ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Специалист должен знать и уметь:
- основные понятия теории погрешностей: общая формула для оценки главной части погрешности, статистический и технический подходы к учету погрешностей действия, погрешность машинной арифметики, погрешности корней скалярных уравнений с приближенными коэффициентами;
- основные понятия, связанные с решением систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ): прямые методы решения СЛАУ (метод Гаусса и его модификации, LU-разложение и решение СЛАУ с помощью LU разложения, метод квадратных корней и метод трехдиагональной матричной прогонки), итерационные методы решения СЛАУ (решение СЛАУ методом простых итераций и Зейделя, понятие о методе релаксации);
- основные понятия, связанные с обращением матриц: обращение матриц методом Гаусса, уточнение элементов приближенной обратной матрицы итерационными методами;
- основные понятия, связанные с алгебраической проблемой собственных значений: степенной метод, обратная итерация, LU-алгоритм для несимметричных матриц, RQ-алгоритм;
- основные понятия, связанные с методами решения нелинейных уравнений: методы решения нелинейных скалярных уравнений (методы дихотомии и хорд, метод Ньютона и метод секущих, нелинейные уравнения и бифуркация), методы решений систем нелинейных уравнений (метод Ньютона, метод Ньютона с регулировкой шага: метод Н.Н. Калиткина и методы И.В. Пузынина для решения нелинейных уравнений с гладкими операторами, методы решения нелинейных уравнений нелокальными квазиньютоновскими методами с гладкими операторами, методы «полного» и «неполного» прогноза, методы одношаговые и многошаговые);
- основные понятия, связанные с методами решения нелинейных уравнений с негладкими операторами: нелокальные методы хорд и Стеффенсена, нелокальные методы типа Канторовича-Красносельского;
- основные понятия, связанные с полинономиальной интерполяцией: интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона, интерполирование с кратными узлами, конечноразностные интерполяционные формулы;
- основные понятия и методы, связанные с наилучшими приближениями: многочлены наилучшего приближения типа Чебышева и многочлены наилучшего равномерного приближения, системы ортогональных многочленов, многочлены Фурье, интерполяционные линейные и кубические сплайны;
- основные понятия и методы, связанные с численным интегрированием: квадратурные формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона, квадратурные формулы Чебышева и Гаусса, формулы приближенного решения несобственных интегралов;
- основные понятия и методы, связанные с аппроксимацией производных: формулы численного дифференцирования, остаточные члены простейших формул численного дифференцирования;
- основные понятия и методы, связанные с численными методами решения задач Коши: метод Эйлера и его различные модификации, методы типа Рунге-Кутты высоких порядков, линейные многошаговые методы, устойчивые и неустойчивые разностные схемы, применяемые при решении начальных задач разностными методами, жесткие уравнения и системы, А и А (α) – устойчивость;
- основные понятия и методы, связанные с методами приближенного решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ): редукция к задачам Коши, проекционные методы (метод каллокации, наименьших квадратов и Галеркина), метод конечных разностей;
- основные понятия и методы, связанные с методами приближенного решения дифференциальных уравнений с частными производными: методы разделений переменных, вариационные методы (метод Ритца и метод Галеркина), метод прямых;
- основные понятия и методы, связанные с численным решением интегральных уравнений: квадратурный метод решения линейных интегральных уравнений.
Специалист должен знать:
- основы матричного анализа: нормы матриц, собственные значения матрицы, специальные формы матриц, понятие псевдообратной матрицы, понятие плохо обусловленных СЛАУ;
- основные вычислительные методы алгебры: методы решения СЛАУ и проблемы собственных значений, методы решения нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений;
- основные методы полиномиальной аппроксимации, аппроксимация с помощью полиномов Чебышева и Фурье, сплайн-аппроксимацию;
- основные методы численного дифференцирования и интегрирования, основные методы решения некорректно поставленных задач;
- основные методы численного решения задач Коши, проблемы, связанные с численной устойчивостью при решении задач Коши, методы решения жестких задач Коши, основные методы решения краевых задач для ОДУ;
- основные методы численного решения интегральных уравнений как линейных, так и нелинейных, основные методы решения линейных и нелинейных дифференциальных задач с частными производными.
Специалист должен владеть:
- принципами построения и основными методами использования математических моделей систем и процессов, возникающих в предметных областях;
- современными методами численного решения математических задач;
- современными проблемно-ориентированными методами программирования.
Специалист должен уметь использовать:
- методы аналитического и численного решения типовых математических задач;
- методы и приемы программирования и работы на различных типах ЭВМ;
- стандартное математическое обеспечение ЭВМ;
- пакеты прикладных программ и баз данных;
- средства машинной графики;
- основные методы разработки математического и программного обеспечения вычислительной техники;
- основные приемы обработки экспериментальных данных.
ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ
К ГОСУДАРСТВЕННОМУ ЭКЗАМЕНУ ПО СПЕЦИАЛИЗАЦИИ
1. Понятие корректно поставленной и некорректно поставленной задачи. Примеры. Метод простой итерации явного типа решения некорректных задач с априорным выбором числа итераций.
2. Метод простой итерации явного типа решения некорректных задач с апостериорным выбором числа итераций.
3. Понятие корректно поставленной и некорректно поставленной задачи. Примеры. Неявный метод простой итерации решения некорректных задач с априорным выбором числа итераций.
4. Метод обобщенного суммирования рядов для решения некорректных задач.
5. Сходимость метода итераций явного типа решения некорректных задач в энергетической норме.
6. Случай неединственности решения в методе итераций явного типа решения некорректных задач.
7. Обзор популярных технологий программирования.
8. Стиль программирования.
9. Проектирование программ. Структурный подход.
10. Проектирование программ. Возможности реализации.
11. Эффективность программ.
12. Отладка программ.
13. Тестирование программ.
14. Нелокальные одношаговые итерационные процессы неполного прогноза для решения нелинейных уравнений с гладкими операторами.
15. Нелокальные многошаговые итерационные процессы неполного прогноза для решения нелинейных уравнений с гладкими операторами.
16. Нелокальные одношаговые итерационные процессы полного прогноза для решения нелинейных уравнений с гладкими операторами.
17. Нелокальные многошаговые итерационные процессы полного прогноза для решения нелинейных уравнений с гладкими операторами.
18. Нелокальные одношаговые итерационные процессы неполного прогноза типа Стеффенсена для решения нелинейных уравнений.
19. Нелокальные многошаговые итерационные процессы неполного прогноза типа Стеффенсена для решения нелинейных уравнений.
20. Нелокальные одношаговые итерационные процессы полного прогноза типа Стеффенсена для решения нелинейных уравнений.
21. Нелокальные многошаговые итерационные процессы полного прогноза типа Стеффенсена для решения нелинейных уравнений.
22. Нелокальные итерационные процессы неполного прогноза метода хорд для решения нелинейных уравнений с непрерывным нелинейным оператором.
23. Нелокальные итерационные процессы полного прогноза метода хорд для решения нелинейных уравнений с непрерывным нелинейным оператором.
24. О методах неполного прогноза, локально сходящихся с кубической скоростью, для решения нелинейных уравнений с гладкими операторами.
25. Об итерационных методах полного прогноза, локально сходящихся с кубической скоростью, для решения нелинейных уравнений с гладкими операторами.
26. О нелокальных итерационных методах неполного прогноза, локально сходящихся с кубической скоростью, для решения нелинейных уравнений с непрерывным оператором.
27. О нелокальных итерационных методах полного прогноза, локально сходящихся с кубической скоростью, для решения нелинейных уравнений с непрерывным оператором.
CОДЕРЖАНИЕ ВОПРОСОВ