С использованием таблицы истинности.
Решать логические задачи – это значит найти истинное высказывание, соответствующее правильному ответу на поставленный вопрос.
Высказывания и их взаимосвязи в задаче бывают очень сложными, так что разобраться в них без специального аппарата достаточно сложно
Этот способ предполагает составление логического выражения, удовлетворяющего всем условиям задачи, построение таблицы истинности и дальнейший анализ этой таблицы.
Для решения логических задач нужно:
· внимательно изучить условие;
· выделить простые высказывания и обозначить их с помощью латинских букв;
· записать условие задачи, используя аппарат символьной логики, соединить простые высказывания в сложные используя логические операции: (отрицание),→ (импликация), ↔(эквиваленция), ˄ (конъюнкция),˅ (дизъюнкция);
· заполнить таблицу истинности для полученного выражения (-ий);
· анализ полученной таблицы позволит получить ответ на поставленный вопрос.
Задача 1 «Кто виноват?»
По обвинению в ограблении перед судом предстали Иванов, Петров, Сидоров. Следствием установлено:
1. Если Иванов невиновен или Петров виновен, то Сидоров виновен.
2. Если Иванов невиновен, то Сидоров невиновен. Виновен ли Иванов?
Решение.
Выделим простые высказывания:
А – Иванов виновен;
В - Петров виновен;
С - Сидоров виновен.
Запишем выражения соответствующие условию задачи:
1. (А ˅ В)→ С;
2. А → В.
В условии задачи говорится, что Следствием установлено, а это значит, что оба эти выражения истинны, и их можно объединить в одно с помощью операции конъюнкция. Окончательно получим:
F(А,В,С)=((А ˅ В)→ С) ˄ (А → В).
Составим таблицу истинности:
| А | В | С | F |
Решить задачу это значит указать при каких значениях А это сложное высказывание истинно. И если хотя бы в одном случае F =1 при А =0 (Иванов невиновен), то у следствия недостаточно фактов, чтобы обвинить Иванова.
Из таблицы видно, что сложное высказывание истинно только когда А –истинно, т.е. Иванов виновен в преступлении.
Задача 2 «Финансовый прогноз».
Три подразделения- А, В, С- торговой фирмы стремились получить по итогам года максимальную прибыль. Экономисты высказали следующие предположения:
1. А получит максимальную прибыль только тогда, когда получат максимальную прибыль В и С.
2. ЛибоАи С получат максимальную прибыль одновременно, либо одновременно не получат.
3. Для того чтобы С получило максимальную прибыль, необходимо чтобы и В получило максимальную прибыль.
По завершении года оказалось, что одно из трех предположений ложно. Какие из названных подразделений получили максимальную прибыль?
Решение.
Выделим простые высказывания:
А – (А получит максимальную прибыль);
В – (В получит максимальную прибыль);
С – (С получит максимальную прибыль).
Запишем прогнозы, высказанные экономистами на языке математической логики:
1. F1= А → В ˄ С;
2. F2= А ˄ С ˅ А ˄ С;
3. F3=С → В.
Составим таблицу истинности для F1, F2, F3.
| А | В | С | F1 | F2 | F3 |
По условию задачи – один из прогнозов оказался ложным. Эта ситуация соответствует четвертой строке таблицы.
Ответ: В и С получат максимальную прибыль.
Задача 3. «Вступительные экзамены».
Перед сдачей вступительного экзамена в институт Миша предполагал, что
- если он сдаст математику, то информатику он сдаст только при условии, что не завалит диктант;
- не может быть, что он завалит и диктант и математику;
- достаточное условие завала по информатике – это двойка по диктанту.
После сдачи экзаменов оказалось, что из трех высказанных предположений только одно было ложным. Как Миша сдал экзамены?
Метод версий.
Метод основан на выдвижении версий, соответствующих условию задачи и проверке соответствия условий этим версиям
Задача 1. «О кладе»
Разбирается дело Батончика, Ленчика и Пончика. Кто-то из них нашел и утаил клад. На следствии каждый из них сделал по два заявления:
a) Батончик: «Я не делал этого. Пончик сделал это»
b) Ленчик: «Пончик невиновен. Батончик сделал это»
c) Пончик: «Я не делал этого. Ленчик не делал этого»
Суд установил, что один из них дважды солгал, другой дважды сказал правду, третий один раз солгал, один раз сказал правду. Кто из них утаил клад?
Решение.
Обозначим буквами следующие утверждения:
Б – Батончик утаил клад;
Л - Ленчик утаил клад;
П - Пончик утаил клад.
Тогда каждое из заявлений, состоящее из двух утверждений, можно представить так:
заявление Батончика- Б, П
заявление Ленчика - П, Б
заявление Пончика - П, Б.
Здесь правильный ответ можно получить, анализируя всего лишь три версии на их соответствие каждому утверждению. Анализ версий оформим в виде таблицы характера совпадений версий с заявлениями, совпадению версии с заявлением соответствует единица, в противном случае –ноль.
| версии | Высказывания из двух заявлений | |||||
| Батончика | Ленчика | Пончика | ||||
| 1. Батончик утаил клад | ||||||
| 2. Ленчик утаил клад | ||||||
| 3. Пончик утаил клад |
Версия 3 соответствует условию задачи. У Батончика оба заявления верны, Ленчик дважды солгал, Пончик один раз солгал, другой – нет.
Ответ: Пончик утаил
Задача 2. «О варенье»
Решение.
Обозначим буквами следующие утверждения
П – Петя съел;
В - Вася съел;
М – Маша съела.
Высказывание Пети- П, М, высказывание Васи - М, П; высказывание Маши - (М˄П)= М˅ П, В. Проанализируем три возможные версии и проверим их соответствие каждому утверждению. Анализ версий представим в виде таблицы:
| версии | высказывания из двух заявлений | |||||
| Пети | Васи | Маши | ||||
| 1. Петя съел | ||||||
| 2. Вася съел | ||||||
| 3. Маша съела |
Версия 2 соответствует условию задачи: у Пети оба заявления верны, у Васи одно верно другое – нет, у Маши оба заявления верны
Ответ: Вася съел варенье.
Задача 3. «О разбитом окне»
Один из восьми школьников разбил окно. На вопрос директора кто это сделал, были получены следующие ответы:
Соня: «Это сделал Володя»
Миша: «Это ложь!»
Володя: «Я разбил!»
Аня: «Это я разбила!»
Оля: «Аня не разбивала!»
Рома: «Разбила либо Соня, либо Оля»
Коля: «Девочки этого не делали»
Толя: «Коля разбил!»
Кто разбил окно, если из восьми высказываний истинно только два?
Табличный способ.
Существует целый класс задач, в которых требуется установить соответствие между элементами нескольких множеств. Представление исходных данных задачи и рассуждений в виде таблиц ускоряет и облегчает процесс решения задачи.