Отношения между модальными суждениями, подобные отношениям, которые связывают простые категорические сужения в логическом квадрате, могут быть представлены в виде шестиугольника. Единственным дополнительным условием является здесь следующее: отношение R между мирами надо считать рефлексивным. Это означает, что каждый мир должен находиться в отношении R сам к себе – х R х для любого х.
Рассмотрим модальный шестиугольник:
□ А □ Ø А
А Ø А
 |
◊ А ◊Ø А
Исходя из описанной семантики модальностей и при рефлексивном R, можно определить, в каких отношениях находятся суждения, объединённые в шестиугольник. Стрелки обозначают отношение подчинения. Двойной штриховой пунктир – это отношение противоречия (контрадикторности), а сплошная линия – отношение противоположности (контрарности). Пунктирные линии указывают на отношение совместимости.
Напомним, что суждения, связанные отношением противоположности, могут быть одновременно ложными, но не могут быть одновременно истинными. От этого нас предохраняет рефлексивность R, ведь в мире, из которого недостижим никакой другой мир и который сам недостижим для себя, все необходимости истинны, т. е. истинно и □ А и □Ø А. При рефлексивном R суждения □ А и □Ø А не могут быть одновременно истинными в данном (действительном) мире, но могут быть одновременно ложными, например когда из данного мира достижимы как миры, в которых истинно А, так и миры, в которых истинно Ø А.
Противоречие – это исключающее отношение, т. е. из истинности одного суждения, связанного отношением противоречия, следует ложность другого, а из ложности – истинность. Очевидно, что истинность □ А влечёт ложность ◊Ø А и Ø А. Ложность □ А, как говорит нам определение истинности, есть не что иное, как истинность Ø А в каком-либо из миров, достижимых из данного, что равносильно истинности ◊Ø А или Ø А. Точно так же обстоит дело и с суждением □Ø А. Суждения А и Ø А противоречат друг другу в силу общего логического закона исключённого третьего, поскольку говорят о действительном мире.
Отношение совместимости связывает суждения, которые могут быть одновременно истинными, но не могут быть одновременно ложными. Например, истинность ◊ А и ◊Ø А означает всего лишь, что существуют два мира, достижимых из данного, в одном из которых истинно А, а в другом – Ø А. Одновременная ложность суждений ◊ А и ◊Ø А невозможна. Поскольку рефлексивность R обеспечивает нам достижимость действительного мира и всех других миров для самих себя, невозможно, что все формулы вида ◊ В ложны хотя бы в одном мире, иначе в этом мире не было бы истинным ни В, ни Ø В, что невозможно, поскольку определение истинности присваивает значение всем формулам языка. Поэтому для любой формулы А в любом мире будет иметь место либо А, либо Ø А, но не то и другое вместе. Отсюда следует, что, независимо от количества миров, достижимых из произвольного мира х, или ◊ А, или ◊Ø А, или обе эти формулы оказываются истинными в мире х.
Пары формул ◊ А и Ø А, а также ◊Ø А и А могут быть одновременно истинными, но не могут быть одновременно ложными. В самом деле, ложность ◊ А потребует истинности Ø А во всех мирах, достижимых из данного, в том числе в силу рефлексивности R, в самом этом мире, но там Ø А уже ложно. Аналогичное рассуждение проводится и для второй пары.
Существует ещё одна схема отношений модальных суждений, восходящая к Аристотелю и называемая «модальным треугольником». В основе этого соотношения лежит представление о так называемой билатеральной возможности, предполагающей, что «возможно А » означает «возможно А и возможно Ø А », что трактуется как «А случайно»:
□ А □ Ø А
◊ А Ù ◊Ø А
(◊ А Ù ◊Ø А) читается как «А случайно». Все суждения в «треугольнике» связаны отношением противоположность. Отношение между □ А и □Ø А обосновывается так же, как и выше. Особенность «треугольника» состоит в том, что при отрицании случайности – (◊ А Ù ◊Ø А) мы не можем прийти к истинности ни □ А, ни □Ø А. С каждой из этих формул случайность может быть одновременно ложна, поэтому имеет место отношение противоположности, а не противоречия. От отрицания (◊ А Ù ◊Ø А) можно перейти только к дизъюнкции (□ А Ú □Ø А).
Упражнения
1. Представьте следующие суждения в символической записи, используя логические связки и модальные операторы.
1) Возможно, что завтра будет хорошая погода, хотя сегодня идёт дождь.
2) Обязательно принеси мне эту книгу, поскольку если у меня её не будет, то я вполне возможно провалю зачёт.
3) Либо необходимо немедленно прекратить погружение, либо необходимо его ускорить, а продолжать делать то, что мы делаем, невозможно.
4) Когда стало возможно свободно пересекать границу, многие страусы были перемещены в северные края, где для них необходим был совершенно особый уход.
5) Ты не говорил мне об этом, когда я мог тебе помочь, поэтому не нужно говоришь об этом сейчас, когда мне необходимо уехать.
6) Возможность достичь Марса существует всегда, но сегодня это не необходимо, поскольку нельзя отложить другие более насущные дела.
7) Всем участникам соревнований необходимо представить медицинские справки установленного образца, а если это не будет сделано, то возможно, что такие участники будут сняты с дистанции или их результаты будут аннулированы.
8) Если необходимо, что теорема Пифагора доказуема в геометрии Эвклида, то такая необходимость сама необходима,
9) Если необходимо, что все живые существа смертны, то такая необходимость сама необходима.
10) Возможно такое положение дел, когда окажется невозможным, что Волга впадает в Каспийское море.
2. Используя определение истинности, попытайтесь обосновать истинность универсально общезначимых формул модальной логики, приведённых выше.
3. Привлекая модальный шестиугольник, сформулируйте суждения, противоречащие, противоположные и подчинённые данным.
1) Пешеходам необходимо переходить улицу только по зелёному сигналу светофора.
2) Необходимо, чтобы участники соревнований по бегу не использовали запрещённые бутсы с шипами.
3) Необходимой мерой в этом случае становится отключение электроэнергии.
4) Судам, находящимся во внутренних водах, необходимо не отключать датчики чистоты воздуха до прибытия в порт.
5) Мне было обязательно нужно узнать о начале конференции за неделю.
4. Привлекая модальный шестиугольник, сформулируйте суждения, противоречащие, и совместимые по отношению к данным.
1) Ему, возможно, не понадобится дополнительный канат.
2) Возможные результаты твоей работы впечатляют уже до её начала.
3) Вчера на лекции было возможно либо записывать то, что он говорит, либо просто смотреть в окно.
4) Кто-то из участников экспедиции, возможно, правильно оценил свои силы только взойдя на перевал.
5) Возможно, что не я буду проводить эту сложную операцию.
Глава 3. Умозаключение
Анализ умозаключений – это центральная тема логики. Ещё Аристотель создавал логику для того, чтобы получить инструмент, который позволил бы отличать правильные доказательства и рассуждения от неправильных. Если считать доказательством процедуру, обеспечивающую принятие истинности некоторого суждения, а рассуждением – процедуру более слабую, достигающую, самое большее, увеличения степени правдоподобия суждения, то элементарными составляющими того и другого всё равно окажутся умозаключения различных видов.
Общая схема всякого умозаключения такова:
[Посылки]
––––––––––––
[Заключение]
Черта, отделяющая посылки от заключения, означает, что совершаемый переход является логическим, и его принцип гласит:
Если истинно написанное над чертой, то истинно написанное под чертой.
Это принцип действует в отношении любого умозаключения, соответствующего правилам логики. Нарушение этого принципа будет означать, что умозаключение с точки зрения логики не является правильным.