.